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《第1章 三角形的初步知识单元测试·基础卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C D C C D C C B
1．A
本题考查垂直平分线的性质，熟记垂直平分线性质是解决问题的关键．由、分别垂直平分、，得到，再由的周长表示出来即可得到答案．
解：、分别垂直平分、，
，
，
故选：A
2．D
此题考查了命题的真假，对顶角相等，垂线段最短，平行公理推论，点到直线的距离定义，根据对顶角相等，垂线段最短，平行公理推论，点到直线的距离定义求解即可．
命题①：对顶角相等．根据对顶角的性质，两条直线相交时，对顶角一定相等，故①为真命题．
命题②：垂线段最短．直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短，这是垂线段的基本性质，故②为真命题．
命题③：平行于同一条直线的两条直线平行．根据平行公理的推论，若两条直线都与第三条直线平行，则它们互相平行（同一平面内），故③为真命题．
命题④：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．此定义符合教材中“点到直线的距离”的表述，故④为真命题．
综上，四个命题均为真命题，
故选：D．
3．C
本题考查了角平分线的性质，熟练运用角平分线的性质是本题的关键．
过点D作于点E，根据角平分线的性质可得，即可求解．
解：如图，过点D作于点E，
∵平分，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即点到的距离为．
故选：C
4．D
本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合可判定④．
解：∵，的平分线交于点，
∴，，
∴，
∴，
故①正确，符合题意；
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故②正确，符合题意；
∵，，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故③正确，符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
故④正确，符合题意；
综上正确的有：①②③④．
故选：D．
5．C
本题考查平行线的判定定理，本题中每组条件都可判断直线平行，但是有三个不能判断题目所需的直线平行，所以依据平行线的判定定理，要找准截线和被截线．
先观察已知角的位置关系，根据平行线的判定定理判断通过已知角可得哪两条直线平行，可得出结论．
解：①，则，是真命题；
②若，则，是真命题；
③若，则，是真命题；
④若，无法判断，是假命题；
故选：C．
6．C
本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质求出，的长即可得到答案，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键．
解：∵，
∴，，
∴，
故选：．
7．D
本题主要考查了三角形的三边关系，根据三边关系求出的取值范围是解题的关键．
首先确定三角形的两边是，，再根据三角形三边关系确定的取值范围，判断即可．
解：根据三角形三边关系得：，
即，
所以的距离不能是，
故选：D．
8．C
在直角三角形中，点到斜边的距离可以通过面积法求解；利用两种不同的面积表达式建立方程，解出高即可.
解：∵ 为直角三角形，直角边，，
∴
∵设点 到的距离为，
∴
∴，解得：
故选：C.
9．C
本题考查了命题真假的判断，垂直公理，线段公理，内错角及对顶角的性质等知识，逐一判断四个命题的真假，统计假命题的个数即可．
解：命题①：“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”
在同一平面内，过一点（无论点在直线上还是直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直；此命题缺少前提“在同一平面内”，故不正确，是假命题；
命题②：“两点之间直线最短”
正确的公理是“两点之间，线段最短”，直线是无限延伸的，没有长度的概念；此命题错误，是假命题；
命题③：“不相等的角不是内错角”
内错角是否相等取决于两直线是否平行；若两直线不平行，内错角不相等，但它们仍然是内错角；因此，不相等的角可能是内错角；此命题错误，是假命题；
命题④：“对顶角相等”
根据对顶角的性质，对顶角一定相等；此命题正确，是真命题；
综上，假命题为①②和③，共3个；
故选C．
10．B
本题考查了真假命题的判断，根据对顶角，平行线的判定，平方的性质等知识点逐一分析各选项的正确性，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：、相等的角不一定是对顶角，例如平行线中的同位角相等，但并非对顶角，故为假命题，不符合题意；
、根据平行线判定定理，内错角相等则两直线平行，故为真命题，符合题意；
、同旁内角互补需以两直线平行为前提，未说明条件时命题不成立，故为假命题，不符合题意；
、 若，则，例如但，故为假命题，不符合题意；
故选：．
11．4或8/8或4
本题考查三角形的高、中线和面积，注意高可在三角形的内部和外部是解题的关键．利用面积法求出，即可求得，再分在内部和外部，求出即可．
解：为的高，的面积为12，，
，
∴，
∵为的中线，
∴，
当在内部时，如图所示：
∵，
∴；
当在外部时，如图所示：
∵，
∴；
综上分析可知：的长为4或8．
故答案为：4或8．
12．34或74
本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据题意分情况讨论是解决问题的关键．根据题意，由于类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解．
解：根据题意，分三种情况讨论：
高在三角形内部，如图所示：
在中，为边上的高，，
，
，
；
高在三角形边上，如图所示：
可知，
，
故此种情况不存在，舍弃；
高在三角形外部，如图所示：
在中，为边上的高，，
，
，
；
综上所述：或，
故答案为：或．
13．
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，由，，得，则，然后通过三角形内角和即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
14．8
本题主要考查了线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质，可得，再根据三角形周长公式解答即可．
解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵的周长为8，
∴．
故答案为：8
15．4
本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．
利用线段垂直平分线的性质，得出相等的线段，然后利用三角形的周长公式即可求解．
解：∵的垂直平分线分别与交于点D，E，
∴，
∴的周长为，
故答案为：4．
16．
本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算，过点C作于点D，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点P与点D重合时，最小．
解：在中，于点，，如图，过点C作于点D，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵垂线段最短，
∴当点P与点D重合时，最小，即最小值为，
故答案为：．
17．
本题考查了三角形三边的不等关系：任两边的和大小第三边，任两边的差小于第三边，化简绝对值等知识；根据三角形三边关系确定的符号，由绝对值的性质及整式加减法则即可化简．
解：∵a、b、c为三角形的三边，
∴，
即，
∴
．
18．(1)，
(2)
（）利用完全平方公式计算即可；
（）由三角形三边关系得，再根据绝对值的性质化简合并即可；
本题考查了完全平方公式的变形运算，三角形的三边关系，绝对值的性质等，掌握以上知识点是解题的关键．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是的三边，
∴，
．
19．(1)
(2)为等腰三角形，理由见解析
本题考查了三角形的相关知识．熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，是解题的关键．
（1）在中，根据三角形三个内角的和是即可求出的度数；
（2）先求出，结合（1）中的结论即可求出，根据平行线性质 ，得，得，从而判断出的形状．
（1）解：，，
∴；
（2）解：为等腰三角形，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
．
故为等腰三角形．
20．(1)，理由见解析
(2)作图见解析
(3)
本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的尺规作图和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）利用证明即可；
（2）根据尺规作角平分线的步骤画图即可；
（3）作，利用角平分线的性质可得，再用面积公式求解即可．
（1）解：，理由如下：
∵，
∴，即，
∵，
∴，
在和中
∵，
∴
（2）如图，就是所求作的射线；
（3）作于点，如图所示，
∵平分，，，
∴，
由，得，
∴．
21．见解析
本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题干信息的提示逐步完善推理过程与推理依据即可.
解：，（已知）
．（等式的性质）
即．
，（已知）
．（两直线平行，同位角相等）
在和中有
，
．（）
．（全等三角形的对应边相等）
22．
本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形的内角和定理、余角性质，根据直角三角形的特征及可得，进而可得，再根据即可求解，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
解：和是由摆动得到，
，
，
，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
23．合理，理由见解析
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
根据条件得出，然后得出即可．
解：合理，
理由：
在和中，
，
．
，
平分．
24．(1)20
(2)见解析
此题考查全等三角形的判定与性质、全等三角形的应用等知识与方法，解题的关键是从实际问题中抽象出全等三角形的图形．
（1）由补充完整的图形可知，，且与是对应边，可知米；
（2）由题意可知米，，与是对顶角，由“”可判定，则米，说明小明的方案是正确的．
（1）解：由得米，
故答案为：20
（2）解：由题意可知，，
又
∴，
∴米，
即测得的长就是凉亭与游船之间的距离．
因此，小明的方案是正确的．(共7张PPT)
浙教版2024八年级上册
第1章 三角形的初步知识单元测试
试卷分析
一、试题难度
难度 题数
容易 1
较易 14
适中 9
整体难度：一般
一、试题难度
三、知识点分布
题号 难度系数 详细知识点
一、单选题
1 0.85 线段垂直平分线的性质
2 0.85 点到直线的距离；平行公理的应用；对顶角相等；判断命题真假
3 0.85 角平分线的性质定理
4 0.65 与角平分线有关的三角形内角和问题；三角形的外角的定义及性质；角平分线的有关计算
5 0.85 根据平行线判定与性质证明；判断命题真假
6 0.85 全等三角形的性质
7 0.94 确定第三边的取值范围；三角形三边关系的应用
8 0.85 与三角形的高有关的计算问题
9 0.85 判断命题真假；两点之间线段最短；对顶角相等；同位角、内错角、同旁内角
10 0.65 判断命题真假；对顶角相等；内错角相等两直线平行；两直线平行同旁内角互补
三、知识点分布
二、填空题
11 0.85 与三角形的高有关的计算问题；根据三角形中线求长度
12 0.85 三角形内角和定理的应用
13 0.65 根据平行线的性质求角的度数；三角形内角和定理的应用
14 0.85 线段垂直平分线的性质
15 0.85 线段垂直平分线的性质
16 0.65 垂线段最短；与三角形的高有关的计算问题
三、知识点分布
三、解答题
17 0.85 带有字母的绝对值化简问题；三角形三边关系的应用
18 0.65 整式的加减运算；通过对完全平方公式变形求值；带有字母的绝对值化简问题；三角形三边关系的应用
19 0.65 三角形内角和定理的应用；等腰三角形的性质和判定；两直线平行内错角相等；三角形的外角的定义及性质
20 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；角平分线的性质定理；作角平分线(尺规作图)
21 0.85 全等的性质和SAS综合（SAS）
22 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；三角形内角和定理的应用
23 0.85 全等的性质和SSS综合（SSS）
24 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷
第1章三角形的初步知识单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．如图，在中、分别垂直平分、．若，则的周长是（　　）
A． B． C． D．
2．下列四个命题，①对顶角相等；②垂线段最短；③平行于同一条直线的两条直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在中，，，，平分，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，与的平分线交于点，的外角平分线所在的直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论①；②；③；④．正确的有：（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在三角形中，点，，分别在边，，上，连接，．下列四个命题中，是真命题的是（ ）
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
6．如图，，若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，，，，则点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
9．有下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②两点之间直线最短；③不相等的角不是内错角；④对顶角相等．其中，假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补 D．若，则
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．为的中线，为的高，的面积为，，，则的长为 ．
12．在中，为边上的高，，，则 度．
13．如图，，点在这两条平行线之间，且，连接并延长，交的延长线于点．若，，则 度．（用含的代数式表示）
14．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，已知的周长为8，那么应为 ．
15．如图，在中，，的垂直平分线分别与交于点D，E，若，则的周长是 ．
16．如图，在中，于点，，为边上一动点，连接，则的最小值为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．a、b、c为三角形的三边，化简：
18．回答下列问题：
(1)已知，，求与的值；
(2)已知的三边分别是，化简代数式：．
19．如图，在中，，．
(1)求的度数；
(2)若，交于点E，判断的形状，并说明理由．
20．如图，点在同一条直线上，，，．
(1)与全等吗？请说明理由；
(2)尺规作图：作的角平分线，与交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）；
(3)在条件（2）下，若，，求的面积．
21．如图，点在一条直线上，，说明．请将下面的说理过程和理由补充完整．
解：，（已知）
_________．（等式的性质）
即_________．
，（已知）
_________．（_________）
在和中有：
，
__________________．（_________）
．（_________）
22．在一个支架的横杆点处用一根绳悬挂一个小球，小球可以摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小球从摆到位置时，过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直，过点作于点，测得，，求的长．
23．如图，仪器可以用来平分一个角，，将仪器上的点与的顶点R重合，调整与，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，就是的平分线，你认为合理吗？为什么？

24．兰州黄河风情线是兰州的城市名片，小明站在中山桥附近的凉亭A点处，正对他的黄河中点停有一艘羊皮筏子（与河岸垂直）．他想测量凉亭与羊皮筏子之间的距离，制定了如下方案：
课题 测兰州黄河风情线凉亭与羊皮筏子的距离
测量工具 皮尺等．
测量方案示意图
测量步骤 ①小明沿黄河风情线（河岸）走到黄河母亲雕像处，记为点； ②从点沿河岸继续向前走与等长的距离，到达点； ③在点向左转（朝向远离河岸方向）直行，直到观察到黄河母亲雕像与羊皮筏子在同一直线上时，停下记作点．
测量数据 米，米，米
(1)凉亭A与羊皮筏子之间的距离是___________米；
(2)请说明小明做法的正确性．

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