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24.1圆的有关性质 同步练习
学校:___________姓名:___________班级:___________学号:___________
一、单选题
1．下列说法错误的是 (　　)
A．直径是圆中最长的弦 B．半径相等的两个半圆是等弧
C．面积相等的两个圆是等圆 D．半圆是圆中最长的弧
2．往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在半径为3的⊙O中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若是的中点，则的长是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知的半径为10，的一条弦，若内的一点恰好在上（不与或重合），则线段的长度为整数的值有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
5．如图，、是的两条直径，是劣弧的中点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点 , , , 在半圆 上，四边形 , , 均为矩形.设 ， ， ，则 , , 三者间的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，，是的两条直径，是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是矩形的边上一动点，是的中点，连接，将沿所在直线折叠，点的对应点是点，连接．已知，当线段的最小值为1时，边的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，是的外接圆，，则 。
10．在中，．则面积的最大值是 ．
11．如图，的直径平分弦（不是直径）．若，则的大小为 ．
12．如图，的直径垂直于弦，，则的大小是 °．
13．如图，内接于，点D为劣弧上一点，连接，若，，则的度数为 °．
14．如图，将一把宽为的刻度尺（单位：）放在一个圆形茶杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿相交的两个交点的读数恰好是2和10，则茶杯的杯口外沿半径为 ．
15．如图，圆内接四边形两组对边的延长线分别相交于点E，F，且，那么的度数为 ．
三、解答题
16．如图，为的直径，，垂足为，，垂足为，连接.
（1） 求的度数.
（2） 若，求的半径.
17．如图，是⊙O的直径，是⊙O的一条弦，且于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求⊙O的半径．
18．已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=4，BC=，求CD的长．

19．如图，以的边为直径作交于且，交于点．

(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
20．在中，弦平分圆周角，连接，过点作DE//AB交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，且是的中点，的直径是，求的长．
（3）是弦下方圆上的一个动点，连接和，过点作于点，请探究点在运动的过程中，的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请直接写出比值．
参考答案
1．【答案】D　
【详解】A选项,直径是圆中最长的弦,说法正确,不符合题意;B选项,半径相等的两个半圆是等弧,说法正确,不符合题意;C选项,面积相等的两个圆是等圆,说法正确,不符合题意;D选项,由于半圆小于优弧,所以半圆是圆中最长的弧的说法错误,符合题意．故选D．
2．【答案】B
【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得出CD的长．
【详解】解：连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，
∵OC⊥AB，由垂径定理可知，
∴AC=CB=AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理可知：
∴，
∴，
故选B．
3．【答案】D
【分析】连接DO、DA、DC，设DO与AC交于点H，证明△DHE≌△BCE，得到DH=CB，同时OH是三角形ABC中位线，设OH=x，则BC=2x=DH，故半径DO=3x，解出x，最后在Rt△ACB中由勾股定理即可求解．
【详解】解：连接DO、DA、DC、OC，设DO与AC交于点H，如下图所示，
∵D是的中点，∴DA=DC，∴D在线段AC的垂直平分线上，
∵OC=OA，∴O在线段AC的垂直平分线上，
∴DO⊥AC，∠DHC=90°，
∵AB是圆的直径，∴∠BCA=90°，
∵E是BD的中点，∴DE=BE，且∠DEH=∠BEC，
∴△DHE≌△BCE(AAS)，
∴DH=BC，
又O是AB中点，H是AC中点，
∴HO是△ABC的中位线，
设OH=x，则BC=DH=2x，
∴OD=3x=3，∴x=1，
即BC=2x=2，
在Rt△ABC中，．
故选D．
4．【答案】C
5．【答案】C
【分析】首先根据“同弧或等弧所对的弦长相等，对的圆心角也相等”求得，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质求解即可．
【详解】解：如图，连接，
是劣弧的中点，即，
，
，
，
，
，
即；
故选C
6．【答案】B
【详解】连接 ， ， ，如图 点 ， ， 在半圆上， 四边形 ， ， 均为矩形， ， ， ， ，即 .故选 .
【思路分析】
7．【答案】B
【分析】连接，由题意易得，则有，然后可得，进而根据圆周角定理可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵E是劣弧的中点，
∴，
∴，
故选B．
8．【答案】D
【分析】由矩形的性质可得，，，通过折叠性质可知：，，则有点在以点为圆心，为半径的圆上运动，连接，由
，从而可知当点三点共线时，有最小值，然后设，则，，最后通过勾股定理，解一元二次方程即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
由折叠性质可知：，，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动，连接，如图，
∵，
∴当点三点共线时，有最小值，即此时，如图，
∵是的中点，
∴，
设，则，，
由勾股定理得：，
∴，整理得：，
解得：（舍去），，
∴，
故选．
9．【答案】
【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，再根据圆周角定理计算即可．
【详解】解：，，
，
，
由圆周角定理得：.
10．【答案】
【分析】作的外接圆，当点运动到中点时，的面积最大，过点作的垂线交于点，求出的长即可解决问题．
【详解】解：作的外接圆，如图，
，
∵．
∴点在上运动，
过点作的垂线交于点，交于点，则当点运动到中点时，的面积最大，
此时，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴面积的最大值是．
11．【答案】
【分析】根据圆周角定理得出，根据垂径定理求出，根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等即可求解．
【详解】解：连接，如图：
∵，，
∴，
∵直径平分弦，
∴，
∴．
12．【答案】36
【分析】根据垂径定理推出，推出∠CAB=∠BAD=36°，再由∠BCD=∠BAD即可解决问题．
【详解】∵AB是直径，AB⊥CD，
∴，
∴∠CAB=∠BAD=36°，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠BCD=36°.
13．【答案】40
【分析】由，可得到，再结合，可得到劣弧所对的圆心角与的度数相等，则．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴劣弧所对的圆心角与的度数相等，
则．
14．【答案】
【分析】作于C，的延长线交圆于D，其中点为圆心，为半径，，；设茶杯的杯口外沿半径为，在中，由勾股定理知，进而得出结果．
【详解】解：作于C，的延长线交圆于D，其中点为圆心，为半径，
由题意可知，；
∵
∴，
设茶杯的杯口外沿半径为
则在中，由勾股定理知
解得
15．【答案】/45度
【分析】根据三角形外角的性质求出，再根据圆内接四边形对角互补得出，即可求解．
【详解】解：，
，
，
四边形为圆的内接四边形，
，
.
16．【答案】
（1） 解：，过圆心，，，同理可得，，，
是等边三角形， .
（2） 是等边三角形， .
，， ，，，
，解得（负值已舍去），，即的半径为2.
17．【答案】（1）见详解
（2）3
【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等及等腰三角形两底角相等即可得到答案；
（2）连接，根据垂径定理得到，根据勾股定理即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵与都是弧所对圆周角，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，，
∴，
在中，根据勾股定理可得，
．
18．【答案】（1）证明过程见详解；（2）
【分析】（1）由等腰三角形的性质得到∠EDC=∠C，由圆外接四边形的性质得到∠EDC=∠B，由此推得∠B=∠C，由等腰三角形的判定即可证得结论；
（2）连接AE，由AB为直径，可证得AE⊥BC，由（1）知AB=AC，由“三线合一”定理得到BE=CE=BC=，由相似三角形的判定及性质即可得出结果．
【详解】（1）∵ED=EC
∴∠EDC=∠C，
∵∠EDC=∠B
∴∠B=∠C
∴AB=AC；
（2）连接AE，
∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
由（1）知AB=AC，
∴BE=CE=BC=，
∠C=∠C，∠EDC=∠B
△CDE∽△CBA，
∵AC=AB=4，
∴
∴CD=．

19．【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】（1）由四边形内接于，得出，根据已知，得出，又，得出，等量代换得出，根据等角对等边，即可得证；
（2）根据为直径，得出，根据已知以及（1）的结论，得出，，设，则，在，中，根据相等，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形内接于，
，
又，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
，
∵为直径，
∴，
，，
由（1），，
，
∴，
∴，
∴，
由（1）可得，，
则，
∴，
设，则，
，
，
解得，，
∴．
20．【答案】（1）见详解
（2）
（3）不变；
【分析】（1）根据圆周角定理先说明，即可得出，根据等腰三角形的性质得出，即可证得结论；
（2）构建直角三角形，利用勾股定理求出线段长度即可求解；
（3）利用相似三角形，直角三角形，找到角之间的关系，然后转化为线段的关系进行求解．
【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接，，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
（2）如图，连接，，，OB，过点作于点，如图所示：
，
，，
，
设，，
的直径是，
，
，
，
解得：，
，，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
．
（3）如图，延长至使得，连接，，连接，，连接交于点，连接，
，，，四点共圆，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，，，四点共圆，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
．
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