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第2课时　等比数列的性质及应用 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
[课时目标]
进一步理解等比数列,能根据等比数列的定义推出等比数列的性质.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题.掌握等比数列的综合应用问题.
题型(一)　等比数列的性质
对称性 对有穷等比数列,与首末两端“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即a1an=a2an-1=a3an-2=…=am·an-m+1(n>m且n,m∈N*); 特别地:(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al=am·an; (2)若m,p,n(m,p,n∈N*)成等差数列,则am,ap,an成等比数列
子数列 (1)对于无穷等比数列{an},若将其前k项去掉,剩余各项仍为等比数列,首项为ak+1,公比为q; (2)若取出所有的k的倍数项,组成的数列仍为等比数列,首项为ak,公比为qk; (3)连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列
合成数列 (1)若{an}是等比数列,公比为q,则数列{λan}(λ≠0),,{}都是等比数列,且公比分别是q,,q2; (2)若{an},{bn}是项数相同的等比数列,公比分别是p和q,那么{anbn}与也都是等比数列,公比分别为pq和
　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]　已知{an}为等比数列,
(1)若{an}满足a2a4=,求a1a5;
(2)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;
(3)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.
听课记录:
|思|维|建|模|
等比数列的运算常用的两条思路
(1)根据已知条件,寻找、列出两个方程,确定a1,q,然后求其他;
(2)利用性质巧解,其中m+n=k+l=2s(m,n,k,l,s∈N*) am·an=ak·al=.
　　[针对训练]
1.在等比数列{an}中,若a5a7a9a11=36,则a2a14= (　　)
A.6 B.9
C.±6 D.±9
2.已知等比数列{an}满足a2+a4+a6+a8=20,a2a8=2,则+++的值为 (　　)
A.20 B.10
C.5 D.
题型(二)　等比数列项的设法与求解
[例2]　有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且首末两数的和是16,中间两数的和是12.求这四个数.
听课记录:
　　[变式拓展]
若将本例中“和是16”改为“积是-128”,将“和是12”改为“积是16”,如何求解
|思|维|建|模|
在解决与等比数列有关的项的设法时常用的规律
　　对称设元法:一般地,连续奇数个项成等比数列,可设为…,,x,xq,…;连续偶数个项成等比数列,可设为…,,,xq,xq3,…(此时公比q2>0,并不适合所有情况),这样既可以减少未知量的个数,也使得解方程较为方便.
　　[针对训练]
3.三个互不相等的数构成等差数列,如果适当排列这三个数,又可构成等比数列,这三个数的和为6,求这三个数.
题型(三)　等比数列的实际应用
[例3]　某人买了一辆价值13.5万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度贬值.
(1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值;
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车,他大概能得到多少钱
听课记录:
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解等比数列应用题的步骤
(1)审题:解决数列应用题的关键是读懂题意;
(2)建立数学模型:将实际问题转化为等比数列的问题;
(3)解数学模型:注意隐含条件,数列中n的值是正整数;
(4)还原:即最后转化为实际问题作出回答.
　　[针对训练]
4.某公司的月销售额近几年下跌严重,从某年的6月销售额128万元,到8月跌至32万元,你能求出该公司该年7月到9月之间平均每月下降的百分比吗 若按此计算,什么时候月销售额跌至8万元
第2课时　等比数列的性质及应用
[题型(一)]
[例1]　解：(1)等比数列{an}中，∵a2a4＝，∴a＝a1a5＝a2a4＝，∴a1aa5＝.
(2)由等比中项，化简条件得a＋2a3a5＋a＝25，即(a3＋a5)2＝25，
∵an>0，∴a3＋a5＝5.
(3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a10)＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)·(a5a6)]＝log395＝10.
[针对训练]
1．选A　因为a5a7a9a11＝ a＝36，所以a＝6(舍负)，所以a2a14＝a＝6.故选A.
2．选B　在等比数列{an}中，由等比数列的性质可得a4a6＝a2a8＝2.所以＋＋＋＝＋＝＝＝10.故选B.
[题型(二)]
[例2]　解：从前三个数入手，设这四个数依次为a－d，a，a＋d，，
由条件得
解得或
当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
[变式拓展]
解：设这四个数依次为－aq，，aq，aq3(q≠0)．
则由已知得
由①得a2＝16，∴a＝4或a＝－4.由②得2a2q2－a2q4＝－128.
将a2＝16代入整理，得q4－2q2－8＝0，解得q2＝4或q2＝－2(舍去)，∴q＝2或q＝－2.∴所求四个数为－4,2,8,32或4，－2，－8，－32.
[针对训练]
3．解：由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，d≠0，则a－d＋a＋a＋d＝6，即a＝2，这三个数可表示为2－d,2,2＋d.①若2－d为2和2＋d的等比中项，
则(2－d)2＝2(2＋d)，解得d＝6或d＝0(舍去)，此时这三个数为－4,2,8.②若2＋d为2－d和2的等比中项，则(2＋d)2＝2(2－d)，解得d＝－6或d＝0(舍去)，此时这三个数为8,2，－4.③若2为2－d和2＋d的等比中项，则22＝(2＋d)(2－d)，解得d＝0(舍去)．综上，这三个数为－4,2,8.
[题型(三)]
[例3]　解：(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，
a3＝13.5(1－10%)2，….
由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，
首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，
∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1.
∴n年后车的价值为an＋1＝13.5×(0.9)n万元．
(2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元．
[针对训练]
4．解：设每月平均下降的百分比为x，则每月的销售额构成了等比数列{an}，且a1＝128，
则a2＝a1(1－x)，a3＝a1(1－x)2＝128(1－x)2＝32，解得x＝50%.设an＝8，即an＝128(1－50%)n－1＝8，解得n＝5，即从该年6月算起第5个月，也就是在该年的10月，该公司的月销售额跌至8万元．
1 / 3(共43张PPT)
等比数列的性质及应用
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
第2课时
课时目标
进一步理解等比数列，能根据等比数列的定义推出等比数列的性质.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题.掌握等比数列的综合应用问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一)　等比数列的性质
题型(二)　等比数列项的设法与求解
题型(三)　等比数列的实际应用
4
课时检测
题型(一)　等比数列的性质
01
对称性 对有穷等比数列，与首末两端“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1an=a2an-1=a3an-2=…=am·an-m+1(n>m且n，m∈N*)；
特别地:(1)若k+l=m+n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al=am·an；
(2)若m，p，n(m，p，n∈N*)成等差数列，则am，ap，an成等比数列
子数列
续表
合成数列
[例1]　已知{an}为等比数列，
(1)若{an}满足a2a4=，求a1a5；
解:等比数列{an}中，∵a2a4=，∴=a1a5=a2a4=，∴a1a5=.
(2)若an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，求a3+a5；
解:由等比中项，化简条件得+2a3a5+=25，即(a3+a5)2=25，
∵an>0，∴a3+a5=5.
解:由等比数列的性质知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9，
∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2·…·a10)
=log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]=log395=10.
(3)若an>0，a5a6=9，求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.
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等比数列的运算常用的两条思路
(1)根据已知条件，寻找、列出两个方程，确定a1，q，然后求其他；
(2)利用性质巧解，其中m+n=k+l=2s(m，n，k，l，s∈N*) am·an=ak·al=.
针对训练
1.在等比数列{an}中，若a5a7a9a11=36，则a2a14= (　　)
A.6 B.9
C.±6 D.±9
√
解析:因为a5a7a9a11= =36，所以=6(舍负)，所以a2a14==6.故选A.
2.已知等比数列{an}满足a2+a4+a6+a8=20，a2a8=2，则+++的值为(　　)
A.20 B.10
C.5 D.
√
解析:在等比数列{an}中，由等比数列的性质可得a4a6=a2a8=2.所以+++=+===10.故选B.
题型(二)　等比数列项的设法与求解
02
[例2]　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且首末两数的和是16，中间两数的和是12.求这四个数.
解:法一　从前三个数入手，设这四个数依次为a-d，a，a+d，，
由条件得解得或
当a=4，d=4时，所求四个数为0，4，8，16；
当a=9，d=-6时，所求四个数为15，9，3，1.
故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
法二　从后三个数入手，设这四个数依次为-a，，a，aq(q≠0)，
由条件得解得或
当q=2，a=8时，所求四个数为0，4，8，16；
当q=，a=3时，所求四个数为15，9，3，1.
故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
法三　从首末两项的和与中间两项的和入手，
设这四个数依次为x，y，12-y，16-x，
由已知得
解得或
故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
变式拓展
若将本例中“和是16”改为“积是-128”，将“和是12”改为“积是16”，如何求解
解:设这四个数依次为-aq，，aq，aq3(q≠0).则由已知得由①得a2=16，∴a=4或a=-4.由②得2a2q2-a2q4=-128.将a2=16代入整理，得q4-2q2-8=0，解得q2=4或q2=-2(舍去)，∴q=2或q=-2.∴所求四个数为-4，2，8，32或4，-2，-8，-32.
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在解决与等比数列有关的项的设法时常用的规律
　　对称设元法:一般地，连续奇数个项成等比数列，可设为…，，x，xq，…；连续偶数个项成等比数列，可设为…，，xq，xq3，…
(此时公比q2>0，并不适合所有情况)，这样既可以减少未知量的个数，也使得解方程较为方便.
解:由已知，可设这三个数为a-d，a，a+d，d≠0，则a-d+a+a+d=6，即a=2，这三个数可表示为2-d，2，2+d.①若2-d为2和2+d的等比中项，
则(2-d)2=2(2+d)，解得d=6或d=0(舍去)，此时这三个数为-4，2，8.②若2+d为2-d和2的等比中项，则(2+d)2=2(2-d)，解得d=-6或d=0(舍去)，此时这三个数为8，2，-4.③若2为2-d和2+d的等比中项，则22=(2+d)(2-d)，解得d=0(舍去).综上，这三个数为-4，2，8.
针对训练
3.三个互不相等的数构成等差数列，如果适当排列这三个数，又可构成等比数列，这三个数的和为6，求这三个数.
题型(三)　等比数列的实际应用
03
[例3]　某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值.
(1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值；
解:从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1=13.5，a2=13.5(1-10%)，a3=13.5(1-10%)2，….
由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，
首项a1=13.5，公比q=1-10%=0.9，∴an=a1·qn-1=13.5×(0.9)n-1.
∴n年后车的价值为an+1=13.5×(0.9)n万元.
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱
解:由(1)得a5=a1·q4=13.5×0.94≈8.9(万元)，
∴用满4年时卖掉这辆车，
大概能得到8.9万元.
|思|维|建|模|
解等比数列应用题的步骤
(1)审题:解决数列应用题的关键是读懂题意；
(2)建立数学模型:将实际问题转化为等比数列的问题；
(3)解数学模型:注意隐含条件，数列中n的值是正整数；
(4)还原:即最后转化为实际问题作出回答.
针对训练
4.某公司的月销售额近几年下跌严重，从某年的6月销售额128万元，到8月跌至32万元，你能求出该公司该年7月到9月之间平均每月下降的百分比吗 若按此计算，什么时候月销售额跌至8万元
解:设每月平均下降的百分比为x，则每月的销售额构成了等比数列{an}，且a1=128，则a2=a1(1-x)，a3=a1(1-x)2=128(1-x)2=32，解得x=50%.设an=8，即an=128(1-50%)n-1=8，解得n=5，
即从该年6月算起第5个月，也就是在该年的10月，该公司的月销售额跌至8万元.
课时检测
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1.等比数列{an}中，若a2a6+=π，则a3a5等于(　　)
A. B.
C. D.
√
解析:∵a2a6==a3a5，∴a3a5=.
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2.生物学指出:生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级.在H1→H2→H3这个生物链中，若能使H3获得10 kJ的能量，则需H1提供的能量为 (　　)
A.105 kJ B.104 kJ
C.103 kJ D.102 kJ
√
解析:设H1需提供的能量为a，由题意知，H2的能量为10%a，H3的能量为(10%)2a，即(10%)2a =10，解得a=103，所以要能使H3获得10 kJ的能量，则需H1提供的能量为103 kJ，故选C.
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3.若{an}为等比数列，则“a1A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
√
解析:若等比数列{an}是递增数列，可得a11
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4.在1与100之间插入n个正数，使这n+2个数成等比数列，则插入的n个数的积为 (　　)
A.10n B.n10
C.100n D.n100
√
解析:设这n+2个数为a1，a2，…，an+1，an+2，则(a2·a3·…·an+1)2=
(a1·an+2)n=100n，∴a2·a3·…·an+1=10n.
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5.已知正项等比数列{an}，满足a2··a2 024=16，则a1·a2·…·a1 021=(　　)
A.41 021 B.21 021
C.41 022 D.21 022
√
解析:在正项等比数列{an}中， a2··a2 024=16，因为a2·a2 024=，所以=16，即 a9a1 013==4.所以a511=2.所以a1·a2·a3·…·
a1 021==21 021.故选B.
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6.[多选]已知等比数列{an}的公比q=-，等差数列{bn}的首项b1=9，若a7>b7且a8>b8，则以下结论正确的是(　　)
A.a8>0 B.b8<0
C.a7>a8 D.b7>b8
√
√
解析:因为等比数列{an}的公比q=-，则a7=a1，a8=-a1，而a1的正负不确定，因此不能确定a7和a8的正负及大小关系，A、C错误；显然a7和a8异号，又a7>b7且a8>b8，则b7，b8中至少有一个是负数，而b1=9>0，于是等差数列{bn}的公差d<0，即数列{bn}递减，因此b7>b8，且b8<0，B、D正确.故选BD.
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7.[多选]已知数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，{an}的前n项和为Sn，若a1+a6+a11=3π，b1b5b9=8，则(　　)
A.S11=11π B.sin=
C.a3+a7+a8=3π D.b3+b7≥4
√
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解析:因为数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1+a6+a11=3π，b1b5b9=8，所以a1+a6+a11=3a6=3π，即a6=π，b1b5b9==8，即b5=2.对于A，S11==11a6=11π，故A正确；对于B，a2+a10=2a6=2π，b4b6==4，所以sin=sin=1，故B错误；对于C，设等差数列{an}的公差为d，则a3+a7+a8=a6-3d+a6+d+a6+2d=3a6=3π，故C正确；对于D，由b5=2，得b3，b7>0，故b3+b7≥2=2=4，当且仅当b3=b7=2时等号成立，故D正确.
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8.(5分)数列{an}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q=____.
1
解析:设等差数列的公差为d，则a3=a1+2d，a5=a1+4d，∴(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5)，解得d=-1，∴q===1.
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9.(5分)在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为______.
解析:设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得石，28石，28q石，∴+28+28q=98，解得q=2或q=.又01
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10.(5分)若数列a1，，…，，…，是首项为1，公比为-的等比数列，则a5=_____.
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解析:由题意，得=(-)n-1(n≥2)，所以=-=(-)2，=
(-)3，=(-)4，将上面的四个式子两边分别相乘，得=(-)1+2+3+4
=32.又a1=1，所以a5=32.
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11.(5分)我国生物科技发展日新月异，其中生物制药发展尤其迅速，某制药公司今年共投入资金50万元进行新药开发，并计划每年投入的研发资金比上一年增加20%.按此规律至少____年后每年投入的资金可达250万元以上(精确到1年.参考数据lg 1.2≈0.08，lg 5≈0.70)
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解析:由题知，某制药公司今年共投入资金50万元进行新药开发，并计划每年投入的研发资金比上一年增加20%，满足等比数列模型，令a1=50，q=1.2，所以an=50×(1.2)n-1，令an=50×(1.2)n-1>250，所以(1.2)n-1>5，所以n-1>log1.25=≈=8.75，所以n>9.75，又因为n为正整数，所以n=10.故至少9年后每年投入的资金可达250万元以上.
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12.(5分)已知数列{an}，{bn}满足bn=log2an(n∈N*).其中{bn}是等差数列，若a10a2 016=2，则b1+b2+…+b2 025=_______.
解析:∵{bn}为等差数列，设公差为d，则bn+1=log2an+1，bn=log2an，bn+1-bn=log2=d，则=2d，故{an}为等比数列，∴b1+b2 025=
log2a1+log2a2 025=log2(a1a2 025)=log2(a10a2 016)=1，∴b1+b2+…+b2 025
==.
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13.(10分)2024年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a，甲林场木材存量每年比上年递增25%，而乙林场木材存量每年比上年递减20%.
(1)求哪一年两林场木材的存量相等 (5分)
解:设经过n年两林场木材的存量相等，即16a(1+25%)n=25a(1-20%)n，解得n=1，故到2025年两林场木材的存量相等.
(2)问两林场木材的总量到2029年能否翻一番 (5分)
解:令n=5，则16a+25a<2(16a+25a)，故到2029年不能翻一番.
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14.(15分)已知等比数列{an}的首项a1=16，公比q=，在{an}中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列{bn}.
(1)求数列{bn}的通项公式；(7分)
解:由已知得，数列{bn}的首项b1=16，b5=a2=16×=1，
设数列{bn}的公比为q1(q1>0)，则===，∴q1=，即bn=b1=16×=.
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(2)记数列{bn}前n项的乘积为Tn，试问Tn是否有最大值 如果有，请求出此时n的值以及最大值；若没有，请说明理由.(8分)
解:Tn=b1·b2·b3·…·bn=24·23·…·= ==
=，即当n=4或n=5时，Tn有最大值=210=1 024.故Tn有最大值，为1 024，此时n的值为4或5.
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15.(15分)已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d>0，且第2项，第5项，第14项分别是一个等比数列的第2项，第3项，第4项.
(1)求数列{an}的通项公式；(5分)
解:由题意，得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2，整理得2a1d=d2.又a1=1，d>0，所以d=2，an=2n-1.
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(2)设bn=，Sn为数列{bn}的前n项和，是否存在最大的整数t，使得对任意的n均有Sn>成立 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.(10分)
解:bn==>0，所以数列{Sn}是递增数列，S1=b1=为Sn的最小值，
故>，t<9.又t为整数，所以适合条件的t的最大值为8.课时检测(三十五)　等比数列的性质及应用
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.等比数列{an}中,若a2a6+=π,则a3a5等于 (　　)
A. B.
C. D.
2.生物学指出:生态系统中,在输入一个营养级的能量中,大约10%的能量能够流到下一个营养级.在H1→H2→H3这个生物链中,若能使H3获得10 kJ的能量,则需H1提供的能量为 (　　)
A.105 kJ B.104 kJ
C.103 kJ D.102 kJ
3.若{an}为等比数列,则“a1A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
4.在1与100之间插入n个正数,使这n+2个数成等比数列,则插入的n个数的积为 (　　)
A.10n B.n10
C.100n D.n100
5.已知正项等比数列{an},满足a2··a2 024=16,则a1·a2·…·a1 021= (　　)
A.41 021 B.21 021
C.41 022 D.21 022
6.[多选]已知等比数列{an}的公比q=-,等差数列{bn}的首项b1=9,若a7>b7且a8>b8,则以下结论正确的是 (　　)
A.a8>0 B.b8<0
C.a7>a8 D.b7>b8
7.[多选]已知数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,{an}的前n项和为Sn,若a1+a6+a11=3π,b1b5b9=8,则 (　　)
A.S11=11π B.sin=
C.a3+a7+a8=3π D.b3+b7≥4
8.(5分)数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=　　　　.
9.(5分)在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石,甲、乙、丙按序衰分,乙分得28石,则衰分比例为　　　　.
10.(5分)若数列a1,,,…,,…,是首项为1,公比为-的等比数列,则a5=　　　　.
11.(5分)我国生物科技发展日新月异,其中生物制药发展尤其迅速,某制药公司今年共投入资金50万元进行新药开发,并计划每年投入的研发资金比上一年增加20%.按此规律至少　　　　　年后每年投入的资金可达250万元以上(精确到1年.参考数据lg 1.2≈0.08,lg 5≈0.70)
12.(5分)已知数列{an},{bn}满足bn=log2an(n∈N*).其中{bn}是等差数列,若a10a2 016=2,则b1+b2+…+
b2 025=　　　　　　.
13.(10分)2024年,某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a,甲林场木材存量每年比上年递增25%,而乙林场木材存量每年比上年递减20%.
(1)求哪一年两林场木材的存量相等 (5分)
(2)问两林场木材的总量到2029年能否翻一番 (5分)
14.(15分)已知等比数列{an}的首项a1=16,公比q=,在{an}中每相邻两项之间都插入3个正数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列{bn}.
(1)求数列{bn}的通项公式;(7分)
(2)记数列{bn}前n项的乘积为Tn,试问Tn是否有最大值 如果有,请求出此时n的值以及最大值;若没有,请说明理由.(8分)
15.(15分)已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且第2项,第5项,第14项分别是一个等比数列的第2项,第3项,第4项.
(1)求数列{an}的通项公式;(5分)
(2)设bn=,Sn为数列{bn}的前n项和,是否存在最大的整数t,使得对任意的n均有Sn>成立 若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.(10分)
课时检测(三十五)
1．选C　∵a2a6＝a＝a3a5，∴a3a5＝.
2．选C　设H1需提供的能量为a，由题意知，H2的能量为10%a，H3的能量为(10%)2a，即(10%)2a ＝10，解得a＝103，所以要能使H3获得10 kJ的能量，则需H1提供的能量为103 kJ，故选C.
3．选B　若等比数列{an}是递增数列，可得a1＜a3＜a5一定成立；反之：例如数列{(－1)n＋12n}，此时满足a1＜a3＜a5，但数列{an}不是递增数列．所以“a1＜a3＜a5”是“数列{an}是递增数列”的必要且不充分条件．
4．选A　设这n＋2个数为a1，a2，…，an＋1，an＋2，则(a2·a3·…·an＋1)2＝(a1·an＋2)n＝100n，∴a2·a3·…·an＋1＝10n.
5．选B　在正项等比数列{an}中， a2·a·a2 024＝16，因为a2·a2 024＝a，所以(a9a1 013)2＝16，即 a9a1 013＝a＝4.所以a511＝2.所以a1·a2·a3·…·a1 021＝a＝21 021.故选B.
6．选BD　因为等比数列{an}的公比q＝－，则a7＝a1，a8＝－a1，而a1的正负不确定，因此不能确定a7和a8的正负及大小关系，A、C错误；显然a7和a8异号，又a7>b7且a8>b8，则b7，b8中至少有一个是负数，而b1＝9>0，于是等差数列{bn}的公差d<0，即数列{bn}递减，因此b7>b8，且b8<0，B、D正确．故选BD.
7．选ACD　因为数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1＋a6＋a11＝3π，b1b5b9＝8，所以a1＋a6＋a11＝3a6＝3π，即a6＝π，b1b5b9＝b＝8，即b5＝2.对于A，S11＝＝11a6＝11π，故A正确；对于B，a2＋a10＝2a6＝2π，b4b6＝b＝4，所以sin＝sin＝1，故B错误；对于C，设等差数列{an}的公差为d，则a3＋a7＋a8＝a6－3d＋a6＋d＋a6＋2d＝3a6＝3π，故C正确；对于D，由b5＝2，得b3，b7>0，故b3＋b7≥2＝2＝4，当且仅当b3＝b7＝2时等号成立，故D正确．
8．解析：设等差数列的公差为d，则a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d，
∴(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)，
解得d＝－1，∴q＝＝＝1.
答案：1
9．解析：设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得石，28石，28q石，∴＋28＋28q＝98，解得q＝2或q＝.又0答案：
10．解析：由题意，得＝(－)n－1(n≥2)，所以＝－，＝(－)2，＝(－)3，＝(－)4，将上面的四个式子两边分别相乘，得＝(－)1＋2＋3＋4＝32.又a1＝1，所以a5＝32.
答案：32
11．解析：由题知，某制药公司今年共投入资金50万元进行新药开发，并计划每年投入的研发资金比上一年增加20%，满足等比数列模型，令a1＝50，q＝1.2，所以an＝50×(1.2)n－1，令an＝50×(1.2)n－1>250，所以(1.2)n－1>5，所以n－1>log1.25＝≈＝8.75，所以n>9.75，又因为n为正整数，所以n＝10.故至少9年后每年投入的资金可达250万元以上．
答案：9
12．解析：∵{bn}为等差数列，设公差为d，则bn＋1＝log2an＋1，bn＝log2an，bn＋1－bn＝log2＝d，则＝2d，故{an}为等比数列，∴b1＋b2 025＝log2a1＋log2a2 025＝log2(a1a2 025)＝log2(a10a2 016)＝1，∴b1＋b2＋…＋b2 025＝＝.
答案：
13．解：(1)设经过n年两林场木材的存量相等，即
16a(1＋25%)n＝25a(1－20%)n，解得n＝1，
故到2025年两林场木材的存量相等．
(2)令n＝5，则16a5＋25a5<2(16a＋25a)，故到2029年不能翻一番．
14．解：(1)由已知得，数列{bn}的首项b1＝16，b5＝a2＝16×＝1，
设数列{bn}的公比为q1(q1>0)，则＝＝q＝，∴q1＝，即bn＝b1q＝16×n－1＝25－n.
(2)Tn＝b1·b2·b3·…·bn＝24·23·…·25－n＝24＋3＋2＋…＋(5－n)＝24n－＝2－n2＋n＝2－2＋，即当n＝4或n＝5时，Tn有最大值2－×2＋＝210＝1 024.故Tn有最大值，为1 024，此时n的值为4或5.
15．解：(1)由题意，得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，整理得2a1d＝d2.又a1＝1，d＞0，所以d＝2，an＝2n－1.
(2)bn＝＝＞0，所以数列{Sn}是递增数列，S1＝b1＝为Sn的最小值，故＞，t＜9.又t为整数，所以适合条件的t的最大值为8.
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