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1.1.1空间向量及其运算（课时2）
基础巩固
1.空间向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，令，，则叫做向量a，b的夹角，记作 .
若，则向量a，b ，记作.
2.已知两个非零向量a，b，则 叫做a，b的数量积，记作 ，即. 特别地，零向量与任意向量的数量积为 .
3. ； .
4.空间向量数量积的运算律：
（1） ，；
（2）（交换律）；
（3） （分配律）.
拔高提升
1.在棱长为2的正方体中，( )
A. B. C.2 D.4
2.三棱锥中，，，，则等于( )
A. B.2 C. D.
3.正方体的棱长为1，则( )
A.1 B.0 C. D.2
4.在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为( )
A. B. C. D.6
5.如图所示，平行六面体中，，，若线段，则( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
6.棱长为1的正四面体中，则等于( )
A.0 B. C. D.
7.已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
8.已知正四面体的各棱长为1，点E是的中点，则的值为( )
A. B. C. D.
9.（多选）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有( )
A. B. C. D.
10.如图，平行六面体中，，，，，则的长为____________.
思维拓展
11.在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是棱BC，AD的中点，则( )
A.0 B. C.2 D.
12.已知正四面体的棱长为2，E为中点，F为中点，则( )
A. B.1 C. D.2
13.设正四面体的棱长为a，E，F分别是，的中点，则的值为( )
A. B. C. D.
14.如图，已知四面体的棱长都是2，点M为棱的中点，则的值为( )
A.1 B. C. D.2
15.在平行六面体中，，，，，，则( )
A.1 B.2 C.3 D.
16.已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱，的中点，则( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
17.（多选）如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于的是( )
A. B.
C. D.
18.在棱长为6的正四面体中，点M在OA上，且，则_________.
19.已知向量、的夹角的余弦值为，，，则________.
20.在三棱锥中，，，，则________.
答案及解析
基础巩固
1. 互相垂直
2. 0
3.
4.
二、拔高提升
1.答案：D
解析：在棱长为2的正方体中，
易知，
因为，与的夹角为，
所以与的夹角为，
.
故选：D
2.答案：A
解析：，
3.答案：A
解析：，
故选：A
4.答案：C
解析：因为，
所以
，
从而，即的长为.
故选：C.
5.答案：C
解析：，
又，，，，
，
故选：C.
6.答案：A
解析：.
故选：A.
7.答案：D
解析：设与的夹角为，由，得，两边同时平方得，所以1，解得，又，所以.
8.答案：A
解析：由题意，四面体是正四面体，每个面都是正三角形，
.
故选：A.
9.答案：BD
解析：对于A选项，向量不能作除法，A错;
对于B选项，，B对;
对于C选项，，C错;
对于D选项，，D对.
故选：BD.
10.答案：
解析：平行六面体中，，，，
，
如图，，则
.
.
故答案为：.
思维拓展
11.答案：B
解析：如图所示.
在棱长为2的正四面体ABCD中，因为E，F分别是棱BC，AD的中点，所以.
故选：B.
12.答案：A
解析：如图，因为E为中点，F为中点
所以，
因为正四面体的棱长为2，
所以
故选：A
13.答案：D
解析：如图所示，因为E，F分别为，的中点，可得，，
又因为四面体为正四面体，且棱长为a，
可得.
故选：D.
14.答案：B
解析：因为点M为棱的中点，
所以，
因为四面体的棱长都是2，
所以，
故选:B
15.答案：B
解析：如图所示：
因为六面体是平行六面体，
所以，
则
，
由，，，
，，设，
故有：
，
所以
，
得，
解得负值舍去
故
故选：B.
16.答案：D
解析：四面体的所有棱长均为2，
则向量，，不共面，两两夹角都为，
则，
因点E，F分别为棱，的中点，
则，，
，
所以.
故选：D
17.答案：AC
解析：在空间四边形中，，夹角为，
所以.故A正确；
，夹角为，
所以.故B错误；
因为点F，G分别是AD，DC的中点，
所以且，
所以，夹角为，
所以.故C正确；
因为点E，F分别是AB，AD的中点，
所以，所以，夹角为，
所以.故D错误.
故选：AC
18.答案：-12
解析：因为，
所以，
.
故答案为：-12
19.答案：
解析：根据数量积的定义与运算律计算可得.
因为向量、的夹角的余弦值为，，，
所以，
所以.
故答案为：
20.答案：/0.5
解析：
如图，因，，，
则.
故答案为：.

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