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2024-2025学年新疆阿克苏地区普通高中联考高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.用数字，，，，组成的没有重复数字的五位偶数的个数是( )
A. B. C. D.
2.如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是( )
A. 在上是减函数 B. 在上是增函数
C. 在处取得极大值 D. 在处取得极小值
3.函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D. ，
4.我国商用中大型无人机产业已进入发展快车道，某无人机生产公司年投入研发费用亿元，计划此后每年研发费用比上一年都增加亿元，则该公司一年的研发费用首次达到亿元是在( )
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
5.某旅行社共有名专业导游，其中人会英语，人会日语，若在同一天要接待个不同的外国旅游团，其中有个旅游团要安排会英语的导游，个旅游团要安排会日语的导游，则不同的安排方法种数有( )
A. B. C. D.
6.若，，，则以下不等式正确的是( )
A. B. C. D.
7.在新高考改革中，学生可先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科参加高考，现有甲、乙两名学生若按以上选科方法，选三门学科参加高考，则甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有( )
A. B. C. D.
8.过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的有( )
A. 已知函数在上可导，若，则
B. 已知函数，若，则
C.
D. 设函数的导函数为，且，则
10.记数列的前项和为，且，则( )
A.
B. 数列是公差为的等差数列
C. 数列的前项和为
D. 数列的前项的和为
11.现有个小球和个盒子，下面的结论正确的是( )
A. 若个相同的小球放入编号为，，，的盒子，每个盒子都不空，则共有种放法
B. 若个相同的小球放入编号为，，，的盒子，且恰有一个空盒的放法共有种
C. 若个不同的小球放入编号为，，，的盒子，且恰有一个空盒的放法共有种
D. 若个不同的小球放入编号为，，，的盒子，且恰有两个空盒的放法共有种
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列中，，是方程的两根，则______．
13.在如图所示的四个区域中，有种不同的花卉可选，每个区域只能种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法共有______种用数字作答
14.如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边、直角边、直角边，的三边所围成的区域．若，过点作于，当面积最大时，黑色区域的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：
；
．
16.本小题分
某种产品的加工需要经过道工序．
如果其中某道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
如果其中某道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？
如果其中某道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？
17.本小题分
设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知，，．
求数列和的通项公式；
若，求数列的前项和．
18.本小题分
已知函数，．
当时，求函数的最小值；
当时，讨论函数的单调性；
求证：当时，对任意的，，且，有．
19.本小题分
已知函数的导函数为，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数已知函数．
若在上为凹函数，求实数的取值范围；
已知，且在上存在零点，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.；
．
16.解：某种产品的加工需要经过道工序，
先从另外道工序中任选道工序放在最前和最后，有种不同的排法，
再将剩余的道工序全排列，有种不同的排法，
故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序；
先排这道工序，有种不同的排法，再将它们看作一个整体，
与剩余的工序全排列，有种不同的排法，
故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序；
先排其余的道工序，有种不同的排法，出现个空位，再将这道工序插空，
有种不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有种加工顺序．
17.因为是等差数列，是等比数列，公比大于，
，，，
则，解得或舍去，
故，；
，
设前项和为，，
，
设的前项和为，
所以，
，
两式相减可得：
，
所以，
．
18.显然函数的定义域为，
当．
当时，，
，．
在时取得最小值，其最小值为 ．
当即时，
若时，，为增函数；
时，，为减函数；
时，，为增函数
当时，
，函数在上为增函数．
当即时，
时，，为增函数；
时，，为减函数；
时，，为增函数．
证明：不妨设，要证明，
即证明：
当时，函数．
考查函数
在上是增函数，
对任意，，
所以，
命题得证
19.解：，
则，
依题意知，对任意的恒成立，则恒成立，
令，，
则，
故在上单调递增，故，
则实数的取值范围为；
依题意得，，
若，当时，，，
所以，在上无零点，舍去；
若，则，令，
则，则在上单调递减，且，
若，即，此时，
则存在，使得，即，
故F在上单调递增，在上单调递减，
所以，
当时，，
令，解得，
因为，且，
所以存在唯一的，使得满足条件；
若，即，此时，在上单调递减，
又，所以，不合题意，舍去．
综上所述，实数的取值范围为．
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