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2024-2025学年安徽省部分学校高二（下）期末数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.随着天气转暖旅游人数逐步增加，各景区投入不同数额的经费万元对环境进行治理，得到旅游景区收益的增加值万元，对应数据如表所示：
投入经费单位：万元
收益增加值单位：万元
若与的回归直线方程为，则( )
A. B. C. D.
3.下列函数在区间上单调递减的是( )
A. B.
C. D.
4.已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
5.已知件产品中有件次品，件正品，检验员从中随机抽取件进行检测，则取到的正品数为的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知数列满足，则( )
A. B. C. D.
7.已知点在曲线：上，点在直线上，则，两点距离最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的右焦点为，以为坐标原点为直径的圆与一条渐近线交于点，直线与另一条渐近线交于点，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和，则下列说法正确的是( )
A. 的最大值为 B. ，，成等比数列
C. 数列为单调递减数列 D. 数列为单调递增数列
10.已知盒子中有个白球和个黑球，盒子中有个白球和个黑球先从盒子随机取出一球放入盒子，设“从盒子取出的球是白球”为事件，“从盒子取出的球是黑球”为事件；再从盒子中随机取一球，设“从盒子取出的球是白球”为事件，“从盒子取出的球是黑球”为事件，下列说法正确的是( )
A. ，是互斥事件 B. ，是独立事件
C. D.
11.在长方体中，，，则( )
A.
B. 平面与底面夹角的余弦值为
C. 直线与平面所成角的余弦值为
D. 点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在二项式的展开式中，所有项的系数和为，则此二项式展开式中二项式系数之和是______．
13.在三棱柱中，，，，为的中点，则 ______．
14.已知函数有三个零点，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了研究臭氧效应，先选取只小白鼠，随机地将其中只分配到试验组，另外只分配到对照组，将试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量单位：试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量为
试验组的小白鼠体重的增加量为
求只小白鼠体重的增加量的中位数，并分别统计两样本中小于与不小于的数据的个数，完成如下列联表：
对照组
试验组
根据中的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：，其中．
16.本小题分
已知数列的前项和为，．
求证：数列是等比数列；
若，求的最小值．
17.本小题分
在某次乒乓球团体比赛中甲乙两支球队进入总决赛，比赛采用局胜制，只要有一支球队先获胜场比赛结束在第一场比赛中甲队获胜，已知甲队第，，场获胜的概率为，第场获胜的概率为，各场之间互不影响．
求甲队以：获胜的概率；
设表示决出冠军时比赛的场数，求的分布列与数学期望．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，过点，的两条直线与直线的斜率分别为，，且，记动点的轨迹为曲线．
求的方程；
若，求点的坐标；
已知点，直线：与轴交于点，直线与交于点，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在请说明理由．
19.本小题分
已知函数，直线与曲线相切．
求实数；
若函数有三个极值点，，：
求实数的取值范围；
求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由题意知，这只小鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排序后，第位和第位数据的平均值，第位为，第位为．
所以这组数据的中位数为．
填写列联表如下：
合计
对照组
试验组
合计
根据中的列联表数据，结合给定公式计算，
根据小概率值的独立性检验知，则，
所以依据小概率值的独立性检验，能认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常体重的增加量有差异．
16.证明：当时，由，
可得，
两式相减可得，
即有，即，
当时，，得，
则数列是首项为和公比均为的等比数列；
由得，
由，，
可得，即，
所以，
则，单调递增，
，，
则的最小值为．
17.甲队以：获胜，已知甲队在第一场比赛中获胜，
则甲队必在第五场获胜，第，，场中胜场，负场，则甲队以：获胜的概率为．
根据题意可取，，，
当时，即甲再连胜场，所以，
当时，有种情况，甲胜或乙胜，
所以，
当时，有种情况，甲胜或乙胜，
所以，
所以的分布列为：
所以数学期望．
18.设，
那么，
化简得且，
因此点的轨迹曲线的方程为且．
结合题意，根据或，
如果，那么；
根据可得，即；
如果，那么；
根据可得，即．
综上，或．
设，
那么直线为，
联立曲线得，
整理得，
根据题设知，
那么，
因此，
又因为，，
因此
，
所以，
因此存在，使得．
19.因为，
所以，
设直线与曲线相切于点，
则，解得；
由题意及得，，，
在中，，
所以，
在中，，
，
因为有三个极值点，，，
所以有个根，即有个根，
设其中一个根为，则有个根，，且都不为和，
即有个解，
所以直线与有个交点，
设，则，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，
因为当时，，当时，，
所以，
因为直线与函数有个交点，且交点横坐标不为，
所以．
证明：由题意，及证明如下，，
在中，，
有三个极值点，，，其中，
则另外两个，，是方程的根，即的两个根，
所以要证，即证明，
设，
在中，，
因为，
所以，在上单调递减，
要证，即证，
因为，所以，
因为在上单调递减，
所以要证，即证，
即证，
即为，，
设，，
，
当时，，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以，即，
所以．
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