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2024-2025学年河南省洛阳市强基联盟高二（下）7月联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，不共线，若与共线，则实数的值是( )
A. B. C. D.
4.双曲线的焦点到渐近线的距离为( )
A. B. C. D.
5.若，，，则( )
A. B. C. D.
6.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则图象的一条对称轴为( )
A. B. C. D.
7.已知正四棱台的上底面的四个顶点，，，都在圆锥的侧面上，下底面的四个顶点，，，都在圆锥的底面圆周上，且，，则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，，，将的图象绕原点旋转后所得图象与原图象重合，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. ，
B. 若，都是非零实数，且，则
C. 若，则的最小值为
D. 若，满足，则的最大值为
10.若，则( )
A.
B.
C.
D.
11.苏格兰数学家约翰纳皮尔发现并证明了当且时根据约翰纳皮尔的这个发现以及我们所学的数学知识，关于函数，下列说法正确的是( )
A. 有且只有一个极值点
B. 的最小值为
C. 的单调递减区间是
D. 存在两个不相等的正实数，，使
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知椭圆的左顶点与上顶点之间的距离为焦距的倍，则的离心率为______．
13.已知在中，角，，所对边分别为，，，满足，且，则周长的取值范围为______．
14.已知个样本数据的平均值为，方差为，则这个数据的分位数的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设抛物线：的焦点为，过的直线与交于，两点．
求的准线方程；
设为准线上一点，且，求．
16.本小题分
已知数列的首项是
证明：的奇数项成等差数列；
求的前项和．
17.本小题分
如图，平面，，，，，，．
求直线与平面所成角的正弦值以及点到平面的距离；
求二面角的正弦值．
18.本小题分
六一儿童节，某商场为了刺激消费提升营业额，推出了消费者凭当天在该商场的消费单据参加抽奖的活动，奖品是款不同造型的玩具摩托车与款不同造型的玩具跑车每款车的数量都充足，主办方将大小相同的个乒乓球上分别标注，，，，，，，，其中标注数字，，，的乒乓球分别代表款不同造型的摩托车，，，，的乒乓球分别代表款不同造型的跑车，并将这个乒乓球放在一个不透明箱子内活动规定：儿童节当天在该商场消费满元的消费者可从摸奖箱内摸出个乒乓球，然后再放回箱内；消费满元可先从摸奖箱内摸出个乒乓球，放回后再从中摸出个乒乓球，然后再放回箱内；消费满元可先从摸奖箱内摸出个乒乓球，放回后再从中摸出个乒乓球，放回后再从中摸出个乒乓球，然后再放回箱内；，依此类推，消费者根据自己摸出的乒乓球标注的数字即可获得相应的奖品．
若小明的家长当天在该商场消费恰好满元，求这位家长能获得款相同造型摩托车与款不同造型跑车的概率；
若本次活动小明家获得的奖品是台不同造型的摩托车和台不同造型的跑车，小英家也获得台不同造型的摩托车和台不同造型的跑车．
从他们两家获得的这台车中随机抽取台，如果抽出的台车中有台摩托车，求的分布列和数学期望；
若小明和小英将他们家本次活动获得的奖品每次各取一件进行交换，第一次交换的奖品也可以参加第二次交换，求两次交换后小明家仍有台摩托车和台跑车的概率．
19.本小题分
“洛必达法则”是研究微积分时经常用到的一个重要定理，洛必达法则之一的内容是：若函数，的导数，都存在，且，如果是常数时，或，或，且是常数，则时．
已知函数，．
证明：时曲线在点处的切线与曲线也相切；
若函数有两个零点，，函数有两个零点，
指出，，，的大致范围不必说明理由，并求出的取值范围；
试探究与的大小关系．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为抛物线的方程为，
所以抛物线焦点的坐标为，
准线方程为；
因为在抛物线的准线上，
所以，即，
此时，
因为，
所以，
解得，
所以直线的方程为，
设，，
联立，
消去并整理得，
由韦达定理得，
所以．
16.证明：由数列的首项是
若为奇数，则是偶数，是奇数，
所以，，即，
所以的奇数项是首项为，公差为的等差数列．
当时，
．
因为，
所以当时，
．
综上所述，．
17.因为平面，，
所以，，两两垂直，
以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，，，
所以，，，
设为平面的一个法向量，
则，
令，则，
所以，
设直线与平面所成角为，
则，
点到平面的距离为．
设为平面的一个法向量，
则，
令，则，
所以，
所以，，
所以二面角的正弦值为．
18.记“小明的家长得到台相同造型摩托车与台不同造型跑车”为事件，
则；
易知的所有可能取值为，，，，
所以，
则的分布列为：
故；
两次交换后小明家仍有台摩托车和台跑车，包括种情况：
第一次交换后小明家是台摩托车台跑车，
此时概率；
第一次交换后小明家是台摩托车台跑车，
此时概率；
第一次交换后小明家是台摩托车台跑车，
此时概率，
则两次交换后小明家仍有台摩托车和台跑车的概率．
19.证明：时，，，
，，
又，，
所以曲线在点处的切线方程是，即．
因为，，
所以曲线在点处的切线方程是，即．
所以时曲线在点处的切线与曲线也相切．
，．
由，得；，得，
令，则与的零点相同，与的零点相同，
又，
时，，单调递减；时，，单调递增；
时，，单调递减，时，，单调递增；
所以和在上都是减函数，在上都是增函数，
所以时，，时，，
因为有两个零点，即有两个零点，
所以，且解得．
当时，，，
又时，
根据洛必达法则可知，时，，
所以时，
所以时，在区间和上各有一个零点，
所以，
因此，若函数，各有两个零点，的取值范围是．
令，
则与的零点相同，与的零点相同，
在区间上是增函数，
，
，
令，则，
时，单调递增；时，，单调递减；
所以时，
于是时等号仅当时成立，
所以在上是增函数．
所以时，，，即时，；
时，，，即时；
由知，，
所以，
又，，
所以，
又在区间上是增函数，且，，
所以同理可证，
于是．
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