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2024-2025学年安徽省合肥市百花中学等四校高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为( )
A. B. C. D.
2.曲线在点处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
3.已知抛物线：的焦点为，是上一点，若，则等于( )
A. B. C. D.
4.现有名导游与位游客站成一排拍照，则导游不站在一起的排法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.若是函数的极值点，则的极小值为( )
A. B. C. D.
6.将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.的展开式中常数项为( )
A. B. C. D.
8.如图，一环形花坛分成，，，四块，现有种不同的花供选种，要求在每块里种种花，且相邻的块种不同的花，则不同的种法总数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中正确的是( )
A. 越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大
B. 该物理量在一次测量中大于的概率为
C. 该物理量在一次测量中小于与大于的概率相等
D. 该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等
10.南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，以此类推设从上到下各层球数构成一个数列，则( )
A. B.
C. D.
11.袋子中有个黑球，个白球，现从袋子中有放回地随机取球次，取到白球记分，黑球记分，记次取球的总分数为，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中所有项的系数和与二项式系数和分别为______，______．
13.从，，，，中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到的个数均为偶数”，则等于 ．
14.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则甲队以：获胜的概率是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的前项和为，，．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
若恒成立，求的取值范围．
17.本小题分
甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得分，负方得分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为，，，各项目的比赛结果相互独立．
求甲学校获得冠军的概率；
用表示乙学校的总得分，求的分布列与期望．
18.本小题分
已知椭圆：的离心率为，长轴长为．
求椭圆的方程；
过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点若的面积为，求．
19.本小题分
年月日，第十四届中国合肥国际园林博览会在合肥骆岗公园开幕本届园博会以“生态优先，百姓园博”为主题，共设有个省内展园、个省外展园和个国际展园，开园面方公里游客可通过乘坐观光车、骑自行车和步行三种方式游园．
若游客甲计划在个省内展园和个国际展园中随机选择个展园游玩，记甲参观省内展园的数量为，求的分布列及数学期望；
为更好地服务游客，主办方随机调查了名首次游园且只选择一种游园方式的游客，其选择的游园方式和游园结果的统计数据如下表：
游园方式
游园结果 观光车 自行车 步行
参观完所有展园
未参观完所有展园
用频率估计概率若游客乙首次游园，选择上述三种游园方式的一种，求游园结束时乙能参观完所有展园的概率．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.等差数列的前项和为，设公差为，
由，，可得，解得，
即；
由得，
可得是首项为，公比为的等比数列，
则．
16.解：．
当时，在上恒成立，
所以在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
的定义域为，
若恒成立，则恒成立，
即恒成立，
令，只需，
又，
令得，
所以当时，，单调递增，
时，，则单调递减，
所以在时取得极大值，也时最大值，
所以，
解得，
所以的取值范围是．
17.解：甲学校在三个项目中获胜的概率分别为，，，可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表：
第一场比赛 第二场比赛 第三场比赛
甲学校获胜概率
乙学校获胜概率
甲学校要获得冠军，需要在场比赛中至少获胜场，
甲学校场全胜，概率为：，
甲学校场获胜场败场，概率为：，
所以甲学校获得冠军的概率为：；
乙学校的总得分的可能取值为：，，，，其概率分别为：
，
，
，
，
则的分布列为：
的期望．
18.解：椭圆：中，，所以，
由，得，
所以，椭圆的方程为；
由题意知，直线的斜率存在且不为，设斜率为，则直线的方程为，
由，消去，整理得，
所以，解得或；
由，，
设直线交轴于点，则，
所以
，
解得，
所以．
19.解：由题，所有可能取值为，，，
所以，
，
，
则的分布列为：
故；
记“游客乙乘坐观光车游园”为事件，“游客乙骑自行车游园”为事件，“游客乙步行游园”为事件，“游园结束时，乙能参观完所有展园”为事件，
则由统计表可得，，，
，，，
由全概率公式可得，
所以乙能参观完所有展园的概率为．
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