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章末综合测评(一)　集合与常用逻辑用语
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列关系式正确的是(　　)
A．∈Q 　 B．－1∈N
C．Z N 　 D．Q R
2．已知集合U＝{－1，0，1，2，3}，A＝{x|－1＜x＜3，x∈N}，则 UA＝(　　)
A．{－1，3} 　 B．{1，2}
C．{－1，0，3} 　 D．{0，1，2}
3．若A＝{a2，a＋1，0}，B＝{2a，1}，满足A∪B＝A，则a＝(　　)
A．0 　 B．±1
C．1 　 D．－1
4．下列命题中既是全称量词命题，又是真命题的是(　　)
A．菱形的四条边都相等
B． x∈N，使2x为偶数
C． x∈R，x2＋2x＋1>0
D．π是无理数
5．(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x＋1|>1；命题q： x>0，x3＝x．则(　　)
A．p和q都是真命题
B． p和q都是真命题
C．p和 q都是真命题
D． p和 q都是真命题
6．(2023·天津卷)已知a，b∈R，则“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
7．(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则 U(M∪N)＝(　　)
A．{x|x＝3k，k∈Z} 　 B．{x|x＝3k－1，k∈Z}
C．{x|x＝3k－2，k∈Z} 　 D．
8．已知集合A＝{x|ax＋2≤0，a＞0}，B＝{x|x≤－3，或x＞1}，且x∈A是x∈B的充分条件，则a的最大值为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知全集U，则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A．A∩( UB) 　 B．B∩( UA)
C． A(A∩B) 　 D．A∩(A∪B)
10．下列命题中，正确的是(　　)
A．“a＜b＜0”是“＞”的充分不必要条件
B．“－2≤λ≤3”是“－1≤λ≤3”的必要不充分条件
C．“x2≠y2”是“x≠y”的充要条件
D．“x∈(A∪B)∩C”是“x∈(A∩B)∪C”的必要不充分条件
11．设集合A＝{x|x＝m＋n，m，n∈N*}，若x1∈A，x2∈A，x1 x2∈A，则运算 可能是(　　)
A．加法 　 B．减法
C．乘法 　 D．除法
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．命题p： x≥0，x2－x<1的否定为__________．
13．定义集合运算：A*B＝{x|x∈A且x B}，若集合A＝{1，3，4，6}，B＝{2，4，5，6}，则集合A*B的子集个数为________．
14．学校举办运动会时，高一(1)班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳一项比赛的有________人，只参加田径一项比赛的有________人．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)如果集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0}至多有一个元素，求实数a的取值范围．
16．(本小题满分15分)已知集合A＝{x|－1≤x<4}，B＝{x|x－a<0}．
(1)当a＝2时，求A∩B；
(2)若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
17．(本小题满分15分)已知命题p：关于x的方程x2＋4x＋m＝0(m＞0)有两个不相等的实数根．
(1)若p是真命题，求实数m的取值集合A；
(2)在(1)的条件下，集合B＝{m|2a－1＜m＜a＋1}，若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围．
18．(本小题满分17分)(教材P23习题1.4T6改编)在△ABC中，a，b，c为三角形的三边．
(1)我们知道，△ABC为直角三角形的充要条件是存在一条边的平方等于另两边的平方和．类似地，试用三边的关系分别给出△ABC为锐角三角形的充要条件以及△ABC为钝角三角形的充要条件；(不需证明)
(2)由(1)知，若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形．试探究当三边a，b，c满足an＋bn＝cn(n∈N，n＞2)时三角形的形状，并加以证明．
19．(本小题满分17分)已知集合A为非空数集，定义A＋＝{x|x＝a＋b，a，b∈A}，A－＝{x|x＝|a－b|，a，b∈A}．
(1)若集合A＝{－1，1}，直接写出集合A＋及A－；
(2)若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1章末综合测评(一)
1．D　[对于A，是无理数，故A错误；对于B，－1不是自然数，故B错误；对于C，整数不都是自然数，如－1是整数但不是自然数，故C错误；对于D，有理数都属于实数，故D正确．故选D．]
2．A　[因为A＝{x|－13．C　[由集合A＝{a2，a＋1，0}，得a2≠0，且a＋1≠0，则a≠0且a≠－1，由A∪B＝A，得B A，又a＋1≠1且2a≠0，因此所以a＝1．故选C．]
4．A　[对于A，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题，且是真命题．
对于B， x∈N，使2x为偶数，是存在量词命题．
对于C， x∈R，x2＋2x＋1>0，是全称量词命题，当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，故是假命题．
对于D，π是无理数，是真命题，但不是全称量词命题．
故选A．]
5．B　[对于p而言，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题， p是真命题；对于q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题， q是假命题．综上， p和q都是真命题．故选B．]
6．B　[法一：若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以由a2＝b2a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab a2＝b2．所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B．
法二：因为“a2＝b2” “a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab” “a＝b”，所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B．]
7．A　[法一(列举法)：因为M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以 U(M∪N)＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即 U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}，故选A．
法二(描述法)：集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A．]
8．A　[根据题意，若x∈A是x∈B的充分条件，则A B，而A＝{x|ax＋2≤0，a>0}＝x，则有－≤－3，解得a≤，即a的最大值为．故选A．]
9．AC　[依题意，图中阴影部分在集合A中，不在集合B中，因此该阴影部分表示的集合为A∩( UB)或 A(A∩B)，AC正确，BD错误．故选AC．]
10．AB　[对于A，由a11．AC　[由题意可设x1＝m1＋n1，x2＝m2＋n2，
其中m1，m2，n1，n2∈N*，
则x1＋x2＝(m1＋m2)＋(n1＋n2)，x1＋x2∈A，
所以加法满足条件，A正确；
x1－x2＝(m1－m2)＋(n1－n2)，
当n1＝n2时，x1－x2 A，
所以减法不满足条件，B错误；
x1x2＝m1m2＋3n1n2＋(m1n2＋m2n1)，x1x2∈A，
所以乘法满足条件，C正确；
，
当＝λ(λ>0)时， A，
所以除法不满足条件，D错误．故选AC．]
12． x≥0，x2－x≥1　[根据存在量词命题的否定为全称量词命题知，命题p： x≥0，x2－x<1的否定为 x≥0，x2－x≥1．]
13．4　[集合A＝{1，3，4，6}，B＝{2，4，5，6}，由A*B的定义可得，A*B＝{1，3}，所以子集有 ，{1}，{3}，{1，3}，共4个．]
14．9　2　[如图所示：
设U＝{参加比赛的学生}，A＝{参加游泳比赛的学生}，B＝{参加田径比赛的学生}，C＝{参加球类比赛的学生}，依题意，U＝A∪B∪C，n(U)＝28，n(A)＝15，n(B)＝8，n(C)＝14，n(A∩B)＝3，n(A∩C)＝3，n(A∩B∩C)＝0，由容斥原理得28＝15＋8＋14－3－3－n(B∩C)，解得n(B∩C)＝3，所以只参加游泳比赛的人数为n(A)－n(A∩B)－n(A∩C)＝15－3－3＝9，只参加田径比赛的人数为n(B)－n(A∩B)－n(B∩C)＝8－3－3＝2．]
15．解：若a＝0，此时A＝ ，符合题意；
若a≠0，要使集合至多有一个元素，则Δ＝a2－4a≤0，由二次函数y＝a2－4a的图象(图略)知，016．解：(1)当a＝2时，A＝{x|－1≤x<4}，B＝{x|x<2}，
所以A∩B＝{x|－1≤x<2}．
(2)因为A∪B＝B，所以A B，
所以a≥4，所以实数a的取值范围为{a|a≥4}．
17．解：(1)若p是真命题，则
解得0(2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以B A，
当B＝ 时，由2a－1≥a＋1，解得a≥2，此时B A，符合题意；
当B≠ 时，则有≤a<2，
综上所述，实数a的取值范围为．
18．解：(1)△ABC为锐角三角形的充要条件是：任意两边的平方和大于第三边的平方．
△ABC为钝角三角形的充要条件是：存在一条边的平方大于另两边的平方和．
(2)∵an＋bn＝cn(n∈N，n>2)，∴c为△ABC的最大边，∴0∴an＝a2·an-2∴cn＝an＋bn∴c2综上，当an＋bn＝cn(n∈N，n>2)时，三角形一定是锐角三角形．
19．解：(1)根据题意，由A＝{－1，1}，
则A+＝{－2，0，2}，A-＝{0，2}．
(2)证明：由于集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1所以A-中也只包含四个元素，
即A-＝{0，x2－x1，x3－x1，x4－x1}，
剩下的x3－x2＝x4－x3＝x2－x1，
所以x1＋x4＝x2＋x3．
[点评]　本题是新定义题，求解的关键是分析新定义的特点，结合A+、A-的定义及集合相等的条件解题．
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