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1.2.1空间中的点、直线与空间向量
基础巩固
1.空间中点的向量表示：在空间中，在空间中指定一点 O ，那么空间中任意一点 的位置，都可以由向量 唯一确定， 通常称为点 的 .
2.空间中直线的方向向量：一般地，如果 是空间中的一条直线，是空间中的一个非零向量，且表示的有向线段所在的直线与平行或重合，则称 为直线的一个 .此时，也称向量与直线 ，记作 .
3.如果 是直线 的一个方向向量， 是直线 的一个方向向量，则
，或 ．
4. ．
5.一般地，如果 与 是空间中两条异面直线， ， .则称 为 与 的 ，空间中任意两条异面直线的公垂线段都 .
两条异面直线的公垂线段的长，称为 .
拔高提升
1.若直线经过点和点，则该直线的方向向量可以是( )
A. B. C. D.
2.已知两条异面直线的方向向量分别是，，这两条异面直线所成的角为( )
A. B. C. D.
3.正方体中，E为中点，则直线，所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4.经过，两点的直线的方向向量为，则m的值为( )
A.8 B.-8 C.-2 D.2
5.已知向量，都是直线l的方向向量，则x的值是( )
A.或1 B. C. D.1
6.已知直线经过两点，，则直线的一个方向向量是( )
A. B. C. D.
7.已知直线l的一个方向向量，且直线l过和两点，则( )
A.0 B.1 C. D.3
8.（多选）在平行六面体中，若所在直线的方向向量为，则所在直线的方向向量可能为( )
A. B. C. D.
9.（多选）若，是直线l上的两点，则直线l的一个方向向量v的坐标可以是( )
A. B. C. D.
10.已知两条空间直线a，b的夹角为，a，b分别为直线a，b的方向向量，则__________.
思维拓展
11.在空间直角坐标系中，直线，的方向向量分别为，，则( )
A. B. C.与异面 D.与相交
12.正方体中，点M，N分别为正方形及的中心，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.0 B. C. D.
13.直三棱柱中，，，则与所成角为( )
A. B. C. D.
14.已知向量，分别是直线，的方向向量，若，则下列几组解中可能正确的是( )
A.， B.， C.， D.，
15.正三棱锥的侧棱两两垂直，D，E分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
16.如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线AC与所成角大小为( )
A. B. C. D.
17.（多选）如图，在正方体中，E为棱上不与，C重合的任意一点，则能作为直线的方向向量的是( )
A. B. C. D.
18.若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于________.
19.已知直线l的一个方向向量，且直线l过和两点，则________.
20.直三棱柱中，若，，则异面直线与所成角的余弦值为______________.
答案及解析
基础巩固
1. 位置向量
2.方向向量 平行 .
3. 与重合
4.
5.公垂线段 存在并且唯一 这两条异面直线之间的距离
二、拔高提升
1.答案：A
解析：由于直线经过点和点，故直线的方向向量与向量平行的向量，
故选：A
2.答案：A
解析：两条异面直线的方向向量分别是，，
，
这两条异面直线所成的角满足，
这两条异面直线所成的角为.
故选：A.
3.答案：B
解析：如图，以D为坐标原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则，，，，
可得，，则
所以直线，所成角的余弦值为.
故选：B.
4.答案：C
解析：由已知，
由题知，解得.
故选：C.
5.答案：B
解析：依题意，向量，共线，则，
所以.
故选：B.
6.答案：C
解析：因为，
所以，因为，
所以与共线，
故直线l的一个方向向量是.
故选：C
7.答案：D
解析：，，，直线l的一个方向向量为，故设，，解得，，，故选D.
8.答案：BC
解析：由已知可得，故它们的方向向量共线，
对于B选项，，满足题意；
对于C选项，，满足题意；
由于A、D选项不满足题意.
故选：BC.
9.答案：AC
解析：由题意得，，结合选项知A，C正确，B，D错误.
10.答案：或
解析：由空间中两条直线所成的角与其方向向量的夹角的关系可知，或.
思维拓展
11.答案：A
解析：由，
故，
所以.
故选：A
12.答案：C
解析：如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，
则，，，，
故，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：C.
13.答案：C
解析：根据题意，以A为原点，以为x轴，以为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，令，
则，，，，所以，，
设与所成角为，则，所以与所成角为.
故选：C.
14.答案：C
解析：由题意知，，即，代入各选项中的值计算，只有C选项满足，
故选：C.
15.答案：D
解析：设，以A为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，则.从而异面直线与所成角的余弦值为.
故选：D.
16.答案：A
解析:在直三棱柱中，平面ABC，且，
以点C为坐标原点，CA，CB，所在直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，，，，所以，，，
所以，，则，所以，异面直线AC与所成角为.
故选：A.
17.答案：ABD
解析：因为，所以，，都可作为直线的方向向量.
故选：ABD.
18.答案：/0.4
解析：由，，得，
，，
设异面直线与的所成的角为，
则.
所以异面直线与的夹角的余弦值为.
19.答案：0
解析：由和，有
又，直线l的一个方向向量为
可设
有，解得
故答案为：0
20.答案：
解析：因为在直三棱柱中，，
所以，，两两互相垂直，故建立如图所示空间直角坐标系，
因为，设，
所以，，，
所以，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.

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