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2024-2025学年辽宁省抚顺市六校协作体高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数满足，则复数的虚部是( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若与平行，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.下列说法正确的是( )
A. 一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
B. 一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
C. 一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
D. 一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行
4.在中，角，，所对的边分别为，，已知，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知圆台的上、下底面面积分别为和，其母线长为，则圆台的表面积为( )
A. B. C. D.
6.若，则( )
A. B. C. D.
7.已知直线是函数图象的一条对称轴，则( )
A. B. C. D.
8.在长方体中，为的中点，，，，则三棱锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则下列说法正确的是( )
A. 复数的模的最大值为 B. 若，是纯虚数，则
C. 时，复数对应的点在第一象限内 D. 复数的模长为定值
10.已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的命题是( )
A. 若，则
B. 若是锐角三角形，则恒成立
C. 若，则一定是直角三角形
D. 若，则一定是锐角三角形
11.关于函数有下述四个结论，其中正确的是( )
A. 是奇函数
B. 在区间上单调递减
C. 的最大值为
D. 在有个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正四棱台的上底边长为，下底边长为，侧棱长为则四棱台的高为______．
13.已知复数满足，则的最小值为______．
14.日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示，正四棱柱的底面是正方形，且，．
店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图中的方向捆扎包装盒会比按照图中的十字捆扎法更节省彩绳不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度则图比图最多节省的彩绳长度为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是夹角为的两个单位向量，．
求的值；
求与的夹角的余弦值．
16.本小题分
如图，四棱锥的底面为平行四边形，点，，分别为，，的中点．
求证：平面平面；
在棱上确定一点，使平面，并说明理由．
17.本小题分
已知函数．
求函数的单调递增区间；
求函数在区间上的最大值和最小值；
若，，求的值．
18.本小题分
在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且．
证明：；
若的平分线交于，，，求的值；
求的取值范围．
19.本小题分
现有长度分别为，，，的线段各条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为的三角形或四边形．
求出所有可能的三角形的面积；
如图，已知平面凸四边形中，，，，，(ⅰ)求，满足的数量关系；
(ⅱ)求四边形面积的最大值，并指出面积最大时的值．
参考答案
1.
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4.
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6.
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8.
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10.
11.
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13.
14.
15.解：由题意知，是夹角为的单位向量，
故，
所以；
由题意得，
，
，
所以，
所以，
即与的夹角的余弦值为．
16.证明：因为，，分别为，，的中点，
可得，，
因为平面，平面，
所以平面，
同理可得，
，
所以平面平面；
解：为的中点，
证明如下：
取的中点，
连接，，因为为的中点，
所以，，，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，同理可证得平面，
，
可证得平面平面，
又因为平面，
所以平面．
17.由题意可得
，
令，，
解得，，
可得函数的单调递增区间为，；
，
，
，
函数在区间上的最大值是，最小值是；
，整理可得，
又，可得，
，
．
18.证明：，
由正弦定理可得，
，
，
，则，
，
由是锐角三角形，得，，则，
，；
解：，为锐角，，
则，
，
，，
，．
解：由是锐角三角形，得，，，
可得，，
，
令，则，在上单调递增，
而，，
，
．
19.解：如果三条线段构成三角形的条件，则任意两边之和大于第三边长，
于是可能的三角形是，，或，，，
当三角形三条边为，，时，由余弦定理可得，
故，所以；
当三角形三条边为，，时，由余弦定理可得，
故，所以；
所以所有可能的三角形的面积为或；
分别在，中，由余弦定理求边长，
则有，
化简可得；
(ⅱ)由正弦定理可得，
所以，
又因为，
所以，
故
，
所以的最大值为，即的最大值为，
当且仅当，且时取等号，
此时，所以，即，
故四边形面积的最大值为，面积最大时的值为．
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