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2024-2025学年湖南省衡阳市衡南县高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，则命题的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.一个体育队有名女运动员和名男运动员，现从队伍抽样尿检，每次从中抽选个运动员，抽出的运动员不再检查，则在第次抽到女运动员的条件下，第次抽到男运动员的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知张卡片的正、反两面分别写有数字，；，；，；，将这张卡片排成一排，则可构成不同的四位数的个数为( )
A. B. C. D.
7.不等式在区间上的整数解的个数是( )
A. B. C. D.
8.定义在上的函数的导函数为，且满足，，，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设随机变量，且，则( )
A. B.
C. 的方差为 D. 若增大，则增大
10.已知，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
11.已知定义域为的函数满足，且函数是奇函数，，则下列说法正确的是( )
A. 函数的一个周期是
B.
C. 函数是偶函数
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若一个正四棱锥的底面是边长为的正方形，高为，则侧棱长为______．
13.已知等差数列的前项和为，满足，则______．
14.已知，分别为双曲线：的左、右焦点过点作直线与的左、右两支分别相交于，两点，直线与相交于点若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为正方形，，分别为，的中点．
求证：直线平面；
若，求侧面与侧面所成角的余弦值．
16.本小题分
已知数列满足，．
证明是等比数列，并求数列的通项公式；
令，求数列前项的和．
17.本小题分
某学校校庆时统计连续天进入学校参加活动的校友数单位：千人如下：
日期 月日 月日 月日 月日 月日
第天
参观人数
由表格数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明保留小数点后两位；若，则认为与的线性相关性很强，并求出关于的线性回归方程；
校庆期间学校开放号门、号门和号门供校友出入，校友从号门、号门和号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为假设校友从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁名校友于月日回母校参加活动，设为人中从号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差．
附：参考数据：
，，，，．
参考公式：回归直线方程，其中．
相关系数．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，分别以轴和轴为实轴和虚轴建立复平面，已知复数，在复平面内满足为定值的点的轨迹为曲线，且点在曲线上．
求的方程；
是过右焦点的弦不是长轴，的中点为，过点，分别作直线：的垂线，垂足分别为，，与轴的交点为．
证明：；
记与的交点为，与的交点为，求四边形面积的最大值．
19.本小题分
称为实系数一元多项式若实数满足，称是多项式的实数根，则是多项式的因式，即存在多项式使得，设多项式．
判断的实数根的个数并说明理由；
记的所有实数根的和为，的所有实数根的积为．
证明：，满足；
证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.证明：取的中点，连接，，
因为为的中点，所以且，
因为底面为正方形，为中点，所以且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，因为平面，平面，
所以直线平面．
取的中点，的中点，连接，，
因为为正三角形，故，
因为侧面底面，交线为，平面，
所以底面，
又，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
又，故A，，，
故，，，，，
，，，，
设平面的法向量为，
则，
解得，令，则，
所以，
设平面的法向量为，
则，
解得，，令，
所以，
设侧面侧面与侧面所成角为，
所以．
16.证明：由，，可得，
即有是首项和公比均为的等比数列，
可得，即；
，
数列前项的和，
，
相减可得，
化为．
17.依题意，，而，
则．
因为时线性相关程度高，所以与线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合．
所以，，
因此，关于的线性回归方程为．
记“甲从号门出学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件，
“甲从号门进学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件，
由题意可得，，，
，，，
由全概率公式得：，
同理乙、丙、丁从号门出学校的概率也为，
为人中从号门出学校的人数，则，
所以，
，
，
，
，
故的分布列为：
所以，．
18.根据题意，复数满足为定值，
即点到点和的距离之和为定值，
由椭圆定义，该轨迹为椭圆，则焦距，故：，已知点在椭圆上，即长半轴，
则，因此，曲线的方程为：；
证明：易知椭圆右焦点为，设直线方程：，设，，
联立，消得：，
由韦达定理：，，
又，，，
所以，，
要证，即证，
即证，
即证，
即证，
又根据韦达定理：，得证；
如图：
在中，因为，是中点，所以是中点，
由同理可得，所以四边形是平行四边形，且是中点，
所以是中点，连接，易知，，
所以，
由得：，，
令椭圆的右焦点为，则，
即，
计算，
令化简得：，
由对勾函数单调递增，对求导，
所以，
则：，
故：，
所以四边形面积的最大值为：．
19.因为，
所以，
令，得或，
，，变化情况如下表：
单调递减 无极值 单调递减 极小值 单调递增
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以在和上分别存在唯一的实数根，
故有个实数根；
证明：记的两个实数根分别为，，
则，
从而得，，，，
消去，得：，，
由，得；
证明：由，得，
又无实数根，
所以，故必有，
，
得，所以，
由，得，
所以，
所以，
再由，得，
故，
令，则，
当时，，
所以单调递减，
而，
所以，
所以．
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