资源简介

2024-2025学年江苏省宿迁市泗阳县高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
2.展开式中的第项为常数项，则的值为( )
A. B. C. D.
3.张卡片的正、反面分别写有数字和、和、和将这张卡片排成一排，可构成不同的三位数的个数为( )
A. B. C. D.
4.在正三棱柱中，，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
5.在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为( )
A. B. C. D.
6.名同学排成一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.若，则( )
A. B. C. D.
8.将封不同的信放入编号为，，，的个邮筒，则恰有个空邮筒的不同的放法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.数学竞赛小组有高一学生人，高二学生人，高三学生人，则( )
A. 若每个年级各选名学生外出培训，则共有种不同的选法
B. 若选派名学生外出培训，这人来自不同年级，则共有种不同的选法
C. 若选派名学生外出培训，恰好有人来自高二年级，则有种不同的选法
D. 若选派名学生外出培训，高三年级的甲乙两位同学不能同时参加，则共有种不同的选法
10.若展开式中的常数项为，则( )
A. 展开式中第项的二项式系数最大 B. 实数的值为
C. 展开式中奇数项的二项式系数和为 D. 展开式中系数最大的项是第项
11.正方体中，点满足，若正方体棱长为，则下列正确的有( )
A. 若，，则平面
B. 若，则三棱锥的体积为定值
C. 若，则点到直线的距离的最小值为
D. 若，，则二面角的正弦值的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则向量在向量上的投影向量是______．
13.的展开式中含项的系数为______．
14.在华为的三进制数据处理研究中，设计了一种独特的三进制编码规则将一个长度为位的三进制数按位权展开并转化为十进制数，例如三进制数，转化为十进制数，其中，，，，，则三进制数对应的十进制数为______，现有一个位三进制数，包含个，个，个，若要求首位不能为，且相邻两位不能同时为，则这样的不同的三进制数个数共有______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，．
求的值；
求与所成的角的余弦值．
16.本小题分
有名同学报名参加数学、物理、化学三科兴趣小组，每人选择一个小组数字作答
求一共有多少种不同的报名方法；
若三科均要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法；
若甲乙两人都不报化学学科，且每个学科都要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，为的中点，，，，，，．
求平面与平面所成角的正弦值；
在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
18.本小题分
设．
求实数的值；
求的值；
求的值．
19.本小题分
在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线方向式方程为；过点，且法向量为的平面法向式方程为，将其整理成一般式方程为，其中已知直线的方向式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为．
求直线与平面所成角的余弦值；
求与所成角的正弦值；
若，不在平面内，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.在平行六面体中，，
，，点为的中点，
，
由空间向量运算法则得：
，
，
由，得：，，
．
由向量数量积公式得：
，
，
，
又，
由空间向量夹角余弦公式得：
，
与所成的角是锐角或直角，
与所成的角的余弦值为．
16.已知有名同学报名参加数学、物理、化学三科兴趣小组，每人选择一个小组，
因为每个人都有三种选择，所以一共有种；
因为三科均要有人报名，可分为以下三种情况：
其中一科有人，另外科各人，共有：种，
其中一科人，一科人，一科人，共有：种，
三科均人，共有：种，
所以一共有：种．
因为甲乙两人都不报化学学科，
所以按照另外个人报化学学科的人数可分为以下种情况：
有人报化学：种，
有人报化学：种，
有人报化学：种，
有人报化学：种，
所以一共有：种．
17.因为，，
所以，
又因为为的中点，，
所以与均为等腰直角三角形，
所以，
又因为，面，平面，，
所以平面，
又因为平面，
所以，
又，面，平面，
所以平面，
在平面内，过点作，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，，
平面的一个法向量为，
又因为平面的一个法向量为，
所以，
设平面与平面所成角为，则．
假设线段上存在点，使得平面，
设，
所以，
因为平面，
所以，
所以，即点是线段的中点，
所以存在点，点为线段的中点．
18.由题意知，，
所以，即．
令，则，
令，则有，
所以有所求式等于．
对两边求导得：
，
继续求导得：
，
令，则有，
所以所求式等于．
19.设直线与平面所成角为，
因为直线的方向式方程为，平面的一般式方程为，
所以直线的一个方向向量为，
平面的一个法向量为．
所以．
所以．
设平面和所成角为，
因为平面的一般式方程为，
平面的一般式方程为，
所以平面的一个法向量为，平面的一个法向量为．
所以，
所以，
证明：设直线的一个方向向量为，
则，则，所以，
令，则，所以直线的一个方向向量为．
因为平面的一般式方程为，
所以平面的一个法向量为．
所以，
所以，又因为平面，
所以．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑