资源简介

1.1.2空间向量基本定理
基础巩固
1.空间向量基本定理：如果空间中的三个向量a，b，c ，那么对空间中的任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组 ，使得.
2.基底和基向量：如果三个向量a，b，c不共面，则它们的线性组合能生成所有的空间向量，因此，空间中不共面的三个向量a，b，c组成空间向量的一组 ，记为 ，a，b，c都叫做 .
3.共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对 ，使 .
4.由共面向量定理可得判断空间中四点是否共面的方法：如果 ， 三点不共线，则点 在平面 内的充要条件是，存在唯一的实数对 ，使 .
拔高提
1.如图，在平行六面体中，M为与交点．若，，则下列向量中与相等的向量是( )
A. B.
C. D.
2.在四面体中，，，设，，，则( )
A. B.
C. D.
3.已知，下列可使非零向量，，组成的集合成为空间的一组基底的条件是( )
A. B.，，两两垂直
C. D.
4.在正方体中，P为的中点，则( )
A. B.
C. D.
5.在三棱锥中，E是棱的中点，且，则( )
A. B.
C. D.
6.四面体中，，，，，，则( )
A. B.
C. D.
7.已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于( )
A. B.
C. D.
8.若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数___________.
9.在平行六面体中，，，，点P在上，且，用，，表示，则________________.
10.已知四面体是棱AB的中点，设，，，则________(用向量，，表示).
思维拓展
11.若是空间的一个基底，且向量，，则可以与m，n构成空间的另一个基底的向量是( )
A.a B.b C.c D.2a
12.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
13.已知正四面体的棱长为1，点M在上，且，点N为中点，则用基底表示为( )
A. B.
C. D.
14.若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
15.下列可使非零向量，，构成空间的一组基底的条件是( )
A.，，两两垂直
B.
C.
D.
16.（多选）在正方体中，能构成空间的一个基底的一组向量为( )
A.，，
B.，，
C.，，
D.，，
17.如图，已知E、F分别是四面体的棱、的中点，点G在线段上，且，设向量，，，则____.（用表示）
18.已知是空间五点，且任何三点不共线.若与均不能构成空间的一个基底，则下列结论：
①不能构成空间的一个基底；②不能构成空间的一个基底；③不能构成空间的一个基底；④能构成空间的一个基底.
其中正确的有_________个.
19.在四棱锥P ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，，，，，试用基底表示向量________.
20.在正四面体ABCD中，O为的重心，记，，若，，则______.(用，，表示)
答案及解析
基础巩固
1.不共面
2.基底 基向量
3.
4.
二、拔高提升
1.答案：A
解析：.
故选：A.
2.答案：A
解析：.
故选：A
3.答案：B
解析：由基底定义可知只有非零向量，，不共面时才能构成空间中的一组基底.
对于A，，则，共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以与，共面，故A错误；
对于B，因为非零向量，，两两垂直，所以非零向量，，不共面，可构成空间的一组基底，故B正确；
对于C，由共面定理可知非零向量，，共面，故C错误；
对于D，，即，故由共面定理可知非零向量，，共面，故D错误.
故选：B.
4.答案：B
解析：.
故选：B
5.答案：D
解析：因为E是棱的中点，，
所以
.
故选：D.
6.答案：A
解析：.
故选：A.
7.答案：D
解析：因为，，，
所以.
故选：D.
8.答案：-1
解析：由，，不能构成空间的一个基底，
则存在，使得，
即，
所以，
解得.
故答案为：-1.
9.答案：
解析：在平行六面体中，点在上，且，
所以，
故答案为：.
10.答案：
解析:由于D是棱AB的中点，
所以.
故答案为：
思维拓展
11.答案：C
解析：由题意知，a，b，c不共面，对于A，，故a，m，n共面，排除A；
对于B，，故b，m，n共面，排除B；
对于C，易知c，m，n不共面，故可以构成空间的另一个基底，C正确；
对于D，由A得，，故2a，m，n共面，排除D.
故选：C.
12.答案：D
解析：对于A，因为，
所以，，共面；
对于B，因为，
所以，，共面；
对于C，因为，
所以，，共面；
对于D，假设三个向量共面，则存在实数x，y，
使得成立，
则方程组无解，
所以，，不共面；
故选：D
13.答案：C
解析：如下图所示：
因为N为的中点，则，所以，，则，
因此，.
故选：C.
14.答案：D
解析：因为，
所以，，共面；
因为，
所以，，共面；
因为，
所以，，共面；
因为不存在x，y，使得，
所以，，不共面，所以可以作为基底.
故选：D.
15.答案：A
解析：由基底定义可知只有非零向量，，不共面时才能构成空间中的一组基底.
对于A，因为非零向量，，两两垂直，
所以非零向量，，不共面，可构成空间的一组基底，故A正确；
对于B，，则，共线，
由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，
所以与，共面，故B错误；
对于C，由共面定理可知非零向量，，共面，故C错误；
对于D，
即，故由共面定理可知非零向量，，共面，故D错误.
故选：A.
16.答案：AC
解析：空间的一组向量可以成为基底的充分必要条件是这组向量不共面.选项A中，直线，所在的平面是，而与平面相交，所以，，不共面，故这组向量可以成为基底，A正确；选项B中，，，满足，所以这三个向量共面，这组向量不可以成为基底，B错误；选项C中，直线，所在的平面是，而与平面相交，所以，，不共面，这组向量可以成为基底，C正确；选项D中，因为，所以，，共面，这组向量不可以成为基底，D错误.
故选：AC.
17.答案：.
解析：因为E、F分别是棱、的中点，且，
所以
.
故答案为：.
18.答案：3
解析：由题意知空间五点共面，故①②③正确，④错误.
19.答案：
解析：因为，所以，
又，
所以
故答案为：
20.答案：
解析：如图，，，O为的重心，
.
故答案为：.

展开更多......

收起↑