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2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷
第1章三角形的初步知识单元测试·冲刺卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．如图，，则不可能是的度数的是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，是边上的中线，，的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．有一个三角形的三个内角都不相等，其中最小的角为，这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
4．如图，在和中，，，，如果的面积，那么的面积为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，点B，C，D三点在同一直线上，且，，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，、分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
7．如图，正方形中，在的延长线上取点E，F，使，，连接分别交于H，G下列结论，下列结论：①；②；③；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
8．如图，在中，和的平分线，相交于，交于，交于，过点作于，下列结论中：①；②当时，；③；④若，，则，正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
9．如图，在四边形中，，点分别为边上的点，且，则下列结论：①点在的平分线上；②点在的平分线上；③；④的周长为的2倍．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
10．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点．下列结论中错误的是：（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．如图，将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点，．若时，点在内，则的值是 ．
12．如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线，，相交于点，平分，已知，，的面积为2.5，则的面积为 ．
13．如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则的度数是 ．
14．如图，在中，，的垂直平分线交边于点，交边于点．若与的周长分别是、，则 ．
15．如图，在中，，平分交于点，点，分别是上的动点，则

（1）的长为 ；
（2）的最小值为 ．
16．如图，为的角平分线，，过点作于，交的延长线于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，求的周长．
18．如图，在中，的延长线于E，的延长线于F，M为BC的中点，分别连接、、．
(1)若，，求的周长；
(2)若，，求的度数．
19．如图，在四边形中，，．
(1)若点是边上一点，请你用直尺（没有刻度）和圆规过点作，交于点．
(2)在（1）的作图下，若，平分，求的度数．解答过程如下，请你补充完整．
解：∵（已知），
∴（_____①______）
∵平分（已知）
∴，
∴______②_____（等量代换）
∵，，
∴
∴
∵（已知），（作图），
∴_____③_______（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等）
20．上午8时．一条渔船从港口A出发以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从A，B望海岛C，测得（如图所示）．
(1)求海岛B到海岛C的距离；
(2)渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？
21．阅读与思考：下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
×年×月×日 星期日 用等面积法解决问题周末，我对本学期所学的内容进行了回顾与整理，发现数学中有许多方法是可以互相迁移的． 比如我们在学习整式乘法时，借助如图1所示的边长为的正方形，用两种不同的方法表示这个正方形的面积，可以得到乘法公式 ① ． 再比如学习三角形的内容时，我遇到了同样可以用等面积法解决的问题．如图2，在中，，，，求点到的距离．我们也可以利用等面积法求得点到的距离为 ② ． 总结：等面积法是一种重要的数学解题方法，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，不仅可以使解题思路清晰，过程简洁，而且还能体现知识间的相互联系．
任务：
(1)请你补全小宇日记中不完整的部分：①__________，②__________．
(2)尺规作图：在图2中作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）．
(3)在（2）的条件下，求线段的长度．
22．如图，点在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
23．（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________；
（2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形中，，E、F分别是边延长线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________．
24．【问题探究】
（1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是______．
（2）已知：如图2，与分别是的两个外角，且，则______．
【拓展与应用】
（3）如图3，在四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，求的度数；（用含，的式子表示）
（4）如图4．平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，则______．(共7张PPT)
浙教版2024八年级上册
第1章 三角形的初步知识单元测试
试卷分析
一、试题难度
难度 题数
较易 1
适中 14
较难 9
整体难度：较难
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题
1 0.65 三角形内角和定理的应用；三角形的外角的定义及性质
2 0.65 确定第三边的取值范围；倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)
3 0.65 三角形内角和定理的应用
4 0.65 同(等)角的余(补)角相等的应用；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
5 0.65 三角形的外角的定义及性质；全等的性质和SAS综合（SAS）
6 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；三角形角平分线的定义；三角形内角和定理的应用；三角形的外角的定义及性质
7 0.4 利用平行四边形的性质证明；根据正方形的性质证明；三角形内角和定理的应用；等腰三角形的性质和判定
8 0.4 全等三角形综合问题；角平分线的性质定理；三角形内角和定理的应用
9 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；角平分线的判定定理；全等的性质和HL综合（HL）
10 0.4 与角平分线有关的三角形内角和问题；三角形的外角的定义及性质
三、知识点分布
二、填空题
11 0.65 三角形的外角的定义及性质；三角板中角度计算问题
12 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；角平分线的性质定理
13 0.65 与角平分线有关的三角形内角和问题；三角形的外角的定义及性质；角平分线的性质定理
14 0.65 线段垂直平分线的性质
15 0.4 垂线段最短；角平分线的性质定理
16 0.4 全等的性质和HL综合（HL）；与角平分线有关的三角形内角和问题；等边对等角
三、知识点分布
三、解答题
17 0.65 根据三角形中线求长度
18 0.85 斜边的中线等于斜边的一半；三角形的外角的定义及性质；等腰三角形的性质和判定
19 0.65 根据平行线判定与性质求角度；作垂线(尺规作图)
20 0.65 等腰三角形的性质和判定；等边三角形的判定和性质；三角形的外角的定义及性质
21 0.65 全等的性质和HL综合（HL）；完全平方公式在几何图形中的应用；作角平分线(尺规作图)；用勾股定理解三角形
22 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
23 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）
24 0.4 与角平分线有关的三角形内角和问题；三角形的外角的定义及性质；三角形内角和定理的应用《第1章三角形的初步知识单元测试·冲刺卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A A B B D D B D
1．A
本题考试三角形的内角和，三角形外角的性质，掌握三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角是解题的关键．设，则，根据即可列出不等式，求出的取值范围，即可解答．
解：设，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即的度数不可能是．
故选：A
2．C
此题主要考查全等三角形的判定及性质和三角形三边关系．作出图形，延长到E，使，连接，证明，从而可得，在中，再利用三角形三边的关系，即可求解．
解：延长到E，使，连接，
∵，
∴，
∴，
在中，，
即，
∴．
故选：C．
3．A
本题考查了三角形内角和定理；
根据三角形内角和为，结合最小角为，分析其余两角的范围，确定最大角是否可能超过，从而判断三角形类型．
解：设三个角分别为、a、b，且，
由三角形内角和定理得：，
∴，
若最大角，则，
但a必须大于，矛盾，
因此，
∴所有角均小于，
即这个三角形为锐角三角形，
故选：A．
4．A
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形面积公式，同角的补角相等，作于，于，则有，根据同角的补角相等得出，从而证明，则有，然后通过三角形面积公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：作于，于，如图，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴．
故选：．
5．B
根据得到，证明，结合三角形外角性质，计算即可．
本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角性质的应用，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
故选：B．
6．B
根据是的高，，结合是的角平分线， 平分，得到即可得到，判断①正确；先证明再证明即可，可判定②正确；根据得到，结合得到，结合，等量代换即可得到，可判定④正确；；延长交于点N，得到，得到，可以判断③错误，解答即可．
解：∵是的高，
∴，
∴，
∵是的角平分线， 平分，
∴，
∴，
故①正确；
∵是的高，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，是的角平分线，
∴，，
∴，
∵
∴，
∴，
∵
∴，
故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故④正确；
延长交于点N，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，是钝角，
∴，
∴，
故不成立，
故③错误，
故选：B
本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，角的平分线的意义，同一三角形中，大角对大边，直角三角形的特征量，熟练掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形的特征量，三角形内角和定理是解题的关键．
7．D
本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，正方形的性质，平行四边形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
根据正方形的性质和已知推出四边形是平行四边形，得到，无法证出G为的中点；，推出，求出，得到，求出即可；根据三角形的面积公式推出和四边形的面积相等；可得有9个等腰三角形．
解：∵正方形，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
要使，只要G为的中点即可，
但，
∴，
即和不全等，
∴G不是中点，
∴①错误；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴②正确；
∵，
，
∴，
∴，
要使和四边形的面积相等，只要和的面积相等即可，根据已知条件，
∴③；正确，
等腰三角形有；
∴④错误；
故选：D．
8．D
本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的内角和定理即可判断①正确；在上取一点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可判断②正确；假设，过点作于点，作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，则，由此即可判断③错误；过点作于点，作于点，连接，根据和可得，由此即可判断④正确．
解：∵和的平分线，相交于，
∴，，
∴
，则结论①正确；
∵，
∴，
∴，
如图，在上取一点，使得，连接，
∵和的平分线，相交于，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，则结论②正确；
如图，过点作于点，作于点，
∵和的平分线，相交于，，
∴，，，
假设，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，由已知条件不能得出这个结论，
∴假设不成立，即结论③错误；
如图，过点作于点，作于点，连接，
∵，，，，
∴，
由上已得：，
∴，即，
∵，
∴，
∴，则结论④正确；
综上，结论正确的是①②④，
故选：D．
9．B
本题考查了角平分线的判定定理、三角形全等的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．根据角平分线的判定定理即可判断①正确；连接，证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可判断②正确；延长至点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，由此即可判断③错误；先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的周长公式即可判断④正确．
解：∵，
∴，，
∵，
又∵点在的内部，
∴点在的平分线上，则结论①正确；
如图，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点在的平分线上，结论②正确；
如图，延长至点，使得，连接，则，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵点在的平分线上，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，则结论③错误；
由上已证：，
∴，
∴的周长为
，则结论④正确；
综上，结论正确的是①②④，
故选：B．
10．D
本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练学握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键。
由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的额性质可判定；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定；由的结果无法推出．
∵的平分线交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，故A正确，不符合题意；
∵平分，
∵，
∴，
故B正确，不符合题意；
取的延长线与点M，的延长线与点N，如图：
平分，平分，
，
故C正确，不符合题意；
由选项C知，
，无法得到，
故D项错误，符合题意．
故选：D．
11．/度
本题考查三角形外角的性质，解题的关键是正确作出辅助线．
根据三角形外角的性质，结合角的和差运算，即可得的值．
解：如图，连接并延长，交于点，则，，
∵，
∴，
∵，
∴
故答案为： ．
12．
此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，过点作于点，于点，根据角平分线性质定理求出，结合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出，利用证明，，则，，，根据三角形面积公式求出，，再根据的面积求解即可，熟练运用全等三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键．
解：如图，过点作于点，于点，
，、为三角形的角平分线，
，，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
同理可得，
，
，
，，
，
的面积为，
，
，
，
，
的面积，
故答案为：4．
13．
本题主要考查了三角形外角性质，角平分线性质的应用，延长，过点作于点，作于点，作于点，然后证明是的平分线，进而可得的度数，再求出的度数，从而可得答案，关键是掌握角平分线的性质．
解：延长，过点作于点，作于点，作于点，
，的外角的平分线与内角平分线交于点，
，，
，
是的平分线，
∵，
∴，
∴，
平分，平分，
，，
，，
，
；
故答案为：．
14．
本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得，，，进而由的周长是可得，再根据的周长是得到，进而即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
解：∵是的垂直平分线，
∴，，
∵的周长是，
∴，
∴，
即，
又∵的周长是，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
本题主要考查垂线段最短问题、角平分线的性质等知识点，解决本题的关键是正确作出辅助线，借助面积法列方程求解．
过点作，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知，再根据列方程求出的长；
过点作交于点，作交于点，此时有，利用面积法列方程求出的长度即为的最小值．
解：如下图所示，过点作，

平分交于点，
，
，
，
，，，
，
解得：，
故答案为：；
解：如下图所示，过点作交于点，作交于点，

平分交于点，
点与点关于对称，
，
在中，，
，
，
解得：，
故答案为：．
16．①②③④
本题考查角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的性质．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．由“”即可证，可判断①正确；由全等三角形的性质可得出，结合题意易证，得出，即可推出，故②正确；设与交于点O，由全等三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出，故③正确；根据角平分线的定义得出，根据等腰三角形的定义得出．再结合平角和等腰三角形的性质即可得出，故④正确．
解：∵为的角平分线，，，
∴．
又∵，
∴，故①正确；
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，故②正确；
设与交于点O，如图，
∵，
∴．
∵，
∴，故③正确；
∵为的角平分线，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，故④正确．
综上可知①②③④正确．
故答案为：①②③④．
17．的周长为．
本题考查了三角形中线的定义，根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
解：∵为边上的中线，
，
的周长为，
，
，
的周长．
18．(1)11
(2)
本题考查了直角三角形斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线性质解题即可．
（1）根据垂直定义可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，，从而进行计算即可解答；
（2）先利用直角三角形斜边上的中线性质得出，．从而利用等腰三角形的性质可得，，然后利用三角形外角的性质求出和的度数，从而利用平角定义进行计算即可解答．
（1）解：∵
∴，
∵M为的中点，，
∴，，
∵，
∴的周长，
∴的周长为11；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，M为BC的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
19．(1)图见解析
(2)见解析
本题考查尺规作图—作垂线，平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键：
（1）以为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，以这两点为圆心，以大于两点形成的线段的长为半径画弧，交与一点，连接该点与点形成的直线即为所求；
（2）根据平行线的判定和性质，角平分线的定义，等量代换，进行作答即可．
（1）解：由题意，作图如下：
（2）解：∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等）
∵平分（已知）
∴，
∴（等量代换）
∵，，
∴
∴
∵（已知），（作图），
∴（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等）
20．(1)海岛B到海岛C的距离为30海里
(2)救援队先到
本题考查三角形的外角，等腰三角形和等边三角形的判定：
（1）根据三角形的外角的性质求出，进而得到即可；
（2）证明为等边三角形，进而得到的长，根据时间等于路程除以速度，进行求解即可得出结论．
（1）解：由题意，得：海里；
∵，
∴，
∴
∴海里；
答：海岛B到海岛C的距离为30海里；
（2）由题意：海里，
由（1）知：海里，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴海里，
∴救援队所用时间为小时，救援队所用时间为小时，
∴救援队先到．
21．(1)，
(2)
(3)
（1）①正方形面积等于边长乘以边长，也可以等于各个小部分的面积之和，即可得到结论；②根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据角平分线的作法作出图形即可；
（3）过作于，根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
（1）解：补全小宇日记中不完整的部分：
①正方形面积等于边长乘以边长，即，
正方形面积也可以等于各个小部分的面积之和，即，
即；
②，，
那么点到的距离为，
所以①，②；
（2）解：如图所示，线段即为所求；
（3）解：过作于，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故线段的长度为．
本题考查了作图—基本作图，完全平方公式，三角形的面积公式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确地作出图形是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)的长为8．
本题考查全等三角形的判定与性质，
（1）利用等量代换得，从而利用“”证明即可；
（2）由（1）知，可得，再利用求解即可．
（1）证明：，，且，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
，
的长为8．
23．（1）；（2）成立，见解析；（3）
本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出，本题的3个问题运用了类比的方法依次解决问题．
（1）如图，延长到G，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题；
（2）如图，延长到G，使，连接，同理可得：；
（3）如图③，仿照（1）（2）构造全等三角形求解即可．
解：（1）如图，延长到G，使，连接，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
∴．
∵．
∴；
故答案为：；
（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：
如图，延长到G，使，连接，
∵，
∴
∵,
∴
∴，
∵，
∴，
∴
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵．
∴；
（3）若如图③，在上截取，使，连接．
∵，
∴．
∵
∴
∴，
∴．
∴，
∵，
∴
∴．
∵
∴．
24．（1）;（2）；（3）；（4）
本题考查的是角平分线的定义，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理的应用，轴对称的性质；
（1）在中， ，结合角平分线的含义可得，再进一步利用三角形的内角和定理可得答案；
（2）求解，再进一步利用内角和定理可得答案；
（3）延长，交于点，同（2）可得，证明，，结合外角的性质可得，，可得，进一步求解即可；
（4）求解，，可得，由（1）得：．
解：（1）在中，，
∴，
∵，分别平分和，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：．
（2）∵与分别是的两个外角，且，
∴，
∴；
故答案为：．
（3）延长，交于点，
∵，，
同（2）可得，
∵为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
（4）∵，结合折叠，
∴，，
∴，
∵平分，平分，
由（1）得：．

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