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2024-2025学年吉林省长春实验中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在中、内角，，所对的边分别为，，，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.如图，在正方体中，，，分别为，，的中点，则下列命题正确的是( )
A. 平面
B. 与相交
C. 与是异面直线
D. 四边形为正方形
4.在中，角，，对边分别为，，，，且，则( )
A. B. C. D.
5.在与中，已知，若对任意这样两个三角形，总有≌，则( )
A. B.
C. D.
6.“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米，则该“方斗”可盛米的总质量为( )
A. B. C. D.
7.已知正三角形的边长为，点，都在边上，且，为线段上一点，为线段的中点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知在四棱锥中，平面，，，为等边三角形，则平面与三棱锥的外接球球面的交线长为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知与均为单位向量，其夹角为，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是( )
A. 若，则是锐角三角形
B. 若，则是等腰三角形
C. 若，则是等腰三角形
D. 是锐角三角形，则
11.如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是( )
A. 若平面，则点的轨迹长度为
B. 若平面，则三棱锥的体积为定值
C. 若，则点的轨迹长度为
D. 若是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某校高一共有学生人，现采用分层抽样的方法从中抽取人进行体能测试；若这人中有人是男生，则该校高一男生共有______人
13.圆台的上下底面半径分别为、，母线与底面的夹角为，则圆台的侧面积为______．
14.的内角，，对边分别为，，，，且，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图所示，以向量，为边作平行四边形，又，．
用，表示，；
，，，求
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，边上的高为，求的周长．
17.本小题分
空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制例如：正四面体每个顶点均有个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为，如图，在直三棱柱中，点的曲率为，，分别为，的中点，且．
证明：平面；
若，求二面角的余弦值．
18.本小题分
已知锐角，角，，所对的边分别为，，，且，．
求；
求的取值范围．
19.本小题分
如图，在四棱台中，平面，底面为平行四边形，，且，，分别为线段，，的中点．
证明：．
证明：平面平面．
若，当与平面所成的角最大时，求四棱台的体积．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解，，
；
，
．
16.解：因为，
所以，
由正弦定理得，
所以，
即，
又，所以，
又，所以；
因为，边上的高为，
所以的面积，
又由的面积，
解得，
由余弦定理得，而，
所以，解得，
所以的周长．
17.证明：在直三棱柱中，
平面，平面，面，平面，
，，，
点的曲率为，
，
，
为等边三角形，
分别为的中点，
，
，，，，平面，
平面．
取的中点，连接，，
为等边三角形，
，
三棱柱是直三棱柱，
平面平面，
平面平面，，平面，
平面，
，平面，
，，
设，
，
，，，
，
，
，，
又，面，平面，
平面，
平面，
，
为二面角的平面角，
，，
在中，，
二面角的余弦值为．
18.解：由题意得，结合正弦定理得，
即，化简得，
因为、，，所以，可得；
在锐角中，，结合，解得
所以，结合，可得．
由基本不等式，可得，当且仅当时，即时，等号成立．
设，则在上为减函数，在上为增函数，
的最小值为，最大值小于，即
综上所述，的取值范围是
19.解：证明：如图，连接，与交于点，
因为平面，平面，所以，
又因为，，
所以平面，
因为平面，所以，
因为四边形是平行四边形，所以四边形是菱形，则，
因为平面，所以，，
所以，即．
证明：延长交于点，连接，
由中位线性质可得，因为，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
所以为的中点，则，
因为平面，平面，所以平面，
因为，所以平面平面．
设，因为，
所以，则，，
设点到平面的距离为，与平面所成的角为，
则，
因为，
，
所以，得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，此时与平面所成的角最大，
的体积
．
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