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4.5.2牛顿运动定律的瞬时性问题
人教版(2019)必修 第一册
完成一个小目标，需要一个大智慧！
授课教师：
瞬时加速度问题
轻绳、轻杆和接触面类
不发生明显形变就能产生弹力，剪断或脱离后，不需要时间恢复形变，弹力立即消失或改变，一般题目中所给的轻绳、轻杆和接触面在不加特殊说明时，均可按此模型处理
弹簧、蹦床和橡皮条类
当弹簧的两端与物体相连（即两端为固定端）时，由于物体有惯性，弹簧的长度不会发生突变，所以在瞬时问题中，其弹簧的大小认为是不变的，即此时弹簧的弹力不会发生突变
课堂引入
绳和弹簧中会产生力，当它们被剪断的瞬间，力在瞬间是突然消失还是在瞬间保持不变？
当它们被剪断的瞬间，力瞬间消失
4.5.2：瞬时性问题
a与F合有瞬时对应关系。当F合的方向、大小改变时，a方向、大小也立即发生相应的改变；当F合为零时，物体的a也立即为零。因力和加速度之间是瞬时对应的，故物体运动的加速度可以突变。
关键是分析该时刻物体的受力情况及运动状态。
学习目标及重点
1.知道轻绳、轻弹簧和轻杆等的瞬时性特点。
2.掌握瞬时性问题的解题思路和步骤。(重点)
3.会应用整体法和隔离法分析和计算瞬时性问题。(重点)
类别 弹力表现形式 弹力方向 能否突变
轻绳
橡皮条
轻弹簧
轻杆
瞬时加速度问题
拉力
沿绳收缩方向
能
拉力
沿橡皮条收缩方向
不能
拉力、支持力
沿弹簧轴线方向
不能
拉力、支持力
不确定
能
1.瞬时性问题
F与a瞬时对应,瞬时性问题就是分析某时刻前后F、a如何变化。
2.弹力突变模型
瞬时性问题
轻弹簧，橡皮筋
（形变量较大）
两端连有物体时
弹力不能突变
恢复需要时间长
轻绳、轻杆、木块
恢复需要时间短
弹力能突变
（形变量微小）
外力撤销时，形变马上恢复
A
1
2
小试牛刀
如图A和B，1、2小球质量均为m，系统处于静止状态，问：
1.剪断绳子，绳子和弹簧的力是否突变？
2.剪断弹簧，绳子和弹簧的力是否突变？
B
1
2
1.剪断绳子，绳子的拉力突变为0，弹簧的弹力不变
2.剪断弹簧，弹簧的弹力突变为0，A中绳的拉力由2mg突变为mg，B中绳的拉力突变为0.
小试牛刀
如图所示，A、B、C三个小球的质量均为m，系统处于静止状态，问：
1.剪断绳1的瞬间，绳2和弹簧的弹力是否突变？
2.剪断绳2的瞬间，绳1和弹簧的弹力是否突变？
3.剪断弹簧的瞬间，绳1和绳2的弹力是否突变？
1.剪断绳1，绳1的拉力突变为0，绳2的拉力突变为0.5mg，弹簧的弹力不变。
2.剪断绳2，绳2的拉力突变为0，绳1的拉力突变为mg，弹簧的弹力不变。
3.剪断弹簧，弹簧的弹力突变为0，绳1的拉力突变为2mg，绳2的拉力突变为mg。
绳1
绳2
弹簧
解题思路和步骤
1.两个关键
(1)明确绳或线类、弹簧或橡皮条类模型的特点。
(2)分析瞬时前、后的受力情况和运动状态。
分析瞬时变化前后物体的受力情况
列牛顿第二定律方程
求瞬时加速度
2.做题思路
3.求解瞬时加速度问题的一般步骤
1
分析原状态下物体的受力情况，求出各力大小。
2
分析当状态变化时，哪些力变化，哪些力不变，哪些力消失。
3
求出物体在状态变化后所受的合力，利用牛顿第二定律，求出瞬间加速度。
给定状态
烧断细线、剪短弹簧、抽出木板、撤去某个力。
物体若处于平衡状态，则利用平衡条件；若处于加速状态，则利用牛顿第二定律
被剪断的绳、产生在被撤去物接触面上的弹力会立即消失。
3.基本思路（三个步骤）
①分析原状态下物体受力
列方程（平衡；F=ma）
②分析当状态变化瞬间，哪些力变化，哪些力不变
剪断细绳、剪断弹簧、抽出木板、撤去某力等
③分析状态变化瞬间的F合，利用F合=ma求瞬时a
如图所示，质量为4 kg的物体A静止在竖直的轻弹簧上面。质量为1 kg的物体B用细线悬挂起来，A、B紧挨在一起但A、B之间无压力。某时刻将细线剪断，则细线剪断瞬间，B对A的压力大小为(g取10 m/s2)的(　　)
A．0 B．50 N C．10 N D．8 N
1.原状态：剪断细绳之前，F绳=10N，F弹簧=40N，FAB=0N
2.变化瞬间：剪断细绳瞬间，F绳=0N，F弹簧=40N
3.牛顿第二定律算突变的力：FAB=8N
典例1.
D
【变式1】(多选)甲、乙二个小球均处于静止状态,甲、乙间通过轻弹簧连接,甲与天花板间由轻绳连接,甲、乙二个小球的质量分别为2m、m,重力加速度为g,将甲与天花板间的轻绳剪断瞬间,二个小球的加速度大小为(　 　)
A.a甲＝1.5g B.a甲＝0
C.a乙＝g D.a乙＝0
AD
【变式2】(多选)甲、乙二个小球均处于静止状态,甲、乙间通过轻弹簧连接,甲与天花板间由轻绳连接,甲、乙二个小球的质量分别为2m、m,重力加速度为g,将甲与乙间的弹簧剪断瞬间,二个小球的加速度大小为(　 　)
A.a甲＝1.5g B.a甲＝0
C.a乙＝g D.a乙＝0
BC
弹簧的弹力不能突变，具有瞬时不变的特点，
绳子的拉力和刚性杆力能够瞬时突变。
【变式3】 如图所示，物块1、2间用竖直刚性轻质杆连接，物块3、4间用竖直轻质弹簧相连，物块1、3的质量为m，物块2、4的质量为M，两个系统均置于水平放置的光滑木板上，并处于静止状态。现将两木板沿水平方向突然抽出，设抽出后的瞬间，物块1、2、3、4的加速度大小分别为a1、a2、a3、a4。重力加速度为g，则有(　　)
C
将两个相同的小球分别和相同长度的弹性绳和刚性绳相连，然后从某高度静止释放。如图，连接A、B的是一般细绳（刚性绳），连接C、D的是橡皮筋。小球在释放后的短暂时间（橡皮筋还未第一次恢复原长）后，下列图中符合ABCD实际排列情况的是（　　）
A． B． C． D．
典例2.
C
刚性绳：释放小球前，细绳的形变量十分微小，F弹=mg，小球在释放后的短暂时间，细绳立即恢复原长，伸直而无拉力，两个小球的加速度均等于重力加速度g，一起做自由落体运动
橡皮筋：释放小球前，橡皮筋的形变量很大，F弹=mg其弹力为 ，小球在释放后的短暂时间，橡皮筋不能立即恢复原长，对于球C：maC=F弹+mg，对于球D：maD=F弹-mg，解得aC=2g，aD=0 ，因为aC＞aD，释放后很短的时间内，小球C向下运动的位移比D大，两个小球的距离减小，橡皮筋恢复原长前不弯曲。
【变式4】：一个轻弹簧，B端固定，另一端C与细绳的一端共同拉住一个质量为m的小球，细绳的另一端A也固定，如图。AC、BC与竖直方向夹角分别为θ1、θ2，烧断细绳瞬间，小球的加速度为多少？
A
B
C
θ1
θ2
【变式5】：如图，质量为m的小球用水平弹簧系住，并用倾角为30°的光滑木板AB托住，小球恰好处于静止状态，当木板AB突然向下撤离的瞬间，小球的加速度为（　）
A.0
B.大小为g，方向竖直向下
C.大小为　　g，方向垂直木板向下
D.大小为　　g，方向水平向右
A
B
C
【变式6】如图所示，在动摩擦因数μ=0.2的水平面上有一个质量m=1kg的小球，小球与水平轻弹簧及与竖直方向成θ=45°角的不可伸长的轻绳一端相连，此时小球处于静止状态，且水平面对小球的弹力恰好为零。在剪断轻绳的瞬间(g取10 m/s2)，下列说法中正确的是(　　)
mg
T
F
A．小球受力个数不变
B．小球立即向左运动，且a=8 m/s2
C．小球立即向左运动，且a=10 m/s2
D．若剪断的是弹簧，则剪断瞬间小球加速度为零
√
√
mg
N
F
f
【变式7】如图所示，质量为4kg的物块A拴在一个被水平拉伸的弹簧一端，弹簧的另一端固定在车上，开始时小车静止，弹簧对物块的弹力大小为10N，小车、物块均处于静止状态，现让小车以加速度a=2m/s2沿水平地面向右加速运动，则（　　）
A.物块A相对小车仍静止
B.物块A受到的弹簧弹力将变大
C.物块A受到的摩擦力将减小
D.物块A受到的摩擦力将增大
AC
【变式8】.如图,A、B、C三个小球质量均为m,A、B之间用一根没有弹性的轻质细线连在一起,B、C之间用轻弹簧拴接,整个系统用细线悬挂在天花板上并且处于静止状态。现将A上面的细线剪断,使A的上端失去拉力,则在剪断细线的瞬间,A、B、C三个小球的加速度分别是(重力加速度为g)
(　　)
A.1.5g,1.5g,0　　B.g,2g,0　
C.g,g,g　　
D.g,g,0
A
拓展　把B、C间的轻弹簧换为细线,其他条件不变,如图所示,则例1选项中正确的是 (　　)
由于细线张力可以突变,故剪断A上面的细线后小球A、B、C只受重力,其加速度a1=a2=a3=g。故选项C正确。
对点训练——瞬时加速度
如图所示，吊篮A、物体B、物体C的质量分别为m、2m、3m，B和C分别固定在竖直弹簧两端，弹簧的质量不计。整个系统在轻绳悬挂下处于静止状态，现将悬挂吊篮的轻绳剪断，在轻绳刚断的瞬间（　　）
A.吊篮A的加速度大小为g
B.物体B的加速度大小为g
C.物体C的加速度大小为g
D.A、C间的弹力大小为0.5mg
解析：D
【变式9】如图，质量为m的小球被一根橡皮筋AC和一根绳BC系住，当小球静止时，橡皮筋处在水平方向上（重力加速度为g）。下列判断正确的是
A．在AC被突然剪断的瞬间，BC对小球的拉力大小发生突然变化
B．在AC被突然剪断的瞬间，小球的加速度大小为
C．在BC被突然剪断的瞬间，小球的加速度大小为g
D．在BC被突然剪断的瞬间，小球的加速度大小为
【答案A】
【解析】AB．设小球静止时BC绳的拉力为F，AC橡皮筋的拉力为T，由平衡条件可得Fcosθ=mg，Fsinθ=T,解得F=，T=mgtanθ
在AC被突然剪断的瞬间，BC上的拉力F发生了突变，小球的加速度方向沿与BC垂直的方向且斜向下，大小为a=gsinθ,A正确，B错误；
CD．在BC被突然剪断的瞬间，橡皮筋AC的拉力不变，小球的合力大小与BC被剪断前拉力的大小相等，方向沿BC方向斜向下，故加速度
a=CD错误。故选A。
【变式10】 （多选）用三根细线a、b、c将两个小球1和2连接，并悬挂如图所示。两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为，细线c水平，以下正确的是
A．剪断细线a的瞬间球1加速度大小为g
B．剪断细线a的瞬间球2加速度大小为g
C．剪断细线b的瞬间球1加速度大小为g
D．剪断细线b的瞬间球2加速度大小为g
【参考答案】ABD
【解析】A．剪断细线a的瞬间，细线a、细线b拉力瞬间变为零，对球1
得,球1加速度大小为g。故A正确；B．剪断细线a的瞬间，细线b、细线c拉力瞬间变为零，对球2:得,球2加速度大小为g。故B正确；C．剪断细线b的瞬间，对球1:得,故C错误；D．剪断细线b的瞬间，细线b、细线c拉力瞬间变为零，对球2:得,球2加速度大小为g。故D正确。故选ABD。
【变式11】如图所示，一个质量为m的均匀光滑球放在倾角为θ的固定斜面上，并被斜面上一挡板挡住处于静止状态。已知重力加速度为g，设球对挡板的压力大小为F1，球对斜面的压力大小F2，则（　　）
A．撤去挡板瞬间球的加速度为
B．
C．
D．
C
对点训练——瞬时加速度
　　
如图所示，光滑斜面的倾角为θ，A球质量为2m、B球质量为m，图甲中A、B两球用轻弹簧相连，图乙中A、B两球用轻质杆相连，挡板C与斜面垂直，轻弹簧、轻杆均与斜面平行，在系统静止时，突然撤去挡板的瞬间有（　　）
A.图甲中A球的加速度为gsin θ
B.图甲中B球的加速度为0
C.图乙中A、B两球的加速度均为0
D.图乙中A、B两球的加速度均为gsin θ
解析：D
2．解决此类问题的基本思路
(1)分析原状态(给定状态)下物体的受力情况，明确各力大小．
(2)分析当状态变化时(烧断细线、剪断弹簧、抽出木板、撤去某个力等)，哪些力变化，哪些力不变，哪些力消失(被剪断的绳、弹簧中的弹力、发生在被撤去物体接触面上的弹力都立即消失)．
(3)求物体在状态变化后所受的合外力，利用牛顿第二定律，求出瞬时加速度．
1.速度与加速度(合力)方向相同或夹角为锐角，物体做加速运动；速度与加速度(合力)方向相反或夹角为钝角，物体做减速运动．
二、变力作用下加速度和速度的分析
【例1】如图所示，一个小球从竖直立在地面上的轻弹簧正上方某处自由下落，在小球与弹簧开始接触到弹簧被压缩到最短的过程中，小球的速度和加速度的变化情况是(　　)
A．加速度越来越大，速度越来越小
B．加速度和速度都是先增大后减小
C．速度先增大后减小，加速度方向先向下后向上
D．速度一直减小，加速度大小先减小后增大
C
分析：在接触的第一个阶段mg＞kx，F合＝mg－kx，合力方向竖直向下，小球向下运动，x逐渐增大，所以F合逐渐减小，由a＝得，a＝，方向竖直向下，且逐渐减小，又因为这一阶段a与v都竖直向下，所以v逐渐增大．当mg＝kx时，F合＝0，a＝0，此时速度达到最大．之后，小球继续向下运动，mg＜kx，合力F合＝kx－mg，方向竖直向上，小球向下运动，x继续增大，F合增大，a＝，方向竖直向上，随x的增大而增大，此时a与v方向相反，所以v逐渐减小．综上所述，小球向下压缩弹簧的过程中，F合的方向先向下后向上，大小先减小后增大；a的方向先向下后向上，大小先减小后增大；v的方向向下，大小先增大后减小．故C正确．
【例2】如图所示，轻质弹簧上面固定一质量不计的薄板，现使薄板处于水平方向，其上放一重物。用手将重物向下压缩到一定程度后，突然将手撤去，则重物将被弹簧弹射出去，则在弹射过程中(重物与弹簧脱离之前)重物的运动情况是( )
A. 一直做加速运动
B. 先做加速运动，再做减速运动
C. 加速度一直在减小
D. 加速度大小是先减小，后增大
BD
巩固练习：在水平地面上，弹簧左端固定，右端自由伸长到O处并系住物体m，现将弹簧压缩到A处，然后静止释放，物体一直可以运动到B处，如果物体受到的摩擦力恒定，则(　　)
A．物体从A到O先加速后减速
B．物体从A到O加速运动，从O到B减速运动
C．物体运动到O处时所受合力为零
D．物体从A到O的过程加速度逐渐减小
A
解析　由于物体与水平地面之间存在摩擦力，所以在物体从A向O运动的过程中水平方向受到弹簧向右的弹力和水平地面对它向左的摩擦力，当二力大小相等时，物体的加速度为零，速度最大，该点一定在A、O之间，所以物体在从A向O运动的过程中加速度先减小后增大，而速度先增大后减小，故A正确，B、D错误；物体运动到O处时，虽然弹簧的弹力为零，但此时物体在向右运动，受到向左的摩擦力作用，所以物体的合力不为零，故C错误．
【典例】如图所示，A、B、C三个小球的质量分别为3m、2m、m，轻质弹簧一端固定在斜面顶端，另一端与A球相连，A、B间固定一个轻杆，B、C间由一轻质细线连接，倾角为θ的光滑斜面固定在地面上，弹簧、轻杆与细线均平行于斜面，初始系统处于静止状态，细线被烧断的瞬间，下列说法正确的是
A．A球的受力情况未变，加速度为零
B．B球的加速度沿斜面向上，大小为gsinθ
C．A、B两个小球的加速度均沿斜面向上，
大小均为
D．A、B之间杆的拉力大小为
【参考答案】D
综合应用
A．细线被烧断的瞬间，绳的拉力突变为0，AB整体不再受绳的拉力，AB受力情况发生变化，合力不为零，加速度不为零，故A错误；
BCD．对ABC整体，细绳烧断前，ABC静止，处于平衡条件可得弹簧的弹力为烧断绳的瞬间，AB受到的合力等于C的重力在沿斜面上的分力，由于弹簧弹力不能突变，弹簧弹力不变，由牛顿第二定律有解得方向沿斜面向上；设A、B之间杆的拉力大小为F，以B为研究对象，有
解得故BC错误，D正确。
总结
01
明确不同模型的特点
1.被剪断或被撤离的物体产生的力突变为0。
2.其它力变化的瞬间，弹簧、橡皮条等产生的力不变，轻绳、轻杆、接触面等产生的力会突变。
02
瞬时性问题解题步骤
1.分析原状态下物体的受力，求出各力大小。
2.分析当状态变化瞬间，哪些力变化，哪些力不变。
3.求物体在状态变化后所受的合力，利用牛顿第二定律，求瞬时加速度。
THANKS

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