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第2课时　导数与函数单调性的简单综合
[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
[课时目标]
1.进一步理解函数的导数和其单调性的关系.能求简单的含参的函数的单调区间.
2.能根据函数的单调性求参数的取值范围,比较大小解不等式等.
题型(一)　讨论含参函数的单调性
[例1]　已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x,讨论f(x)的单调性.
听课记录:
　　[变式拓展]
　已知函数f(x)=x2-2x+aln x(a>0),求函数f(x)的单调递增区间.
|思|维|建|模|
　　在讨论含有参数的函数单调性时,若f'(x)中的参数不容易判断其正负时,需要对参数进行分类,分类的标准:
(1)按导函数是否有零点分大类;
(2)在大类中再按导数零点的大小分小类;
(3)在小类中再按零点是否在定义域中分类.
　　[针对训练]
1.已知函数f(x)=ax-(a+2)ln x--ln a(a>0),讨论函数f(x)的单调性.
题型(二)　根据函数的单调性求参数
[例2]　已知函数f(x)=x3-ax-1.若f(x)在R上为增函数,求实数a的取值范围.
听课记录:
　　[变式拓展]
1.函数f(x)不变,若f(x)在区间(-1,1)内单调递减,试求a的取值范围.
2.函数f(x)不变,若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求a的值.
|思|维|建|模|
1.已知f(x)在区间(a,b)内的单调性,求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)内单调递增(减)的问题,则区间(a,b)是相应单调区间的子集;
(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a,b)内单调递增(减)的问题,则f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立.
2.恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立 m≥f(x)max;
(2)m≤f(x)恒成立 m≤f(x)min.
　　[针对训练]
2.若函数f(x)=2x2+ln x-ax在定义域上单调递增,求实数a的取值范围.
题型(三)　根据函数的单调性比较大小或解不等式
[例3]　已知函数f(x)=+ln x,则有 (　　)
A.f(e)C.f(e)听课记录:
|思|维|建|模|
(1)在比较两数(式)的大小关系时,首先要判断所给函数的单调性,再根据函数的单调性比较大小.
(2)在解一些不等式时,先判断函数的单调性,再利用单调性脱去f,即可得到变量的大小关系.
　　[针对训练]
3.若f(x)=,eA.f(a)>f(b) B.f(a)=f(b)
C.f(a)1
4.已知函数f(x)=x-sin x,则不等式f(x+1)+f(2-2x)>0的解集是　　　　.
第2课时　导数与函数单调性的简单综合
[题型(一)]
[例1]　解：由题意得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＋(2a＋1)＝.当a≥0时，2ax＋1>0，x＋1>0，∴f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，令f′(x)＝0，解得x＝－，∴当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.∴f(x)在内单调递增，在上单调递减．综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，f(x)在内单调递增，在上单调递减．
[变式拓展]
解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－2＋＝，x>0，
令h(x)＝2x2－2x＋a，注意到Δ＝4(1－2a)．
当a≥时，Δ≤0，f′(x)≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当00，令f′(x)＝0，
得x1＝>0，x2＝>0，
令f′(x)>0，解得x∈∪，
所以f(x)的单调递增区间为，.
综上，当a≥时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当0[针对训练]
1．解：由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＝，x>0，令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝.
当<1，即a>2时，若x∈∪(1，＋∞)，则f′(x)>0；若x∈，
则f′(x)<0.∴f(x)在，(1，＋∞)上单调递增，在内单调递减．
当＝1，即a＝2时，f′(x)＝≥0且f′(x)不恒等于0，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当>1，即00；若x∈，则f′(x)<0.∴f(x)在(0,1)，上单调递增，在内单调递减．
综上所述，当a>2时，f(x)在，(1，＋∞)上单调递增，在内单调递减；当a＝2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当0[题型(二)]
[例2]　解：f′(x)＝3x2－a.
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．
因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0，即实数a的取值范围为(－∞，0]．
[变式拓展]
1．解：由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)内恒成立，得a≥3x2在(－1,1)内恒成立．因为－1当a＝3时，若x∈(－1,1)，则f′(x)＝3x2－3<0，f(x)单调递减．
故当a的取值范围为[3，＋∞)时，f(x)在(－1,1)内单调递减．
2．解：由本例可知，f(x)的单调递减区间为，所以＝1，即a＝3.
[针对训练]
2．解：函数f(x)＝2x2＋ln x－ax在定义域上单调递增，则f′(x)＝4x＋－a≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a≤4x＋(x>0)恒成立．
令g(x)＝4x＋(x>0)，则a≤g(x)min.
g(x)＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即x＝时取等号，故a≤4；
当a＝4时，f′(x)＝4x＋－4＝＝≥0恒成立，满足题意，所以a≤4.
故实数a的取值范围是(－∞，4]．
[题型(三)]
[例3]　选D　f′(x)＝＋，所以x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又2[针对训练]
3．选A　因为f′(x)＝＝，当x∈(e，＋∞)时，1－ln x<0，所以f′(x)<0，所以f(x)在(e，＋∞)上单调递减．故f(a)>f(b)．
4．解析：因为f(x)＝x－sin x，所以f(－x)＝－x＋sin x＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，函数的导数f′(x)＝1－cos x≥0，则函数f(x)单调递增，则不等式f(x＋1)＋f(2－2x)>0等价于f(x＋1)>－f(2－2x)＝f(2x－2)，即x＋1>2x－2，解得x<3，故不等式的解集为(－∞，3)．
答案：(－∞，3)
1 / 2(共40张PPT)
导数与函数单调性的简单综合
[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
第2课时
课时目标
1.进一步理解函数的导数和其单调性的关系.能求简单的含参的函数的单调区间.
2.能根据函数的单调性求参数的取值范围，比较大小解不等式等.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一)　讨论含参函数的单调性
题型(二)　根据函数的单调性求参数
题型(三)　根据函数的单调性比较大小或解不等式
4
课时检测
题型(一)　讨论含参函数的单调性
01
[例1]　已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x，讨论f(x)的单调性.
解:由题意得f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=+2ax+(2a+1)=.
当a≥0时，2ax+1>0，x+1>0，∴f'(x)>0在(0，+∞)上恒成立，
∴f(x)在(0，+∞)上单调递增;当a<0时，令f'(x)=0，解得x=-，
∴当x∈时，f'(x)>0;当x∈时，f'(x)<0.
∴f(x)在内单调递增，在上单调递减.
综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增;当a<0时，f(x)在内单调递增，在上单调递减.
变式拓展
已知函数f(x)=x2-2x+aln x(a>0)，求函数f(x)的单调递增区间.
解:f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=2x-2+=，x>0，
令h(x)=2x2-2x+a，注意到Δ=4(1-2a).
当a≥时，Δ≤0，f'(x)≥0，故f(x)在(0，+∞)上单调递增;
当00，令f'(x)=0，得x1=>0，x2=>0，
令f'(x)>0，解得x∈∪，
所以f(x)的单调递增区间为.
综上，当a≥时，f(x)的单调递增区间为(0，+∞);
当0|思|维|建|模|
　　在讨论含有参数的函数单调性时，若f'(x)中的参数不容易判断其正负时，需要对参数进行分类，分类的标准:
(1)按导函数是否有零点分大类;
(2)在大类中再按导数零点的大小分小类;
(3)在小类中再按零点是否在定义域中分类.
针对训练
1.已知函数f(x)=ax-(a+2)ln x--ln a(a>0)，讨论函数f(x)的单调性.
解:由题意知f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)==，x>0，令f'(x)=0，解得x1=1，x2=.当<1，即a>2时，
若x∈∪(1，+∞)，则f'(x)>0;若x∈，则f'(x)<0.
∴f(x)在，(1，+∞)上单调递增，在内单调递减.
当=1，即a=2时，f'(x)=≥0且f'(x)不恒等于0，∴f(x)在(0，+∞)上单调递增.当>1，即00;若x∈，则f'(x)<0.∴f(x)在(0，1)，上单调递增，在内单调递减.综上所述，当a>2时，f(x)在，(1，+∞)上单调递增，在内单调递减;当a=2时，f(x)在(0，+∞)上单调递增;当0题型(二)　根据函数的单调性求参数
02
[例2]　已知函数f(x)=x3-ax-1.若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围.
解:f'(x)=3x2-a.因为f(x)在(-∞，+∞)上是增函数，
所以f'(x)=3x2-a≥0在(-∞，+∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立.因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又因为a=0时，f'(x)=3x2≥0，f(x)=x3-1在R上是增函数，所以a≤0，即实数a的取值范围为(-∞，0].
变式拓展
1.函数f(x)不变，若f(x)在区间(-1，1)内单调递减，试求a的取值范围.
解:由f'(x)=3x2-a≤0在(-1，1)内恒成立，得a≥3x2在(-1，1)内恒成立.因为-1当a=3时，若x∈(-1，1)，则f'(x)=3x2-3<0，f(x)单调递减.
故当a的取值范围为[3，+∞)时，f(x)在(-1，1)内单调递减.
2.函数f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(-1，1)，求a的值.
解:由本例可知，f(x)的单调递减区间为，
所以=1，即a=3.
|思|维|建|模|
1.已知f(x)在区间(a，b)内的单调性，求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)内单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集;
(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)内单调递增(减)的问题，则f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立.
2.恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立 m≥f(x)max;(2)m≤f(x)恒成立 m≤f(x)min.
针对训练
2.若函数f(x)=2x2+ln x-ax在定义域上单调递增，求实数a的取值范围.
解:函数f(x)=2x2+ln x-ax在定义域上单调递增，则f'(x)=4x+-a≥0在(0，+∞)上恒成立，即a≤4x+(x>0)恒成立.令g(x)=4x+(x>0)，则a≤g(x)min.
g(x)=4x+≥2=4，当且仅当4x=，即x=时取等号，故a≤4;
当a=4时，f'(x)=4x+-4==≥0恒成立，满足题意，所以a≤4.故实数a的取值范围是(-∞，4].
题型(三)　根据函数的单调性比较大小或解不等式
03
[例3]　已知函数f(x)=+ln x，则有(　　)
A.f(e)B.f(3)C.f(e)D.f(2)√
解析:f'(x)=+，所以x∈(0，+∞)时，f'(x)>0，所以f(x)在(0，+∞)上是增函数，又2|思|维|建|模|
(1)在比较两数(式)的大小关系时，首先要判断所给函数的单调性，再根据函数的单调性比较大小.
(2)在解一些不等式时，先判断函数的单调性，再利用单调性脱去f，即可得到变量的大小关系.
针对训练
3.若f(x)=，eA.f(a)>f(b) B.f(a)=f(b)
C.f(a)1
√
解析:因为f'(x)==，当x∈(e，+∞)时，1-ln x<0，所以f'(x)<0，所以f(x)在(e，+∞)上单调递减.故f(a)>f(b).
4.已知函数f(x)=x-sin x，则不等式f(x+1)+f(2-2x)>0的解集是________.
(-∞，3)
解析:因为f(x)=x-sin x，所以f(-x)=-x+sin x=-f(x)，即函数f(x)为奇函数，函数的导数f'(x)=1-cos x≥0，则函数f(x)单调递增，则不等式f(x+1)+f(2-2x)>0等价于f(x+1)>-f(2-2x)=f(2x-2)，即x+1>2x-2，解得x<3，故不等式的解集为(-∞，3).
课时检测
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1.函数f(x)=ax3-x在R上为减函数，则a的取值范围为 (　　)
A.(-∞，0] B.(-∞，1)
C.(-∞，2) D.
√
解析:f'(x)=3ax2-1≤0恒成立，∴a≤0.
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2.已知函数f(x)=ln x+x2+ax的单调递减区间为，则a的值为(　　)
A.(-∞，-3) B.-3
C.3 D.(-∞，3)
√
解析:由题意得函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=+2x+a=<0的解集为，所以不等式2x2+ax+1<0的解集为，所以+1=-，解得a=-3.
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3.已知函数f(x)=ax+cos x在内单调递增，则a的取值范围是(　　)
A.[-1，+∞) B.[1，+∞)
C. D.
√
解析:f'(x)=a-sin x≥0在上恒成立，即a≥sin x，所以a≥1，则a的取值范围是[1，+∞).故选B.
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4.[多选]若函数f(x)=ax3+3x2-x+1恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是 (　　)
A.-3 B.-1
C.0 D.2
√
√
解析:依题意知，f'(x)=3ax2+6x-1有两个不相等的零点，故解得a>-3且a≠0.故选BD.
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5.若f(x)=xsin x+cos x，a=f(-3)，b=f()，c=f(2)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.aC.b√
解析:因为f(-x)=-xsin(-x)+cos(-x)=xsin x+cos x=f(x)，可知函数f(x)为偶函数，所以a=f(-3)=f(3).又因为f'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x，且x∈，则x>0，cos x<0，即f'(x)=xcos x<0，所以f(x)在区间内单调递减，且<<2<3<π，所以f(-3)=f(3)8
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6.若函数f(x)=x2-9ln x在区间[a-1，a+1]内单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A.(1，2] B.[4，+∞)
C.(-∞，2] D.(0，3]
√
解析:由f(x)=x2-9ln x，则函数f(x)的定义域是(0，+∞)，又函数f(x)在区间[a-1，a+1]内单调递减，则f'(x)=x-≤0，得08
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7.已知函数的定义域为R，f(1)=5，对任意x∈R，f'(x)<2，则f(x)>3+2x的解集为(　　)
A.(-1，1) B.(2，+∞)
C.(1，2) D.(-∞，1)
√
解析:设g(x)=f(x)-2x-3，则g'(x)= f'(x)-2.∵对任意x∈R，f'(x)<2，∴对任意x∈R，g'(x)<0，∴g(x)在R上单调递减.∵f(1)=5，∴g(1)=f(1)-2-3=0，由g(x)> g(1)=0，得x<1，∴f(x)>3+2x的解集为(-∞，1).故选D.
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8.(5分)若函数y=x2-2bx+6在(2,8)内单调递增,则实数b的取值范围是___________.
(-∞,2]
解析:由题意得y'=2x-2b≥0在(2,8)内恒成立,即b≤x在(2,8)内恒成立,所以b≤2.
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9.(5分)若函数f(x)=x2-4ln x在其定义域的一个子区间(k-2，k+2)内不具有单调性，则实数k的取值范围是___________.
[2，4)
解析:由题意f'(x)=x-(x>0)单调递增，且f'(2)=2-=0，所以若函数f(x)=x2-4ln x在其定义域的一个子区间(k-2，k+2)内不具有单调性，则0≤k-2<28
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10.(5分)已知函数f(x)=x3-x的值域为，则f(x)的定义域可以是____________________.(写出一个符合条件的即可)
[-1，1](答案不唯一)
解析:f'(x)=x2-1，令f'(x)=0可得x=-1或x=1，所以当x<-1或x>1时，f'(x)>0，当-18
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11.(5分)已知函数f(x)=ex-+sin x，其中e是自然对数的底数，若f(2a)+f(a2)≤0，则实数a的取值范围是_________.
[-2，0]
解析:易知f(-x)=e-x-+sin(-x)=-ex+-sin x=-f(x)，且x∈R，即f(x)为奇函数.又f'(x)=ex++cos x≥2+cos x=2+cos x>0，当且仅当x=0时取等号，故f(x)为增函数.由于f(2a)+f(a2)≤0 f(2a)≤-f(a2)=f(-a2) ，所以2a≤-a2 a∈[-2，0].
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12.(5分)已知函数f(x)=-x2+x+6在(a，a+1)内不具有单调性，则实数a的取值范围是____________.
解析:根据题意，函数f(x)=-x2+x+6，其导数f'(x)=-2x+1，令f'(x)=0，可得x=，当x<时，f'(x)>0;当x>时，f'(x)<0.则在区间上，f(x)单调递增;在区间上，f(x)单调递减，若函数f(x)=-x2+x+6在(a，a+1)内不具有单调性，则a<8
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解:由已知，f(x)=x2+x+aln x(a∈R)的定义域为(0，+∞)，
f'(x)=2x+1+=，当a≥0时，f'(x)>0在区间(0，+∞)上恒成立，
f(x)在区间(0，+∞)上单调递增.
当a<0时，令f'(x)=0，则2x2+x+a=0，Δ=1-8a>0，
解得x1=<0(舍去)，x2=>0，
∴当x∈时，2x2+x+a<0，∴f'(x)<0，
∴f(x)在区间内单调递减;
13.(10分)已知f(x)=x2+x+aln x(a∈R).讨论f(x)的单调性.
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当x∈时，2x2+x+a>0，
∴f'(x)>0，∴f(x)在区间上单调递增.
综上所述，当a≥0时，f(x)在区间(0，+∞)上单调递增;
当a<0时，f(x)在区间内单调递减，
在区间上单调递增.
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14.(10分)已知函数f(x)=x-aln x.
(1)若f(x)在[1，+∞)上单调递增，求a的取值范围;(5分)
解: f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=1-=，当a≤0时，f'(x)>0，f(x)在(0，+∞)上单调递增，满足题意;
当a>0时，令f'(x)=≥0，解得x<0(舍去)或x≥a，要使f(x)在[1，+∞)上单调递增，则a≤1，所以0综上，a的取值范围为(-∞，1].
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(2)求f(x)的单调区间.(5分)
解:由(1)可知，当a≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增，
当a>0时，f(x)在(a，+∞)上单调递增，
令f'(x)=<0，解得0综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，+∞);当a>0时，f(x)的单调递增区间为(a，+∞)，单调递减区间为(0，a).
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15.(15分)已知函数f(x)=xln x.
(1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程;(5分)
解: f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=ln x+1.
曲线f(x)在x=1处的切线的斜率为k= f'(1)=1.
把x=1代入f(x)=xln x中得f(1)=0，即切点坐标为(1，0).
所以曲线f(x)在x=1处的切线方程为y=x-1.
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(2)讨论函数f(x)在区间(0，t](t>0)内的单调性.(10分)
解:令f'(x)=ln x+1=0，得x=.
当0当t>时，在区间内，f'(x)<0，f(x)单调递减;
在区间内，f'(x)>0，f(x)单调递增.
综上，当0当t>时，在区间内，f(x)单调递减，在区间内，f(x)单调递增.
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9课时检测(四十八)　导数与函数单调性的简单综合
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.函数f(x)=ax3-x在R上为减函数,则a的取值范围为 (　　)
A.(-∞,0] B.(-∞,1)
C.(-∞,2) D.
2.已知函数f(x)=ln x+x2+ax的单调递减区间为,则a的值为 (　　)
A.(-∞,-3) B.-3
C.3 D.(-∞,3)
3.已知函数f(x)=ax+cos x在内单调递增,则a的取值范围是 (　　)
A.[-1,+∞) B.[1,+∞)
C. D.
4.[多选]若函数f(x)=ax3+3x2-x+1恰好有三个单调区间,则实数a的取值可以是 (　　)
A.-3 B.-1
C.0 D.2
5.若f(x)=xsin x+cos x,a=f(-3),b=f(),c=f(2),则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.aC.b6.若函数f(x)=x2-9ln x在区间[a-1,a+1]内单调递减,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(1,2] B.[4,+∞)
C.(-∞,2] D.(0,3]
7.已知函数的定义域为R,f(1)=5,对任意x∈R,f'(x)<2,则f(x)>3+2x的解集为 (　　)
A.(-1,1) B.(2,+∞)
C.(1,2) D.(-∞,1)
8.(5分)若函数y=x2-2bx+6在(2,8)内单调递增,则实数b的取值范围是　　　　.
9.(5分)若函数f(x)=x2-4ln x在其定义域的一个子区间(k-2,k+2)内不具有单调性,则实数k的取值范围是　　　　.
10.(5分)已知函数f(x)=x3-x的值域为,则f(x)的定义域可以是　　　　.(写出一个符合条件的即可)
11.(5分)已知函数f(x)=ex-+sin x,其中e是自然对数的底数,若f(2a)+f(a2)≤0,则实数a的取值范围是　　　　.
12.(5分)已知函数f(x)=-x2+x+6在(a,a+1)内不具有单调性,则实数a的取值范围是　　　　.
13.(10分)已知f(x)=x2+x+aln x(a∈R).讨论f(x)的单调性.
14.(10分)已知函数f(x)=x-aln x.
(1)若f(x)在[1,+∞)上单调递增,求a的取值范围;(5分)
(2)求f(x)的单调区间.(5分)
15.(15分)已知函数f(x)=xln x.
(1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程;(5分)
(2)讨论函数f(x)在区间(0,t](t>0)内的单调性.(10分)
课时检测(四十八)
1．选A　f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，∴a≤0.
2．选B　由题意得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2x＋a＝＜0的解集为，所以不等式2x2＋ax＋1＜0的解集为，
所以＋1＝－，解得a＝－3.
3．选B　f′(x)＝a－sin x≥0在上恒成立，即a≥sin x，所以a≥1，则a的取值范围是[1，＋∞)．故选B.
4．选BD　依题意知，f′(x)＝3ax2＋6x－1有两个不相等的零点，故解得a>－3且a≠0.故选BD.
5．选B　因为f(－x)＝－xsin(－x)＋cos(－x)＝xsin x＋cos x＝f(x)，可知函数f(x)为偶函数，所以a＝f(－3)＝f(3)．又因为f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，且x∈，则x>0，cos x<0，即f′(x)＝xcos x<0，所以f(x)在区间内单调递减，且<<2<3<π，所以f(－3)＝f(3)6．选A　由f(x)＝x2－9ln x，则函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，又函数f(x)在区间[a－1，a＋1]内单调递减，则f′(x)＝x－≤0，得07．选D　设g(x)＝f(x)－2x－3，则g′(x)＝ f′(x)－2.∵对任意x∈R，f′(x)<2，∴对任意x∈R，g′(x)<0，∴g(x)在R上单调递减．∵f(1)＝5，∴g(1)＝f(1)－2－3＝0，由g(x)> g(1)＝0，得x<1，∴f(x)>3＋2x的解集为(－∞，1)．故选D.
8．解析：由题意得y′＝2x－2b≥0在(2,8)内恒成立，即b≤x在(2,8)内恒成立，所以b≤2.
答案：(－∞，2]
9．解析：由题意f′(x)＝x－(x>0)单调递增，且f′(2)＝2－＝0，所以若函数f(x)＝x2－4ln x在其定义域的一个子区间(k－2，k＋2)内不具有单调性，则0≤k－2<2答案：[2,4)
10．解析：f′(x)＝x2－1，令f′(x)＝0可得x＝－1或x＝1，所以当x<－1或x>1时，f′(x)>0，当－1答案：[－1,1](答案不唯一)
11．解析：易知f(－x)＝e－x－＋sin(－x)＝－ex＋－sin x＝－f(x)，且x∈R，即f(x)为奇函数．又f′(x)＝ex＋＋cos x≥2＋cos x＝2＋cos x>0，当且仅当x＝0时取等号，故f(x)为增函数．由于f(2a)＋f(a2)≤0 f(2a)≤－f(a2)＝f(－a2) ，所以2a≤－a2 a∈[－2,0]．
答案：[－2,0]
12．解析：根据题意，函数f(x)＝－x2＋x＋6，其导数f′(x)＝－2x＋1，令f′(x)＝0，可得x＝，当x<时，f′(x)>0；当x>时，f′(x)<0.则在区间上，f(x)单调递增；在区间上，f(x)单调递减，若函数f(x)＝－x2＋x＋6在(a，a＋1)内不具有单调性，则a<答案：
13．解：由已知，f(x)＝x2＋x＋aln x(a∈R)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x＋1＋＝，
当a≥0时，f′(x)>0在区间(0，＋∞)上恒成立，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
当a<0时，令f′(x)＝0，则2x2＋x＋a＝0，Δ＝1－8a>0，解得x1＝<0(舍去)，x2＝>0，∴当x∈时，2x2＋x＋a<0，
∴f′(x)<0，∴f(x)在区间内单调递减；
当x∈时，2x2＋x＋a>0，∴f′(x)>0，∴f(x)在区间上单调递增．
综上所述，当a≥0时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，f(x)在区间内单调递减，在区间上单调递增．
14．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－＝，当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，满足题意；
当a>0时，令f′(x)＝≥0，解得x<0(舍去)或x≥a，要使f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则a≤1，所以0综上，a的取值范围为(－∞，1]．
(2)由(1)可知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当a>0时，f(x)在(a，＋∞)上单调递增，令f′(x)＝<0，解得0综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调递增区间为(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)．
15．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1.曲线f(x)在x＝1处的切线的斜率为k＝ f′(1)＝1.
把x＝1代入f(x)＝xln x中得f(1)＝0，
即切点坐标为(1,0)．
所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－1.
(2)令f′(x)＝ln x＋1＝0，得x＝.
当0当t>时，在区间内，f′(x)<0，f(x)单调递减；在区间内，f′(x)>0，f(x)单调递增．
综上，当0当t>时，在区间内，f(x)单调递减，在区间内，f(x)单调递增．
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