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第21章 一元二次方程
　21.2.1 解一元二次方程——直接开平方法
1.通过平方根的意义，解形如x2＝p(p≥0)的方程。
2.通过数学转化的方法，解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，提高学生转化的能力。
1.如果 x2=a,则x叫做a的 .
2.如果 x2=a(a ≥0),则x= .
3.任何数都有平方根吗？
【提问】求下列各数的平方根
（1） (2） (3）0.36 (4） 2
解：(1)因为(±13)2=169，所以169的平方根是±13．
(2)因为(± )2= ，所以的平方根是± ．
(3)因为(±)2 = ，所以的平方根是±．
(4)因为(±)2 =2，所以的平方根是±．
负数没有平方根.
平方根
±
一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗
六个面
60个面
设正方体的棱长为 x dm，则一个正方体的表面积为 6x2 dm2，
10×6x2=1500 ①
整理，得x2=25
根据平方根的意义，得x=±5,即x1=5, x2=﹣5
可以验证，x1=5和x2=﹣5是方程①的两个根
因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5dm
用方程解决实际问题时，要考虑所求得结果在实际问题是否有意义。
(1) x2=4
(2) x2=0
(3) x2+1=0
解:根据平方根的意义，得x1=2, x2=-2.
解:根据平方根的意义，得x1=x2=0.
解:根据平方根的意义，得x2=-1,
因为负数没有平方根，所以原方程无解.
解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
一般地，对于方程x2＝p ①，
（1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程①有两个____________的实数根______________________；
（2)当p＝0时，方程①有两个______的实数根_____________；
（3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2____0，所以方程① _______实数根。
不相等
相等
x1＝x2＝0
无
≥
x1＝- , x2＝
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
例1 利用直接开平方法解下列方程:
(1) x2=6；
(2) x2－900=0.
解：
（1） x2=6，
直接开平方，得
（2）移项，得
x2=900.
直接开平方，得
x=±30，
∴x1=30, x2=－30.
在解方程(I)时，由方程x2=25得x=±5.由此想到:
（x+3)2=5 ， ②
得
对照上面方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5
于是，方程（x+3）2=5的两个根为
【点睛】上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.
一般地，对于方程(mx＋n)2＝p ②，
1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程②有两个________的实数根______________________；
2)当p＝0时方程②有两个_______的实数根_______________；
3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有(mx＋n)2 ____0，所以方程② _______实数根。
不相等
相等
x1＝x2＝
无
≥
x1＝ , x2 ＝
1.一元二次方程(x-1)2=9的解为（ ）
A．4 B．-2 C．4或-2 D．3或-3
【解析】∵(x-1)2=9，∴x-1=±3，则x= 4或x=-2。故选C.
2.若3（x+1）2﹣48=0，则x的值等于（　　）
A．±4 B．3或﹣5 C．﹣3或5 D．3或5
【详解】∵3（x+1）2-48=0，∴x+1=±4，则x=3或-5，故选B．
C
B
例2 解下列方程：
⑴ （x＋1）2= 2 ；
【分析】第1小题中只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解；第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解.
即x1=-1+
，x2=-1-
解：（1）∵x+1是2的平方根，
∴x+1=
（2）（x－1）2－4 = 0；
即x1=3，x2=-1.
解：（2）移项，得（x-1）2=4.
∵x-1是4的平方根，
∴x-1=±2.
例2 解下列方程：
∴ x1= ，
x2=
(3) 12（3－2x）2－3 = 0.
【分析】第3小题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解即可.
解：(3)移项，得12（3-2x）2=3，
两边都除以12，得（3-2x）2=0.25.
∵3-2x是0.25的平方根，
∴3-2x=±0.5.
即3-2x=0.5,3-2x=-0.5
解：
方程的两根为
解：
方程的两根为
例3 解下列方程：
(C) 4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x1= ;
x2=
(D) (2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
1.下列解方程的过程中，正确的是（ ）
(A) x2=-2,解方程，得x=±
(B) (x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
D
(1)方程x2=0.25的根是 .
(2)方程2x2=18的根是 .
(3)方程(2x-1)2=9的根是 .
3. 解下列方程：
(1)x2-81＝0； (2)2x2＝50； (3)(x＋1)2=4 .
x1=0.5,x2=-0.5
x1＝3,x2＝-3
x1＝2,x2＝－1
2.填空:
解：x1＝9, x2＝－9；
解：x1＝5, x2＝－5；
解：x1＝1, x2＝－3.
4.（2019·湖南怀化·统考中考真题）一元二次方程的解是（　　）
A． B．
C． D．
5.（2020·江苏扬州·中考真题）方程的根是_____．
【详解】∵，∴，
则，解得，故选C．
【详解】解：由原方程，得．解得．
故答案是：．
C
【详解】解：将代入方程，得：，
解得：，
又∵是一元二次方程，
∴，，
∴；
故答案为：-1．
6.（2020·山东枣庄·中考真题）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______．
【详解】解：∵
∴或
解得，．
7.（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）解方程：
一、概念：
二、特征：
三、基本思路：
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
如果一个一元二次方程可化为x2=p或（x＋n）2= p（p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.
一元二次方程
两个一元一次方程
降次
直接开平方法
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