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1.1.2　子集和补集
1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，理解韦恩图的概念.
2.理解全集与补集的概念，会求给定集合的补集.
说一说：一所学校中，所有同学组成的集合记为A，而高一年级同学组成的集合记为B，你觉得集合A和B之间有怎样的关系？
所有同学
高一同学
问题：观察下列各组集合，你能发现两个集合间的关系吗？
(1)
(2)
可以发现，(1)中的集合的每个元素都是集合的元素，(2)中的集合与集合也有这种关系.











等腰三角形
等边三角形
1.子集
如果集合的每个元素都是集合的元素，就说包含于，或者说包含，记作(或)，读作“包含于”(或“包含”).
例如，，.
①若包含于，则称是的一个子集.例如，素数集是的子集.
上述定义也就是说：若由能推出，就说.
按定义有.也就是说，每个集合都是它自己的子集.
我们规定空集包含于任一集合，是任一集合的子集.
1.子集
②如果并且，就说两个集合相等，记作.
对于“红马是马”，我们可以表示为“”，这里的“是”相当于“”.
③如果并且，就说是的真子集，记作，读作“真包含于”.
例如，.
如图，大圆和小圆分别表示两个集合；小圆画在大圆里，表示前者是后者的真子集.这类表示集合间关系的示意图叫作韦恩图(即图).
“真包含于”是的真子集”
包含关系具有传递性：
若，，则；
若，，则；等等.
思考：你能写出数集，，，之间的包含关系吗？
分析：如何不重不漏地写出集合的所有子集呢？可采用下面的步骤：
(1)因为空集是所有集合的子集，所以首先写出；
(2)写出所有由一个元素构成的子集：，，；
(3)写出所有由两个元素构成的子集：，；
(4)写出所有由三个元素构成的子集：
例1 设是计算机作图的三种基本色——红、蓝、绿组成的集合，写出的所有子集.
解：共有8个：，，，，，，，.
题型一：求集合子集、真子集个数
1.已知集合满足，则所有满足条件的集合的个数是( ).
A.6 B.7 C.8 D.9
解：由题意可以确定集合必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合的元素个数分类如下：
含有3个元素：
含有4个元素：
含有5个元素：
故满足条件的集合为
求集合子集、真子集个数的3个步骤
判断
分类
列举
根据子集、真子集的概念判断出集合中
含有元素的可能情况
根据集合中元素的多少进行分类
采用列举法逐一写出每种情况的子集
方法归纳
例2 指出下列各组集合之间的关系：
(1)
(2)是等边三角形是等腰三角形
(3).
解：(1)中的元素为数，而中的元素为点，因此无包含关系.
(2)∵等边三角形一定是等腰三角形，∴.
(3)∵
∴
题型二：集合间关系的判断
无包含关系
2.已知集合，，，用适当的符号填空：
(1)A______B；(2)A______C；(3)______C；(4)______C.
答案：(1)(2)；(3)；(4).
解：∵集合，，
，
∴
判断集合间关系的常用方法
列举 观察法 当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系
集合元素特征法 首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系
数形结 合法 利用数轴或图，不等式的解集之间的关系，适用于数轴法
方法归纳
下象棋的时候，看看棋盘上的局势，就知道被吃掉的有哪些棋子.
上课的时候，看看教室里的同学，就知道谁没有来.
如果在某个特定的场合，要讨论的对象都是集合的元素和子集，就可以约定把集合叫作全集(或基本集).
若是全集的子集，中所有不属于的元素组成的子集叫作的补集，记作，即.
其韦恩图表示如图所示.当可以从上下文确知时的补集也可以记作.显然.一般地，不论是否是的子集，都可以用表示中不属于的元素组成的子集.
2.补集
例3 设，，，求和.
解：由条件可知，，，
因此，.
题型三：补集的运算、由集合间的包含关系求参数
例4 把区间看成全集，写出它的下列子集的补集：
解：用表示的补集，则有：
3.(1)设集合U＝R，M＝{x|x>2或x<－2}，则 UM＝（ ）
A.{x|－2≤x≤2} B.{x|－2C.{x|x<－2或x>2} D.{x|x≤－2或x≥2}
(2)已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}， UA＝{3}，则实数a＝________.
2
解：(1)如图，在数轴上表示出集合M，可知 UM＝{x|－2≤x≤2}.
A
4.已知集合A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B A，求实数a的取值范围是___________________.
解：当B＝ 时，只需2a＞a＋3, 即a＞3；
{a|a＜－4或a＞2}
当B≠ 时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得
解得a＜－4或2＜a≤3.
综上，实数a的取值范围为{a|a＜－4或a＞2}.
或
a+3 ≥ 2a
a+3 ＜-1
a+3 ≥ 2a
2a ＞ 4
(1)如果所给的集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，再结合补集的定义来求解.另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助图来求解.这样处理起来比较直观、形象且解答时不易出错.
(2)如果所给的集合是无限集，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，再根据补集的定义求解，这样处理比较直观，解答过程中注意端点值能否取到.
方法归纳
1.求解补集的方法
(1)若已知集合是有限集，求解时，一般根据对应关系直接到方程.
(2)若已知集合是无限集，求解时，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误.一般含“”用实心圆点表示，不含“”用空心圆圈表示.
(3)此类问题还要注意是否存在空集的情况，因为空集是任何集合的子集.
方法归纳
2.已知集合间的关系求参数问题的解题策略
(1)子集、真子集、全集、补集的概念；
(2)子集、真子集、补集的关系及求解方法.
结合以下内容，谈谈你的收获：

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