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2.1.1等式的性质与方程的解集
基础巩固
1.等式的基本性质
（1）等式的两边同时加上(减去)_______数或代数式，等式仍成立；
（2）等式的两边同时乘以(除以)同一个_______的数或代数式，等式仍成立．
整理如下：
（1）如果a＝b，那么b＝a.
（2）如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
（3）如果a＝b，那么a±c＝b±c.
（4）如果a＝b，那么ac ＝ bc.
（5）如果a＝b，c≠0，那么＝.
2.恒等式
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取_______时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边_______．
3.十字相乘法
对任意的x，a，b，都有(x+a)(x+b)=______________.
可以利用这个恒等式来进行因式分解．给定式子x2＋Cx+D，如果能找到a和b，使得D =ab且C = a+b，则x2＋Cx+D=(x+a)(x+b).
为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用右图来表示∶其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”.
4.方程的解集
方程：含有_______的等式叫方程.
方程的解（或根）：能使方程左右两边_______的未知数的值叫方程的解.
方程的解集：把一个方程所有解组成的_______称为这个方程的解集.
解方程：求方程的解的过程叫解方程.
回归教材
1.求下列方程的解集：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
2.利用十字相乘法分解因式：
（1）；
（2）.
3.求方程的解集.
4.求证：对任意的x，a，b，都有.
5.已知“任意t和s，都有”是真命题，借助这个结论将进行因式分解.
6.将展开，并由此得到的展开式.
7.将展开，并由此得到的展开式.
8.利用十字相乘法分解因式：
（1）；
（2）.
9.求关于x的方程的解集，其中a是常数.
10.已知集合，，若，求实数a的值.
提升训练
1.已知关于x的方程的解集是，则___________.
2.将下列各式分解因式：
（1）_________；
（2）_________；
（3）_________；
（4）_________.
3.定义二阶行列式为，且.若，则其解集为___________.
4.已知，求的值.
5.已知关于x的方程的两根之和为3，两根之积为2，求b，c的值.
6.求方程的解集.
7.判定集合和之间的关系.
8.下列等式中，哪些是恒等式？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
9.已知，方程有一个根是，求的值.
10.求下列方程的解集：
（1）；
（2）.
答案及解析
一、基础巩固
1.（1）同一个
（2）不为零
2.任意实数 恒等
3.x2+(a+b)x+ab
4.未知数 相等 集合
二、回归教材
1.答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1）移项，得，
合并同类项，得，系数化为1，得，
所以原方程的解集为；
（2）去分母，得，
去括号，移项，得，
合并同类项，得，系数化为1，得，
所以原方程的解集为；
（3）原方程化为，解得，
所以原方程的解集为；
（4），原方程化为，
解得或，
所以原方程的解集为.
2.答案：（1）
（2）
解析：
3.答案：
解析：由，解得或或或，
所以方程的解集为.
4.答案：证明见解析
解析：右边，
所以右边=左边，
即证对任意的x，a，b，都有成立.
5.答案：
解析：由题意可知，.
6.答案：
解析：
；
用代替上式中的b，得.
7.答案：
解析：
.
用代替上式中的b，代替上式中的c，
得.
8.答案：（1）
（2）
解析：（1），，
.
（2），，
.
9.答案：当时，方程的解集为；当时，方程的解集为
解析：原方程化为，
当，即时，此时方程的群为；
当，即时，此时方程无解.
综上：当时，方程的解集为；当时，方程的解集为.
10.答案：0，，1
解析：显然集合，对于集合.
当时，，满足；
当时，集合，而，则或，得或.
综上：实数a的值为0，，1.
三、提升训练
1.答案：3
解析：把代入方程，得，解得，所以.
2.答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1）因为，，
所以.
（2）因为，，，
所以.
（3）因为，，
所以.
（4）方法一：因为，，，
所以.
方法二：
，
因为，，，
所以原式.
3.答案：
解析：由题意得，整理得，所以0，解得或.
4.答案：24
解析：，
.
5.答案：
解析：由题意知
6.答案：
解析：，
所以方程的解集为.
7.答案：
解析：，，.
8.答案：（1）（2）（4）
解析：（1）满足加法交换律，故（1）正确；
（2）满足加法结合律，故（2）正确；
（3），故（3）错误；
（4）利用平方差公式可得正确，故（4）正确.
综上所述，（1）（2）（4）是恒等式.
9.答案：
解析：由题意知，
.
，
，.
10.答案：（1）
（2）
解析：（1）令，则，则，
，或.
由得，；
由得.
方程的解集为.
（2），，
或.
由得，
或.
方程的解集为.

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