资源简介

2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷
第1章三角形的初步知识单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列可以说明命题“如果，那么”是假命题的反例是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
3．如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P．连接并延长交于点D，若，则点D到直线的距离是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．某款自行车的三角形车架中，有两根钢架长分别为5分米和8分米，则第三根的长可能是（ ）
A．3分米 B．9分米 C．13分米 D．15分米
5．如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，则的值可能为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
8．三所学校分别记作A、B、C，体育场记作O，它是的三条角平分线的交点，O，A，B，C每两地之间有直线道路相连，一支长跑队伍从体育场O出发，跑遍各校后返回O点，则所跑路线距离最短的是（已知）（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点，连接，，则下列结论：
；；；；．
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点G，若，，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．10
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．在中，，，，点是边的中点，的角平分线交于点．作直线，在直线上有一点F，连结、，则的最大值是 ．
12．如图，在中，，外角和的角平分线交与点，则 ，、的角平分线交于点，…，依次下去，则 ．（结果用含的式子表示）
13．如图，若，则，，，，之间的关系为 ．
14．如图，在中，，点，分别是，上的点，且，，连接，交于点，当四边形的面积为时，边长度的最小值为 ．
15．如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，当的值为 ，可以使与全等．
16．在中，点是边上一点，且，连接，点为中点，连接并延长，交于点．若，则 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．（1）计算：．
（2）如图，点、在上，，，求的长
18．（1）解分式方程：
（2）如图，点为三边垂直平分线的交点，，，求的度数．
19．如图，已知：点是内一点，，分别平分，．
(1)如图①若，求的度数；
(2)如图①求证：大于；
(3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．试探索与之间的数量关系，并说明理由．
20．如图，在中，点D为边上一点，将沿直线翻折，使点C落在边上的点E处．
(1)用无刻度的直尺和圆规作出直线与点E；
(2)连接，若，求的度数．
21．如图，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为．
(1)如图，当时，_____．
(2)如图，当______时，的面积等于面积的一半；
(3)如图，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止在两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，求点中的运动速度．
22．如图1，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，若，，求的长．
23．已知：四边形，延长至点，分别作和的角平分线．

(1)如图1，当，时，和的角平分线交于点，则的度数为 ；
(2)如图2，当，时，和的角平分线的反向延长线交于点，求的度数；
(3)猜想：当与满足什么条件时，和的角平分线平行？画出图形，并说明理由．
24．【问题背景】
同学们，我们已经学习过三角形外角的性质：“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．”那么三角形的两个外角与它们不相邻的内角之间有怎样的数量关系呢？四边形的两个外角与它们不相邻的内角之间的数量关系又如何呢？
【问题初探】
（1）如图1，，是的两个外角．
①，与之间的数量关系是 ；
②请用无刻度的直尺和圆规作，的平分线，相交于点，试探究与之间的数量关系，并证明你的结论；
【问题再探】
（2）如图2，，是四边形的两个外角．
①，与，之间的数量关系是 ；
②如图3，，的平分线，相交于点，若，，则的度数是 °；
【迁移拓展】
（3）如图4，平分，平分，当与满足怎样的数量关系时，直线．请说明理由．(共7张PPT)
浙教版2024八年级上册
第1章 三角形的初步知识单元测试
试卷分析
一、试题难度
难度 题数
较易 5
适中 9
较难 10
整体难度：较难
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题
1 0.85 举反例
2 0.85 构成三角形的条件
3 0.85 角平分线的性质定理；作角平分线(尺规作图)
4 0.85 确定第三边的取值范围
5 0.85 线段垂直平分线的性质
6 0.4 三角形三边关系的应用；角平分线的性质定理
7 0.4 角平分线的性质定理；垂线段最短
8 0.4 三角形三边关系的应用；全等三角形综合问题；两点之间线段最短
9 0.65 与三角形的高有关的计算问题；全等三角形综合问题
10 0.65 角平分线的性质定理；作角平分线(尺规作图)
三、知识点分布
二、填空题
11 0.65 全等三角形综合问题；三角形三边关系的应用；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
12 0.65 与角平分线有关的三角形内角和问题；三角形的外角的定义及性质
13 0.4 三角形内角和定理的应用；三角形的外角的定义及性质
14 0.4 点到直线的距离；根据三角形中线求长度
15 0.65 几何问题(一元一次方程的应用)；全等三角形的性质
16 0.4 根据三角形中线求面积
三、知识点分布
三、解答题
17 0.65 负整数指数幂；全等三角形的性质；零指数幂
18 0.65 解分式方程（化为一元一次）；三角形内角和定理的应用；线段垂直平分线的性质
19 0.65 与角平分线有关的三角形内角和问题；三角形的外角的定义及性质
20 0.65 三角形折叠中的角度问题；三角形的外角的定义及性质；作角平分线(尺规作图)
21 0.4 几何问题(一元一次方程的应用)；全等三角形的性质；有理数四则混合运算的实际应用
22 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
23 0.4 根据平行线判定与性质求角度；三角形的外角的定义及性质；与角平分线有关的三角形内角和问题
24 0.4 与角平分线有关的三角形内角和问题；三角形的外角的定义及性质；内错角相等两直线平行；作角平分线(尺规作图)《第1章三角形的初步知识单元测试·培优卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C B D D B A D A
1．D
该题考查了举反例，要说明命题“如果，那么”是假命题，需找到满足但的例子．逐一验证选项即可．
解：选项A：，，，满足条件．，结论成立，故A不是反例．
选项B：，，，满足条件．，结论成立，故B不是反例．
选项C：，，，满足条件．，结论成立，故C不是反例．
选项D：，，，满足条件．，结论不成立，故D是反例．
故选：D．
2．C
本题考查了三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，逐一验证各选项即可．
A．最大边为，检验，等于第三边，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形．
B．最大边为，检验，小于，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形．
C．最大边为，检验，满足两边之和大于第三边；
其他组合和均成立，因此可以构成三角形．
D．最大边为，检验，小于，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形．
综上，只有选项C符合条件．
故选：C．
3．C
本题考查了角平分线的性质定理，根据作图得到是角平分线，根据角平分线的性质定理得到点D到直线的距离等于，由此即可求解．
解：根据作图得到是的角平分线，
如图所示，过点作，则是点D到直线的距离，
∵，即，
∴，
故选：C．
4．B
设第三根长度为分米，根据三角形三边关系定理列不等式组求出x的取值范围再在各选项中选出符合条件的即可本题主要考查了三角形三边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键
解：设第三根长度为分米根据三角形三边关系可得：
，
解得，
因此，第三根的长度范围是，选项中只有B（9分米）满足条件，
故选B．
5．D
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式可得，然后根据等量代换即可得．
解：∵垂直平分，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
6．D
根据题意，得、和的边上的高相等，设这个相等的高长为，得到，，，利用三角形的三边关系定理解答即可．
本题考查了角的平分线的性质定理，三角形三边关系定理，三角形的面积公式，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
解：∵是三条角平分线的交点，
∴、和的边上的高相等，设这个相等的高长为，
∵的面积记为，的面积记为，的面积记为，
∴，，
∴，，，
由三角形三边关系得，
∴，
∴，
又∵，
∴可能的值10，
选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意．
故选：D．
7．B
本题考查三角形中的最短路径，角平分线的性质定理，解题的关键是理解的长度即为最小值．
过作于点，交于点，过点作于，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值．
解：过作于点，交于点，过点作于，如图：

∵平分于点于，
∴，
∴是最小值，此时与重合与重合，
∵三角形的面积为，
∴，
∴，
即的最小值为6．
故选：B．
8．A
利用三角形全等的判定和性质，根据两点之间线段最短，列出路程和比较解答即可．
本题考查了三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短，熟练掌握原理是解题的关键．
解：在上截取，
∵，
∴，
∴，
A. OABCO的线段表示为：,
B. OACBO的线段表示为：,
C. OBACO的线段表示为：,
D. OBCAO的线段表示为：,
∴
，
∵，
∴，
故B不符合题意；
在上截取，
∵，
∴，
∴，
又
，
∵，
∴，
故C不符合题意；
．
，
∵，
∴，
故D不符合题意；
故选：A．
9．D
先证明，进而依据“”判定和全等得，，由此可对结论进行判断；
设与交于点，与交于点，根据三角形内角和定理得，由此可对结论进行判断；
根据，得，由此可对结论进行判断；
过点作交的延长线于点，证明和全等得，进而再证明和全等得；由此可对结论进行判断；
由和全等得，进而得，再由和全等得，由此可对结论进行判断，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
解：，
，
，
在和中，
，
，
，，
故结论正确；
设与交于点，与交于点，如图所示：
在中，，
在中，，
，，，
，
，
故结论正确；
，
，
在中，是边上的高，
，
，
故结论正确；
过点作交的延长线于点，如图所示：
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
故结论正确；
，
，
，
，
，
，
，
故结论正确，
综上所述：正确的结论是，共个，
故选：D．
10．A
此题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键；
首先根据角平分线的性质得到，然后三角形面积公式求解即可．
解：由作图痕迹得平分，
过G点作于H点，如图，
∴，
∵，
∴的面积．
故选：A．
11．
本题考查了轴对称-最短路径问题，在上取点，使得，可知，得，可知，利用转化思想和线段的和差是解题的关键．
解：∵点是边的中点，，
∴，
在上取点，使得，
∵的角平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
此题考查了三角形外角的性质、角平分线的相关计算等知识．
根据三角形外角的性质及角平分线的性质逐步计算，即可解答．
在中，，有
∵外角和的角平分线交与点，
∴，
∴．
∵、的角平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
同理可得
，
∴．
故答案为：，．
13．
设的交点为M，的交点为Q，连接并延长到点N，
，利用三角形外角性质表示，的关系，解答即可．
本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键．
解：设的交点为M，的交点为Q，连接并延长到点N，
则，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14．
连接，设，则，根据“，”分别将和的面积用含的代数式表示出来，再根据列方程求出，从而求出的面积，进而根据垂线段最短，结合三角形面积公式，即可求解．
解：连接．
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴时，最小，即当是的高时，
故答案为：．
15．2.4或2
本题考查了全等三角形的判定．分两种情况：当，时，，当，时，，分别求解即可得出答案．
解：∵四边形是长方形，
∴．
当，时，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴；
当，时，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的值为2.4或2．
故答案为：2.4或2．
16．
本题考查三角形的中线，连接，利用三角形的中线平分面积，同高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可．
解：连接，
∵点F为中点，
∴，，
设，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
17．（1）；（2）
本题主要查了零指数幂，负整数幂，全等三角形的性质：
（1）先计算零指数幂，负整数幂，再计算有理数乘法，最后计算加减即可求解；
（2）根据，可得，从而得到，由即可求解．
（1）解：原式
；
（2）解：∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴．
18．（1）；（2）
（1）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程并检验，即可求解；
（2）根据垂直平分线的性质可得，进而根据等边对等角得出，，再根据三角形内角和定理求得，最后根据等边对等角即可求解．
解：（1）
方程两边同时乘以得，
解得：
检验，当时，，
所以是原方程的解，
（2）∵点P为三边垂直平分线的交点，
∴，
∴，，
∴，
∵
∴．
本题考查了解分式方程，中垂线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
19．(1)125°
(2)见解析
(3)，理由见解析
（1）根据三角形的内角定理得出，再根据角平分线的定义，即可求解；
（2）延长交于D，如图所示，根据三角形的外角定理可得，，即可求证；
（3）根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和，即可解答．
（1）解：∵．
∴，
∵点P是与的平分线的交点，
∴；
（2）解：延长交于D，如图所示：
∵是的一个外角，是的一个外角，
∴，，
∴；
（3）解：，理由如下：
∵外角，的角平分线交于点Q，
∴
，
∴；
本题主要考查了三角形的内角和定义，三角形的外角定理，角平分线，解题的关键是掌握三角形的内角和为，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
20．(1)图见解析
(2)
本题考查折叠的性质，尺规作图—作角平分线和线段，熟练掌握折叠的性质，是解题的关键：
（1）以为圆心，的长为半径画弧，交于点，作的角平分线，交于点，得到直线即可；
（2）折叠得到，三角形的外角求出的度数，再根据折叠的性质，平角的定义，求出的度数即可．
（1）解：由题意，作图如下：
（2）由折叠可得，，，
∵，，
∴，
∴．
21．(1)
(2)或
(3)运动的速度为或或或
本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键．
（1）当时，点P在线段上，根据点P速度表示的长即可；
（2）分两种情况讨论：①点P在上；②点P在上，利用三角形面积分别求解即可；
（3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可．
（1）解：当时，点P在线段上，
∵点P速度为，
∴．
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∵的面积等于面积的一半，
∴．
①当点P在上时，
，
∴，
．
②当点P在上时，
过点C作于点D，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
．
故答案为：或
（3）设点的运动速度为，
①当点在上，点在上，时，
，
∴；
②当点在上，点在上，时，
，
∴；
③当点P在上，点在上，时，
，
∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴；
④当点P在上，点Q在上，时
，
∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴．
∴运动的速度为或或或
22．(1)见解析
(2)
(3)
本题考查了同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）由，，得，因为，所以，而，即可根据证明；
（2）由全等三角形的性质得，因为，所以；
（3）作于点，则，由，推导出，而，可证明，得，，则，再证明，得，由，求得，则，即可求得．
（1）证明：直线经过点，，垂足为，，垂足为，
，
，
，
在和中，
，
．
（2）解：由（1）得，
，
，
，
的长是．
（3）解：如图，作于点，则，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
线段的长为．
23．(1)
(2)
(3)
（1）根据和的角平分线交于点，得到，根据外角性质，得，解答即可；
（2）仿照（1）的解题思路，解答即可；
（3）根据；结合平行线的性质，得到，得到，根据两直线平行，同旁内角互补，解答即可．
本题考查了平行线的判定和性，角的平分线，三角形外角性质，四边形内角和定理，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
（1）解：∵和的角平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
（2）解：设分别在射线上取一点M，点N，
∵和的角平分线交于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
（3）解：如图，设分别是的角平分线，
则；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．（1）①；②，见解析；（2）①；②；（3）当时，，见解析
本题考查了三角形的外角的性质，作角平分线，角平分线的定义，平行线的判定，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键；
（1）①根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理可得，即可得出；
②根据题意作出，的平分线，相交于点，根据角平分线的定义得出，，结合①的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解；
（2）①连接，根据三角形的外角的性质可得，，进而可得
②根据①的结论得出，，即可求解．
（3）延长交于点，根据角平分线的定义得出，，根据②的结论得出，即可得出，进而根据得出，根据内错角相等，即可得证
解：（1）①解：∵，是的两个外角．
∴
∴；
故答案为：．
②.
证明如下：
∵，分别平分，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴.
（2）①如图，连接，
∵，是，的外角
∴，
∴；
故答案为：．
②∵，，
∴
∵，的平分线，相交于点，
∴
由①可得，
∴
故答案为：；
（3）当时，.理由如下：
延长交于点，
∵，分别平分，，
∴，，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴.

展开更多......

收起↑