资源简介

1.1.2集合的基本关系
基础巩固
1.子集
（1）定义：如果集合的________元素都是集合的元素，
那么集合称为集合的________.
记作：________（或________），
读作：________（或________）.
如果不是的子集，记作________（________），读作________（________）.
（2）性质
①任意一个集合都是它本身的________，即________.
②传递性：集合，如果，，那么________.
③规定：是________的子集，记作________.
2.真子集
（1）定义：如果集合是集合的________，并且中________________，
那么集合为集合的________.记作：________，读作：________.
（2）性质
①传递性：对于集合，如果,，则________.
②规定：是________的真子集，记作________.
3.维恩图：用平面上一条________的内部来表示集合.
4.集合相等和子集的关系
①如果且，则________.
②如果，则________________.
回归教材
回归教材
1.用“”“”“”“”或“=”填空：
（1）5__________；
（2）__________；
（3）__________；
（4）__________.
2.用“”或“”填空：
（1）Z__________N；
（2）Z__________Q；
（3）Q__________N；
（4）R__________Q.
3.用“”“”或“=”填空：
（1）__________；
（2）__________；
（3）__________；
（4）__________.
4.写出集合的所有子集.
5.用列举法表示集合和，并说明它们之间的关系.
6.已知集合A满足，用列举法写出所有可能的A.
7.已知，求实数a的取值范围.
8.已知，.分别列出这两个集合中最小的3个元素，并证明.
提升训练
1.设集合，.若，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，若，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中正确的个数为( )
A.6个 B.5个 C.4个 D.少于4个
4.设集合，，若，则( )
A.2 B.1 C. D.
5.对于集合A，B，“”不成立的含义是( )
A.B是A的子集 B.A中的元素都不是B的元素
C.A中至少有一个元素不属于B D.B中至少有一个元素不属于A
6.（多选）已知集合，，下列结论正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则a可以取3
7.（多选）下列选项中正确的是( )
A.{质数奇数}
B.集合与集合没有相同的子集
C.任何集合都有子集，但不一定有真子集
D.若，，则
8.满足的集合A的个数是__________.
9.判断下列两个集合间的关系：
（1）若，是8的正约数}，则A_________B；
（2）若，，则A_________B；
（3）若是4与10的公倍数，，，则A_________B.
10.已知集合，.
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若，求实数a的取值范围.
答案及解析
一、基础巩固
1.（1）任意一个 子集 A B B A A包含于B B包含A
A B B A A不包含于B B不包含A
（2）子集 A A A C 任意一个集合A A
2（1）子集 至少有一个元素不属于
真子集 A B A真包含于B
（2）A C 非空集合 A
3.封闭曲线
4.A＝B A B且B A.
二、回归教材
1.答案：（1）
（2）
（3）=
（4）
解析：（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
故答案为：；；=；.
2.答案：（1）
（2）
（3）
（4）
3.答案：（1）
（2）
（3）
（4）=
解析：（1）如图，
；
（2）如图，
；
（3）如图，
；
（4）如图，
.
故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）=.
4.答案：见解析
解析：集合的所有子集有：，，，，，，，，，，，，，，，.
5.答案：，；
解析：因为，，
，而且集合B中的所有元素都在集合A中，所以.
6.答案：，，，，，，
解析：集合A满足，
，
因此集合A可以是：，，，，，，.
7.答案：
解析：因为在区间内的实数一定都在区间内，画出数轴，如图，
由图知.
8.答案：证明见解析
解析：集合A中最小的3个元素为0，2，4；
集合B中最小的3个元素为0，4，8.
证明：，且时，，
被4整除的数一定被2整除，
集合B中的元素一定在集合A中，故.
又，，.
三、提升训练
1.答案：A
解析：将集合在数轴上表示出来，如图所示.因为，，所以.
2.答案：D
解析：因为集合，，且，
可得，所以实数m的取值范围是.
故选：D.
3.答案：C
解析：根据集合自身是自身的子集，可知①正确；
根据集合无序性可知②正确；
根据元素与集合只有属于与不属于关系可知③不正确；
根据元素与集合之间的关系可知，④正确；
根据空集是任何集合的子集可知，⑤不正确，⑥正确.
故选：C.
4.答案：B
解析：由题意知.当时，即，此时，，，不符合题意.当时，即，此时，，满足，所以，故选B.
5.答案：C
解析：“”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，不成立的含义是集合A中至少有一个元素不属于集合B.故选C.
6.答案：AC
解析：对于AB，若，则任意实数x均满足，
因此，A正确，B错误；
对于CD，由，得，解得，C正确，D错误.
故选：AC.
7.答案：CD
解析：A.2是质数，但是它不是奇数，所以{质数奇数}错误，所以A错误；B.集合与集合有相同的子集，所以B错误；C.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以C正确；D.若，，则，所以D正确.故选CD.
8.答案：3
解析：，，故集合A是集合的非空子集，所以集合A的个数为.
9.答案：（1）
（2）
（3）=
解析：（1），是8的正约数，集合A中元素均为B中的元素，故.
（2），是6的倍数，一定是3的倍数，但是3的倍数不一定是6的倍数，故.
（3）是4与10的公倍数，，，所以.
10.答案：（1）
（2）
解析：（1）当，即时，，满足；
当，即或时，若，
则解得.
综上，实数a的取值范围是.
（2），
解得.
综上，实数a的取值范围为.

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