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1.2.2空间中的平面与空间向量
基础巩固
1.空间中平面的法向量：如果 是空间中的一个平面， 是空间中的一个非零向量，且表示 的有向线段所在的直线与平面 垂直，则称 为平面 的一个 ．此时，也称 与平面 ，记作 ．
2.空间中直线与平面的关系：如果 是直线 的一个方向向量， 是平面 的一个法向量，当 时， 与 ；当 时， 与 ，或者 ．
3.空间中平面与平面的关系：如果 是平面 的一个法向量， 是平面 的一个法向量，当 时， 与 ；当 时， 与 ，或者 ．
4.三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线 ．
5.三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影 ．
拔高提升
1.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线l与平面的所成的角等于( )
A. B. C. D.以上均错
2.平面经过三点，，，则平面的法向量可以是( )
A. B. C. D.
3.已知点、、在平面内，则下列向量为平面的法向量的是( )
A. B.
C. D.
4.已知向量，，则平面的一个法向量( )
A. B. C. D.
5.已知，，，若平面的一个法向量为，则( )
A. B. C. D.
6.若是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是( )
A.（0，-3，1） B.（2，0，1） C.（-2，-3，1） D.（-2，3，-1）
7.已知平面的一个法向量是，，则下列向量可作为平面的一个法向量的是( )
A. B. C. D.
8.若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是( )
A.， B.，
C.， D.，
9.已知向量与是平面的两个法向量，则__________.
10.平面上三个点，，，写出平面的一个法向量为________.
思维拓展
11.若是平面a的一个法向量，且，与平面a都平行，则向量( )
A. B.
C. D.
12.若向量是直线l的一个方向向量，是平面的一个法向量，则直线l与平面的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.直线l在平面内 D.相交但不垂直
13.若直线l的方向向量为b，平面的法向量为n，则可能使的是( )
A.， B.，
C.， D.，
14.已知直线l的方向向量是，平面的法向量是，则l与的位置关系是( )
A. B. C.或 D.l与相交但不垂直
15.已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则k等于( )
A.4 B. C.5 D.
16.（多选）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，则( )
A.平面的一个法向量为 B.平面的一个法向量为
C.平面的一个法向量为 D.平面的一个法向量为
17.（多选）已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为( )
A. B. C. D.
18.（多选）已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是( )
A. B. C. D.
19.已知直线与平面垂直，直线的一个方向向量为，向量与平面平行，则__________________.
20.已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，且，，.下列结论中正确的是__________.
①；
②；
③是平面ABCD的法向量；
④.
答案及解析
基础巩固
1.法向量 垂直
2.垂直 平行 在 内
3.垂直 平行 与 重合
4.垂直
5.垂直
二、拔高提升
1.答案：A
解析：因为直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于，
所以直线l与平面的所成的角为，
故选：A.
2.答案：D
解析：设平面的法向量为，
对于A选项，，故A选项错误.
对于B选项，，故B选项错误.
对于C选项，，故C选项错误.
对于D选项，由于，，故D选项符合题意.
所以本题选：D.
3.答案：B
解析：设平面的法向量为，由题意可得，，
则，取，可得，
故选：B.
4.答案：A
解析：设平面的一个法向量为，
则，即，即，
所以满足上述条件的只有A符合.
故选：A.
5.答案：C
解析：由，，得：
，，
面的一个法向量为，
所以，，
即，，解得，，所以，
故选：C.
6.答案：D
解析：与向量n平行的非零向量都是平面的法向量，故选D.
7.答案：D
解析：因为，所以的法向量与的法向量平行，又，所以选D.
8.答案：B
解析：要使，则，
A.，B. ，C.，D..
故选：B
9.答案：2
解析：由题意知，解得(舍去)或.
10.答案：(答案不唯一)
解析：由，，，则，，
设平面的法向量为，则由，可取.
故答案为：.
思维拓展
11.答案：D
解析：由题意， 知，，
即，解得，所以
12.答案：D
解析：，故直线l与平面不平行；若，则，无解，故直线l与平面不垂直.故选D.
13.答案：D
解析：直线l的方向向量为b，平面的法向量为n，若可能有，则，即.
A选项，，不符合题意；B选项，，不符合题意；
C选项，，不符合题意；D选项，，符合题意.故选D.
14.答案：C
解析：直线的方向向量是，平面的法向量是，，，l与的位置关系为或.
15.答案：D
解析：平面的法向量为，平面的法向量为，且，
，，解得.
16.答案：AC
解析：由题意，知，，，，，，.，平面，故A正确；
，且，不是平面的法向量，故B不正确；
，，，，又，是平面的一个法向量，故C正确；
，且，不是平面的法向量，故D不正确.
17.答案：AD
解析：设平面的法向量可能为，则由题意可得，
对于A选项，，满足题意；
对于B选项，设，无解，所以不符合题意；
对于C选项，设，无解，所以不符合题意；
对于D选项，，满足题意．
故选：AD．
18.答案：ACD
解析：选项A，由题设，故A正确；
选项B，由题设，或，故B错误；
选项C，由题设，故C正确；
选项D，由题设，故D正确.
故选：ACD.
19.答案：3
解析：由已知平面的法向量为.与平面平行，，解得.
20.答案：①②③
解析：，，，，①②正确.
又与不平行，是平面ABCD的法向量，③正确.
，，与不平行，④错误.

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