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第3节 向心加速度
人教版高中物理必修二第六章
学习目标
知道匀速圆周运动指向圆心的加速度——向心加速度
知道向心加速度的表达式，能根据问题情境选择合适的向心加速度的表达式并会用来进行简单的计算
会用矢量图表示速度变化量与速度之间的关系，理解加速度与速度、速度变化量的区别
体会匀速圆周运动向心加速度方向的分析方法
知道变速圆周运动的向心加速度的方向和加速度的公式
新课导入
通过前面的学习，我们已经知道，做曲线运动的物体速度一定是变化的．即使是我们上一堂课研究的匀速圆周运动，其方向仍在不断变化着．换句话说，做曲线运动的物体，一定有加速度．圆周运动是曲线运动，那么做圆周运动的物体，加速度的大小和方向如何确定呢 ——这就是我们今天要研究的课题．
物体做匀速圆周运动时，所受合力提供向心力，合力的方向总指向圆心，根据牛顿第二定律，物体运动的加速度方向与它所受合力方向相同
结论：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，叫做向心加速度
一、匀速圆周运动的加速度方向
例题1
如图1甲所示，地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，光滑桌面上一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动.
(1)分析地球和小球的受力情况，说明地球和小球的加速度方向；
图1
答案　地球只受到太阳引力作用，方向指向圆心，加速度方向指向圆心.小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圆心，故加速度的方向指向圆心.
(2)地球和小球加速度的作用是什么？
答案　由于加速度的方向指向圆心，故加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小.
(3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？
答案　由于地球和小球的加速度总是沿半径指向圆心，故加速度方向是变化的.匀速圆周运动是一种变加速曲线运动.
二、匀速圆周运动的加速度大小
1 推导过程：
根据牛顿第二定律
F=ma
根据向心力表达式
得到：
二、匀速圆周运动的加速度大小
思考：结合线速度和角速度的关系，你来推导匀速圆周运动的加速度大小的表达式还有哪些 ？
2、向心加速度的大小
V一定时，a与r成反比
ω一定时，a与r成正比
3、向心加速度的特点：
只改变速度的方向，不改变速度的大小——向心加速度是描述做圆周运动的物体速度方向改变快慢的物理量
1、向心加速度的方向
时刻指向圆心
匀速圆周运动是变加速运动
——方向时刻变化
B和C在同一转轴上，角速度相同，因此向心加速度与半径成正比
A和B同一链条相连，线速度相同，因此向心加速度与半径成反比
三、向心加速度的大小的表达式
1.向心加速度公式
(2)由于v＝ωr，所以向心加速度也可以写成an＝ωv.
思考：　
1.向心加速度公式仅适用于匀速圆周运动吗？
答案　向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，v为某位置的线速度，且无论物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆心.
2.由向心加速度的表达式an＝ω2r可知，an与r成正比；由an＝ 可知，an与r成反比，二者相互矛盾吗？
答案　不矛盾.在公式an＝ω2r中，ω一定时，an与r成正比；在公式an＝
中，v一定时，an与r成反比.二者前提条件不同，故不矛盾.
1、下列关于向心加速度的说法中，正确的是
A.向心加速度的方向始终与速度的方向垂直
B.向心加速度的方向保持不变
C.在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D.在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
A
练习
2、两轮用皮带传动，皮带不打滑。图中有A、B、C三点，这三点所在处半径ra>rb=rc,则这三点的向心加速度关系是
A、aA=aB=aC
B、 aC> aA> aB
C、 aC< aA D、 aC= aB> aA
.o1
.o2
.C
B
.
A.
练习
C
VA=VB
ω A= ωC
aA aC< aA
a=rω2
练习
3、如图所示，长度为L=0.5m的轻杆，一端固定质量为M=1.0kg的小球A(小球的半径不计)，另一端固定在一转动轴O上．小球绕轴在水平面上匀速转动的过程中，每隔0.1s杆转过的角度为30°。试求：小球运动的向心加速度．
14 m／S2
O
A
4、如图为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上。若在传动过程中，皮带不打滑，则
A、a点与b点的线速度大小相等
B、a点与b点的角速度大小相等
C、a点与c点的线速度大小相等
D、a点与d点的向心加速度大小相等
.b
4r
2r
r
c
d
a
练习
C D
速度的变化量v是矢量还是标量
如果初速度v1和末速度v2不在同一直线上，如何表示速度的变化量v
把我们在第三章中学过的两个矢量相加的三角形法则逆过来运用就可以得出两个不在同一直线上的矢量的相减．
F1
F2
F
V1
ΔV
V2
三拓展学习 推导向心加速度公式
1 速度变化量
O
A
B
VA
VB
VA
ΔV
C
D
∵△OBA∽△BCD
又∵OB⊥BC,OA ⊥BD
∴CD ⊥AB
即:ΔV ⊥ AB
即△v与垂直AB弦的圆的半径方向平行
当经历的时间Δt很小时，
AB很小，A几乎与B重合，此时
△v即与过A（或B）点圆的半径方向平行
即： △V指向圆心方向
亦即：a的方向指向圆心方向
——a与ΔV 的方向相同
做匀速圆周运动的物体的加速度的方向
上面的推导不涉及“地球公转“小球绕图钉转动”等具体的运动，结论具有一般性：
任何做匀速圆周运动的物体的加速度方向都指向圆心．这个加速度叫做向心加速度．
结论
三、向心加速度的方向
时刻指向圆心
匀速圆周运动是变加速运动
匀速圆周运动是匀变速运动

——方向时刻变化
以B点为圆心以V的大小为半径做个圆， ΔV就是圆的弦，由于Δt很小，所以ΔV就等于圆弧CD.
圆弧CD=R θ =V θ
即ΔV= V θ
O
A
B
VA
VB
ΔV
C
D
又∵v=rω
所以向心加速度的大小
θ
=vω
2、向心加速度的大小
V一定时，a与r成反比
ω一定时，a与r成正比
2、向心加速度的特点：
只改变速度的方向，不改变速度的大小——向心加速度是描述做圆周运动的物体速度方向改变快慢的物理量
3、非匀速圆周运动的加速度方向
不指向圆心
沿半径方向的分量：a向——改变速度方向
沿切线方向的分量：a切——改变速度大小
分解
小结 ：
巩固练习1　(多选)下列关于向心加速度的说法正确的是
A.向心加速度的方向始终与速度方向垂直
B.向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C.物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D.物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
√
√
√
解析　向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向则沿圆周的切线方向，向心加速度的方向始终与速度方向垂直，向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小.物体做匀速圆周运动时，只有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；物体做变速圆周运动时，加速度的方向并不指向圆心.故A、B、D正确，C错误.
巩固练习2 如图所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω匀速旋转，A、B为球体表面上两点，下列说法正确的是
A.A、B两点具有相同的角速度
B.A、B两点具有相同的线速度
C.A、B两点的向心加速度的方向都指向球心
D.A、B两点的向心加速度大小之比为2∶1
√
解析　A、B为球体表面上两点，因此，A、B两点的角速度与球体绕轴O1O2旋转的角速度相同，A正确；
如图所示，A以P为圆心做匀速圆周运动，B以Q为圆心做匀速圆周运动，因此，A、B两点的向心加速度方向分别指向P、Q，C错误；
巩固练习3 如图所示，竖直固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面内做匀速圆周运动.以下关于A、B两球做圆周运动时的线速度(vA、vB)、角速度(ωA、ωB)、加速度(aA、aB)和对内壁的压力(FNA、FNB)的关系式正确的是
A.vA>vB B.ωA>ωB
C.aA>aB D.FNA>FNB
√
解析　对小球受力分析如图所示，可得FN＝ ，
Fn＝ ，由于两个小球的质量相同，并且都是在水平面内做匀速圆周运动，即θ相同，所以两个小球的向心力大小和受到的支持力大小都相等，所以有FNA＝FNB，aA＝aB，故C、D错误；
向心力大小相等，由向心力的公式Fn＝ 可知，半径大的，线速度大，所以vA>vB，故A正确；
由向心力的公式Fn＝mrω2可知，半径大的，角速度小，所以ωA<ωB，故B错误.

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