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专题微课　构造法求数列通项公式
　　数列构造法是一种常用的数学解题方法,通常用于解决一些看似复杂或难以直接解决的问题,其核心思想是将原问题转化为一个等差或等比数列问题,通过数列的性质规律求解.
题型(一)　形如an+1=pan+q的递推关系求通项公式
[例1]　已知数列{an}满足a1=,an+1=(an+1),求通项公式an.
听课记录:
|思|维|建|模|
　　形如=pan+q(其中p,q为常数,且pq(p-1)≠0)可用待定系数法求得通项公式,步骤如下:
(1)假设递推公式可改写为+t=p(an+t).
(2)由待定系数法,解得t=.
(3)写出数列的通项公式.
(4)写出数列{an}的通项公式.
　　[针对训练]
1.已知数列{an}满足=2an+2,且a1=1,则 (　　)
A.{an}是等差数列
B.{an}是等比数列
C.{an+1}是等比数列
D.{an+2}是等比数列
2.已知数列{an}满足a1=1,=2an+1,求{an}的通项公式.
题型(二)　形如an=p+pn的递推关系求通项公式
[例2]　已知数列{an}满足an=2an-1+2n(n≥2),且a1=1,求数列{an}的通项公式.
听课记录:
　　[变式拓展]
　本例中“an=2an-1+2n”变为“an=2an-1+2n+1”,其余不变,求数列{an}的通项公式.
|思|维|建|模|
　　形如an=pan-1+pn(p≠0且p≠1)的递推关系求通项公式的一般步骤
第一步:等式两边同除以pn,不管这一项是pn-1或pn+1,都同除以pn,为的是数列的下标和p的指数对应起来.
第二步:写出数列的通项公式.
第三步:写出数列{an}的通项公式.
　　[针对训练]
3.已知数列{an}满足=+,且a1=1,求数列{an}的通项公式.
4.已知数列{an}中,a1=3,an+1=3an+2×3n+1,n∈N*,求数列{an}的通项公式.
题型(三)　形如an+1=(A,B,C为常数)的递推关系求通项公式
[例3]　已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*),则数列{an}的通项公式an=　　　　.
听课记录:
|思|维|建|模|
　　形如an+1=(A,B,C为常数且A≠0)的数列,可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
　　[针对训练]
5.[多选]已知数列{an}满足a1=1,=(n∈N*),则下列结论正确的有 (　　)
A.为等比数列
B.{an}的通项公式为an=
C.{an}为递增数列
D.的前n项和Tn=2n+2-3n-4
专题微课　构造法求数列通项公式
[题型(一)]
[例1]　解：∵an＋1＝an＋，∴an＋1－1＝(an－1)．又a1－1＝－.
∴数列{an－1}是首项为－，公比为的等比数列．∴an－1＝－×n－1，∴an＝1－×n－1.
[针对训练]
1．选D　由an＋1＝2an＋2，可得an＋1＋2＝2(an＋2)，所以＝2.
又由a1＝1，得a1＋2＝3，所以{an＋2}是首项为3，公比为2的等比数列．
所以an＋2＝3×2n－1，an＝3×2n－1－2，an＋1＝3×2n－2，an＋1－an＝3×2n－2－(3×2n－1－2)＝3×2n－1，所以{an}不是等差数列；＝不等于常数，所以{an}不是等比数列；＝不等于常数，所以{an＋1}不是等比数列．
2．解：∵an＋1＝2an＋1，令an＋1＋t＝2(an＋t)，即an＋1＝2an＋t，∴t＝1，即an＋1＋1＝2(an＋1)，
∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列．∴an＋1＝2×2n－1＝2n，∴an＝2n－1.
[题型(二)]
[例2]　解：因为an＝2an－1＋2n(n≥2)，等式两边同时除以2n，得＝＋1，即－＝1，又＝，所以是以为首项，1为公差的等差数列，即＝＋(n－1)×1，所以an＝×2n.
[变式拓展]
解：等式两边同时除以2n，得＝＋2，
即－＝2，又＝，所以是以为首项，2为公差的等差数列，所以＝＋(n－1)×2，即an＝×2n.
[针对训练]
3．解：由题意，等式两边同乘2n，得＝＋1，即－＝1，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以＝2＋(n－1)×1＝n＋1，即an＝.
4．解：由an＋1＝3an＋2×3n＋1，得＝＋2，∴－＝2，又＝1，即数列是首项为1，公差为2的等差数列，
∴＝2n－1，得an＝(2n－1)·3n.
[题型(三)]
[例3]　解析：因为an＋1＝，a1＝1，
所以an≠0，所以＝＋，即－＝.又a1＝1，则＝1，所以是以1为首项，为公差的等差数列．所以＝＋(n－1)×＝＋.所以an＝.
答案：
[针对训练]
5．选ABD　因为an＋1＝(n∈N*)，得＝＋3，可转化为＋3＝2，所以是以＋3＝4为首项，2为公比的等比数列，故＋3＝4·2n－1＝2n＋1，所以＝2n＋1－3，所以an＝.易知{an}为递减数列，故A、B正确，C错误.的前n项和Tn＝－3n＝2n＋2－3n－4，故D正确．
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专题微课　构造法求数列通项公式
数列构造法是一种常用的数学解题方法，通常用于解决一些看似复杂或难以直接解决的问题，其核心思想是将原问题转化为一个等差或等比数列问题，通过数列的性质规律求解.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一)　形如an+1=pan+q的递推关系求通项公式
题型(二)　形如an=pan-1+pn的递推关系求通项公式
题型(三)　形如an+1=(A，B，C为常数)的递推关系求通项公式
4
课时检测
题型(一)　形如an+1=pan+q的递推关系求通项公式
01
[例1]　已知数列{an}满足a1=，an+1=(an+1)，求通项公式an.
解:∵an+1=an+，∴an+1-1=(an-1).
又a1-1=-.∴数列{an-1}是首项为-，公比为的等比数列.
∴an-1=-×，∴an=1-×.
|思|维|建|模|
　　形如=pan+q(其中p，q为常数，且pq(p-1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下:
(1)假设递推公式可改写为+t=p(an+t).
(2)由待定系数法，解得t=.
(3)写出数列的通项公式.
(4)写出数列{an}的通项公式.
针对训练
1.已知数列{an}满足=2an+2，且a1=1，则(　　)
A.{an}是等差数列 B.{an}是等比数列
C.{an+1}是等比数列 D.{an+2}是等比数列
√
解析:由=2an+2，可得+2=2(an+2)，所以=2.
又由a1=1，得a1+2=3，所以{an+2}是首项为3，公比为2的等比数列.
所以an+2=3×，an=3×-2，=3×2n-2，-an=3×2n-2-(3×-2)=3×，所以{an}不是等差数列；=不等于常数，所以{an}不是等比数列；=不等于常数，所以{an+1}不是等比数列.
2.已知数列{an}满足a1=1，=2an+1，求{an}的通项公式.
解:∵=2an+1，令+t=2(an+t)，
即=2an+t，∴t=1，即+1=2(an+1)，
∴数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列.
∴an+1=2×=2n，∴an=2n-1.
题型(二)　形如an=pan-1+pn的递推关系求通项公式
02
[例2]　已知数列{an}满足an=2an-1+2n(n≥2)，且a1=1，求数列{an}的通项公式.
解:因为an=2an-1+2n(n≥2)，等式两边同时除以2n，得=+1，即-=1，又=，所以是以为首项，1为公差的等差数列，即=+(n-1)×1，所以an=×2n.
变式拓展
本例中“an=2an-1+2n”变为“an=2an-1+2n+1”，其余不变，求数列{an}的通项公式.
解:等式两边同时除以2n，得=+2，即-=2，又=，
所以是以为首项，2为公差的等差数列，
所以=+(n-1)×2，即an=×2n.
|思|维|建|模|
　　形如an=pan-1+pn(p≠0且p≠1)的递推关系求通项公式的一般步骤
第一步:等式两边同除以pn，不管这一项是pn-1或pn+1，都同除以pn，为的是数列的下标和p的指数对应起来.
第二步:写出数列的通项公式.
第三步:写出数列{an}的通项公式.
针对训练
3.已知数列{an}满足=+，且a1=1，求数列{an}的通项公式.
解:由题意，等式两边同乘2n，得=+1，
即-=1，所以是以2为首项，
1为公差的等差数列，所以=2+(n-1)×1=n+1，即an=.
4.已知数列{an}中，a1=3，an+1=3an+2×3n+1，n∈N*，求数列{an}的通项公式.
解:由an+1=3an+2×3n+1，得=+2，
∴-=2，又=1，即数列是首项为1，
公差为2的等差数列，∴=2n-1，得an=(2n-1)·3n.
03
题型(三)　形如an+1=(A，B，C为常数)的递推关系求通项公式
[例3]　已知数列{an}中，a1=1，an+1=(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an=______.
解析:因为an+1=，a1=1，所以an≠0，所以=+，即-=.又a1=1，则=1，所以是以1为首项，为公差的等差数列.所以=+(n-1)×=+.所以an=.
|思|维|建|模|
　　形如an+1=(A，B，C为常数且A≠0)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
针对训练
5.[多选]已知数列{an}满足a1=1，=(n∈N*)，则下列结论正确的有(　　)
A.为等比数列
B.{an}的通项公式为an=
C.{an}为递增数列
D.的前n项和Tn=2n+2-3n-4
√
√
√
解析:因为an+1=(n∈N*)，得=+3，可转化为+3=2，
所以是以+3=4为首项，2为公比的等比数列，故+3=4·2n-1
=2n+1，所以=2n+1-3，所以an=.易知{an}为递减数列，故A、B正确，C错误.的前n项和Tn=-3n=2n+2-3n-4，故D正确.
课时检测
04
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1.若数列{an}满足an=4an-1+3(n≥2)且a1=0，则此数列第5项是 (　　)
A.15 B.255
C.16 D.63
√
解析:∵an=4an-1+3(n≥2)，∴an+1=4(an-1+1)(n≥2)，∴{an+1}是以1为首项，4为公比的等比数列，则an+1=4n-1.∴an=4n-1-1，∴a5=44-1
=255.故选B.
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2.在数列{an}中，a1=2，an+1=(n∈N*)，则a20=(　　)
A. B.
C. D.
√
解析:因为an+1=，则==+1，又=，故是首项为，公差为1的等差数列.=+n-1=n-，an=，a20=.故选B.
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3.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=0，an+1=an+2+1，则a5+S4=(　　)
A.39 B.45 C.50 D.55
√
解析:∵an+1=an+2+1，∴an+1+1=，∴
=+1，即-=1，∴数列{}是公差为1，首项为=1的等差数列，∴=n，an=n2-1.a1=0，a2=3，a3=8，a4=15，a5=24，S4=0+3+8+15=26，∴a5+S4=24+26=50.
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4.已知数列{an}满足a1=10，an+1=10，若as·at=a10，则s+t的最大值为(　　)
A.10 B.12
C.16 D.18
√
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解析:由an+1=10可得an>0，则lg an+1=lg(10)=2lg an+1，故lg an+1
+1=2(lg an+1)，又lg a1+1=2，故{lg an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，则lg an+1=2n，故an=1.由as·at=a10，得1·1=
1=1，故2s+2t=210，则210≥2=2=，故+1≤10，解得012
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5.(5分)若正项数列{an}满足a1=2，=4+4an+1，则数列{an}的通项公式是________________.
an=3×2n-1-1
解析:在正项数列{an}中，=4+4an+1=(2an+1)2，则有an+1=2an+1，于是得an+1+1=2(an+1)，而a1+1=3，因此数列{an+1}是首项为3，公比为2的等比数列，则有an+1=3×2n-1，即an=3×2n-1-1，所以数列{an}的通项公式是an=3×2n-1-1.
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6.(5分)在数列{an}中，a1=1，且an+1=an+3n+1，则通项公式an=______.
n2-
解析:∵an+1=an+3n+1，∴an+1-(n+1)2+=an-n2+，∴数列为常数列，又a1=1，则a1-+=0，∴an=n2-.
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7.(5分)已知数列{an}满足a1=1，且an=2an-1+2n-1(n≥2，n∈N)，则an=___________.
n·2n-1
解析:由题设，=+(n≥2)，即-=(n≥2)，而=，∴是首项、公差均为的等差数列，即=+(n-1)=，∴an=n·2n-1.
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8.(5分)已知数列{an}满足a1=1，3an+1an=an-an+1，则通项公式an=_________.
解析:∵3an+1an=an-an+1，∴-=3，且=1，∴是以1为首项，3为公差的等差数列，∴=1+(n-1)·3=3n-2，∴an=.
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9.(5分)已知数列{an}的首项是a1=1，且an+1=，则数列{an}的通项公式为_______.
an=
解析:由an+1=，即(n+1)an+1=nan，故数列{nan}为常数列，a1=1，即nan=1，an=.
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10.(5分)在数列{an}中，a1=1，a2=3，且对任意的n∈N*，都有=3an+1-2an，则数列{an}的通项公式为_________________.
an=2n-1
解析:由=3an+1-2an，得-an+1=2(an+1-an).
又a1=1，a2=3，所以a2-a1=2≠0，所以{an+1-an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an+1-an=2n，所以an=a1+(a2-a1)+…+(an-an-1)=1+2+
22+…+2n-1=2n-1，n≥2，因为a1=1符合上式，所以an=2n-1.
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11.(10分)数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，3Sn=an+1-+2(n∈N*).
(1) n∈N*时，写出an+1与an之间的递推关系；(6分)
解:因为3Sn=an+1-2n+2+2　①，
所以当n≥2时，3Sn-1=an-2n+1+2　②，
①-②得3an=an+1-an-2n+1(n≥2)，即an+1=4an+2n+1(n≥2)，
在①中，令n=1得a2=3a1+23-2=12=4a1+22，也符合上式，所以an+1=4an+2n+1.
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(2)求{an}的通项公式.(4分)
解:因为an+1=4an+2n+1，则an+1+2n+1=4(an+2n)，且a1+2=4≠0，
所以数列{an+2n}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以an+2n=4n，故an=4n-2n.
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12.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3且Sn+Sn+1=2n2+6n+3，n∈N*.
(1)求S9的值；(5分)
解:因为Sn+Sn+1=2n2+6n+3，所以Sn+2+Sn+1=2(n+1)2+6(n+1)+3.
两式相减，得an+2+an+1=4(n+2)，n∈N*.所以S9=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a8+a9)=3+4[(1+2)+(3+2)+…+(7+2)]
=3+4×=99.
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(2)求数列{an}的通项公式.(10分)
解:由(1)知an+2+an+1=4(n+2)①，可得an+an+1=4(n+1)②，n≥2.因为a1=3，S2+S1=11，所以a2=5，又S3+S2=23=2a1+2a2+a3，
所以a3=7.又由①②得an+2-an=4，n≥2.所以a2n=a2+4(n-1)=4n+1，即an=2n+1，n为偶数，则当n≥3，且为奇数时，an=4(n+1)-an+1=4(n+1)-[2(n+1)+1]=2n+1，
又a1=3，a3=7符合上式，综上得an=2n+1.
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13.(15分)在数列{an}中， a1=4且 an+1=，求数列{an}的通项公式.
解:由an+1=两边减去1得，an+1-1=-1=，
两边取倒数得，===+·，
两边同加得，+=+·=·，
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由a1=4，则+=≠0，所以有=，
故是以为首项，为公比的等比数列.
所以+=·，故an-1=，解得an=.
12课时检测(三十六)　构造法求数列通项公式
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择题请在答题区内作答,填空、解答题请在题后作答)
1.若数列{an}满足an=4an-1+3(n≥2)且a1=0,则此数列第5项是 (　　)
A.15 B.255
C.16 D.63
2.在数列{an}中,a1=2,an+1=(n∈N*),则a20= (　　)
A. B.
C. D.
3.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=0,an+1=an+2+1,则a5+S4= (　　)
A.39 B.45
C.50 D.55
4.已知数列{an}满足a1=10,an+1=10,若as·at=a10,则s+t的最大值为 (　　)
A.10 B.12
C.16 D.18
5.(5分)若正项数列{an}满足a1=2,=4+4an+1,则数列{an}的通项公式是　　　　.
6.(5分)在数列{an}中,a1=1,且an+1=an+3n+1,则通项公式an=　　　　.
7.(5分)已知数列{an}满足a1=1,且an=2an-1+2n-1(n≥2,n∈N),则an=　　　　.
8.(5分)已知数列{an}满足a1=1,3an+1an=an-an+1,则通项公式an=　　　　.
9.(5分)已知数列{an}的首项是a1=1,且an+1=,则数列{an}的通项公式为　　　　　　.
10.(5分)在数列{an}中,a1=1,a2=3,且对任意的n∈N*,都有=3an+1-2an,则数列{an}的通项公式为　　　　.
11.(10分)数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2,3Sn=an+1-+2(n∈N*).
(1) n∈N*时,写出an+1与an之间的递推关系;(6分)
(2)求{an}的通项公式.(4分)
12.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=3且Sn+Sn+1=2n2+6n+3,n∈N*.
(1)求S9的值;(5分)
(2)求数列{an}的通项公式.(10分)
13.(15分)在数列{an}中, a1=4且 an+1=,求数列{an}的通项公式.
课时检测(三十六)
1．选B　∵an＝4an－1＋3(n≥2)，∴an＋1＝4(an－1＋1)(n≥2)，∴{an＋1}是以1为首项，4为公比的等比数列，则an＋1＝4n－1.
∴an＝4n－1－1，∴a5＝44－1＝255.故选B.
2．选B　因为an＋1＝，则＝＝＋1，又＝，故是首项为，公差为1的等差数列.＝＋n－1＝n－，an＝，a20＝.故选B.
3．选C　∵an＋1＝an＋2＋1，∴an＋1＋1＝( ＋1)2，∴＝＋1，即－＝1，
∴数列{}是公差为1，首项为＝1的等差数列，∴＝n，an＝n2－1.a1＝0，a2＝3，a3＝8，a4＝15，a5＝24，S4＝0＋3＋8＋15＝26，∴a5＋S4＝24＋26＝50.
4．选D　由an＋1＝10a可得an>0，则lg an＋1＝lg(10a)＝2lg an＋1，故lg an＋1＋1＝2(lg an＋1)，又lg a1＋1＝2，故{lg an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，则lg an＋1＝2n，故an＝102n－1.由as·at＝a10，得102s－1·102t－1＝102s＋2t－2＝10210－2，故2s＋2t＝210，则210≥2＝2＝2＋1，故＋1≤10，解得05．解析：在正项数列{an}中，a＝4a＋4an＋1＝(2an＋1)2，则有an＋1＝2an＋1，于是得an＋1＋1＝2(an＋1)，而a1＋1＝3，因此数列{an＋1}是首项为3，公比为2的等比数列，则有an＋1＝3×2n－1，即an＝3×2n－1－1，所以数列{an}的通项公式是an＝3×2n－1－1.
答案：an＝3×2n－1－1
6．解析：∵an＋1＝an＋3n＋1，∴an＋1－(n＋1)2＋＝an－n2＋，
∴数列为常数列，又a1＝1，则a1－＋＝0，∴an＝n2－.
答案：n2－
7．解析：由题设，＝＋(n≥2)，即－＝(n≥2)，而＝，∴是首项、公差均为的等差数列，即＝＋(n－1)＝，∴an＝n·2n－1.
答案：n·2n－1
8．解析：∵3an＋1an＝an－an＋1，∴－＝3，且＝1，∴是以1为首项，3为公差的等差数列，∴＝1＋(n－1)·3＝3n－2，∴an＝.
答案：
9．解析：由an＋1＝，即(n＋1)an＋1＝nan，故数列{nan}为常数列，a1＝1，即nan＝1，an＝.
答案：an＝
10．解析：由an＋2＝3an＋1－2an，得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)．
又a1＝1，a2＝3，所以a2－a1＝2≠0，所以{an＋1－an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＋1－an＝2n，所以an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，n≥2，
因为a1＝1符合上式，所以an＝2n－1.
答案：an＝2n－1
11．解：(1)因为3Sn＝an＋1－2n＋2＋2　①，
所以当n≥2时，3Sn－1＝an－2n＋1＋2　②，
①－②得3an＝an＋1－an－2n＋1(n≥2)，
即an＋1＝4an＋2n＋1(n≥2)，
在①中，令n＝1得a2＝3a1＋23－2＝12＝4a1＋22，也符合上式，所以an＋1＝4an＋2n＋1.
(2)因为an＋1＝4an＋2n＋1，则an＋1＋2n＋1＝4(an＋2n)，且a1＋2＝4≠0，
所以数列{an＋2n}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以an＋2n＝4n，故an＝4n－2n.
12．解：(1)因为Sn＋Sn＋1＝2n2＋6n＋3，所以Sn＋2＋Sn＋1＝2(n＋1)2＋6(n＋1)＋3.
两式相减，得an＋2＋an＋1＝4(n＋2)，n∈N*.所以S9＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a8＋a9)＝3＋4[(1＋2)＋(3＋2)＋…＋(7＋2)]＝3＋4×＝99.
(2)由(1)知an＋2＋an＋1＝4(n＋2)①，可得an＋an＋1＝4(n＋1)②，n≥2.因为a1＝3，S2＋S1＝11，所以a2＝5，又S3＋S2＝23＝2a1＋2a2＋a3，
所以a3＝7.又由①②得an＋2－an＝4，n≥2.所以a2n＝a2＋4(n－1)＝4n＋1，即an＝2n＋1，n为偶数，则当n≥3，且为奇数时，an＝4(n＋1)－an＋1＝4(n＋1)－[2(n＋1)＋1]＝2n＋1，又a1＝3，a3＝7符合上式，综上得an＝2n＋1.
13．解：由an＋1＝两边减去1得，
an＋1－1＝－1＝，
两边取倒数得，＝＝＝＋·，
两边同加得，＋＝＋·＝·，
由a1＝4，则＋＝≠0，所以有＝，故是以为首项，为公比的等比数列．
所以＋＝·n－1，
故an－1＝，
解得an＝.
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