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2024-2025学年辽宁省抚顺市四方高级中学高一（下）期末
数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1 2 . 是虚数单位，则 3 =( )
A. 1 12 2 B.
1 1 C. 1 + 1 1 12 2 2 2 D. 2+ 2
2 4 .已知扇形的弧长为 3，圆心角为 40°，则该扇形的半径为( )
A. 2 B. 3 C. 6 D. 8
3.下列叙述正确的是( )
A.以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
B.以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
C.以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆台
D.半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球
4.如图，扇形的半径为 1，圆心角∠ = 150°，点 在弧 上运动， = + ，则 3 的最小
值是( )
A. 0 B. 3 C. 2 D. 1
5.一组样本数据为 3，6，5，7，2，4，8，则( )
A.极差为 5 B.中位数是 7 C.平均数是 5 D.众数是 8
6.已知 tan( 1 1+ 4 2 ) = 2，则 cos =( )
A. 12 B. 2 C.
1 1
2 D. 2 或 2
7.圆锥的侧面积等于和它等高等底的圆柱的侧面积，则圆锥侧面展开图的圆心角为( )
A. 3 B. 2 3 C. 3 D. 2
8.设向量 ， 是非零向量，且| | = 2| |，向量 在向量 上的投影向量为 2 ，若( + ) ⊥ ( )，则实
数 的值为( )
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A. 12 B.
1 C. 23 3 D. 2
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数 满足(1 + ) = 3 + (其中 是虚数单位)，则( )
A. | | = 5
B. 的实部是 2
C. 的虚部是

D.复数 的共轭复数 在复平面内对应的点在第一象限
10.已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则如下判断正确的是( )
A.若sin2 + sin2 > sin2 ，则△ 是锐角三角形
B.若 2 = 2 ，则△ 为等腰三角形或直角三角形
C.在锐角△ 中，不等式 > 恒成立
D.若△ 1的面积 = 2 2 24 ( + )，则 =

4
11.设函数 ( ) = + ，其中 > > 0， > > 0.若 ， ， 是△ 的三条边长，则下列结论正
确的是( )
A.若 = ，则 ( )的零点均大于 1
B.若△ 为直角三角形，则对于 ∈ ， (2 ) ≥ 0 恒成立．
C. ∈ ，使 ， ， 不能构成一个三角形的三条边长
D. ∈ ( ∞,1]， ( ) < 0
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知向量 = (2,1), = (1, )，若( ) ⊥ ，则 = ______．
13.将函数 ( ) = 2 的图象向右平移6个单位长度，得到函数 = ( )

的图象，则 ( )在[0, 2 ]上的最小值
为______．
14 9 3.已知正四棱台的高为4，上、下底面边长分别为 2 和 2 3，若在它的内部有一个球，那么该球表面积的
最大值为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某校从高一年级学生中随机抽取 40 名，将他们的期中考试数学成绩(满分 100 分，所有成绩均为不低于 40
分的整数)分为 6 组：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，绘制出如图所示的频率分布直方图．
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(1)求出图中实数 的值；
(2)若该校高一年级共有学生 640 名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于 80 分的人数；
(3)若从成绩来自[40,50)和[90,100]两组的学生中随机选取两名学生：
(ⅰ)写出该试验的样本空间；
(ⅱ)求这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率．
16.(本小题 15 分)
在△ 中， = 4 3， = 4，∠ = 2 3， 为△ 内部(包含边界)的动点，且 = 1．
(1)求| + |；
(2)求 的取值范围．
(3)若 = + ，求 + 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
如图，在长方体 1 1 1 1中， = = 1， 1 = 2，点 为棱 1的中点．
(1)证明： 1//平面 ；
(2)求异面直线 1与 所成角的大小；
(3)求直线 1与平面 1 1所成角的正切值．
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18.(本小题 17 分)
记斜△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知( 2 + 2 2) = 32 ( + )，且 <
3
4 , = 3．
(1)求角 ；
(2) 2为边 的中点，若 = 2 ，求△ 的面积；
(3) ( )如图所示， 是△ 外一点，若∠ = ∠ = ，且∠ = 3，记△ 的周长为 ( )，求sin 的
取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知函数 = ( )的定义域为 ，现有下面两种对 = ( )变换的操作：
变换： = ( ) → = ( ) ( )，其中 > 0．
变换： = ( ) → = | ( + ) ( )|，其中 > 0．
(1)若 ( ) = 3 ， = 1，对 = ( )进行 变换后得到函数 = ( )，解方程 ( ) = 2．
(2)若 ( ) = 2，对 = ( )进行 变换后得到函数 = ( )，解不等式 ( ) ≥ ( )．
(3)若函数 = ( )在( ∞,0)上是严格增函数，对函数 = ( )先作 变换，再作 变换，得到函数 = 1( )，
对函数 = ( )先作 变换，再作 变换，得到函数 = 2( ).对任意 > 0，若 1( ) = 2( )恒成立，证明：
函数 = ( )在 上是严格增函数．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13. 32
14.4
15.(1)因为频率分布直方图中所有小矩形面积之和为 1，
可得(0.005 + 0.010 + 0.020 + + 0.025 + 0.010) × 10 = 1，解得 = 0.030．
(2)若该校高一年级共有学生 640 名，成绩不低于 80 分的频率为(0.025 + 0.01) × 10 = 0.35，
成绩不低于 80 分的人数为 640 × 0.35 = 224 人．
(3)(ⅰ)成绩来自[40,50)的学生人数为 40 × 0.05 = 2 人，记为 ， ，
成绩来自[90,100]的学生人数为 40 × 0.1 = 4 人呢，记为 ， ， ， ，
则从中随机选取两名学生的样本空间为： = { , , , , , , , , , , , , , , }，共 15 个
样本点，
(ⅱ)设 =“两名学生数学成绩至多有一名及格”，
则 = { , , , , , , , , }，其中含了 9 个样本点，
9 3
所以这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率 ( ) = 15 = 5．
16.解：(1)在△ 中，由余弦定理，
可得 2 = 2 + 2 2 ，即 48 = 2 + 16 + 4 ，
解得 = 4 或 = 8(舍)，
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所以|
2 2
+ |2 = + + 2 cos∠ = 16．
所以| + | = 4；
(2)以 为原点， 所在直线为 轴，
建立平面直角坐标系．
设∠ = (0 ≤ ≤ 23 )，则 点坐标为( , )，
由(1)知， = = 4，∠ = 2 3，
所以 点坐标为(4,0)， 点坐标为( 2,2 3)，
所以 = (4 , ), = ( 2 , 2 3 )，
所以 = 2 3 2 7 = 4 ( + 6 ) 7，
因为 0 ≤ ≤ 2 53 ，所以6 ≤ + 6 ≤ 6 ，
1 ≤ sin( + 所以2 6 ) ≤ 1，所以 11 ≤ ≤ 9，
所以 的取值范围是所以[ 11, 9]；
(3)根据题意 = + ，
则| |2 = | |2 2 + | |2 2 + 2 | || | cos∠ ，
1
化简可得( + )2 3 = 16，
因 为△ 内部(包含边界)的动点，所以 ≥ 0， ≥ 0，
+ 3
根据基本不等式 ≤ ( )22 ，可得 3 ≥ 4 ( + )
2，
当且仅当 = 时等号成立，
所以( + )2 3 2 1 14 ( + ) ≤ 16，解得( + ) ≤ 2，
当且仅当 = 时等号成立，
即最小值是 在 或 向量上取得，
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当 在 上时，可得 = 14 , = 0，
所以 + ∈ [ 1 , 14 2 ]．
17.(1)证明：设 ∩ = ，连接 ，
在△ 1中，点 为棱 1的中点， 为 的中点，所以 // 1，
因为 1 平面 ， 平面 ，所以 1//平面 ；
(2)解：由 // 1，可知∠ (或补角)为异面直线 1与 所成的角，
由题意得 = = = 1， ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，
所以 = = = 2，
因为 = ， 为等边三角形△ 的中线，
所以∠ = 6，可得异面直线 1与 所成的角为6；
(3)解：连接 1，
根据 1 1 ⊥平面 1 1，可得∠ 1 1为直线 1与平面 1 1所成的角，
在 △ 1 1中， 1 1 ⊥ 1， 2 21 1 = 1, 1 = 1 + 2 = 5，
所以 tan∠ 1 1 =
5，可得直线 1与平面 1 1所成的角的正切值为
5．
5 5
18.(1)由( 2 + 2 2) = 32 ( + )，
3
结合余弦定理，得 2 = 2 ( + ) =
3
2 ，
由三角形 为斜△ ，可得 ≠ 0，
3
可得 2 = 2 ，即 2 =
3
2 ，
∵ < 3 3 4 2 4，∴ 0 < 2 < 2，即 2 = 3， = 3．
(2) ∵ 为边 1的中点，得 = ( + 2 )，
可得
2
= 14 (
+ )2，
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1
即| |2 = 4 (|
|2 + 2 + | |2)，
由 = 22 , = 3
1 1
，得2 = 4 (
2 + 2 + 2)，
(1) = 2 1 = 1 ( 2 2 1由 可知 3，即
2
2 4 2 + )，
2 + 2 = 2，
2+ 2 2
由余弦定理得 = 2 cos
2 = 2+ 3 1 2+ 3 13 2 2 = 2 ，解得 = 2，
∴△ 1 1 1 3 3的面积为2 = 2 × 2 × 2 = 8 ；
(3) ∵ = 3，
∴ △ 3在 中，由正弦定理可得，sin = sin∠ = 3 = 2，即 = 2 ，
2
△ = 3在 中，由正弦定理可得，sin sin∠ = 3 = 2，即 = 2 ，
2
∵四边形 的内角和为 2 ，且∠ + ∠ = ，∠ = 2 ，
在△ 中，由余弦定理可得， 2 = 2 + 2 2 × × cos∠ = 4 2 + 4 2 2 × 2 ×
2 × cos( 2 )
= 8 2 (1 + 2 ) = 8 2 (1 + 2 2 1) = 8 2 × 2 2 = 16 2 2 ，
即 = 4 ，
∴ ( ) = + + = 2 + 2 + 4 = 4 + 4 ，
∴ ( ) = 4 +4 sin sin = 4 + 4 ，
在△ 中，0 < < 3，∴
1
2 < < 1，
∴ 6 < 4 + 4 < 8 ( )，故sin 的取值范围为(6,8)．
19.解：(1)由 ( ) = 3 ， = 1，对 = ( )进行 变换后，
得 = ( ) = ( ) ( 1) = 3 3 1 = 2 × 3 1 = 2，
即3 1 = 1，解得 = 0；
(2)由 ( ) = 2，对 = ( )进行 变换后得到函数 = ( ) = | ( + ) ( )|
= |( + )2 2| = |2 + 2|，
又 ( ) ≥ ( )，即 2 ≥ |2 + 2|， > 0，
则当 2 + 2 ≥ 0，即 ≥ 2 22时， ≥ 2 + ，
解得 ≤ (1 2) ≥ (1 + 2) 或 ，即 2 ≤ ≤ (1 2) 或 ≥ (1 + 2) ；
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当 2 + 2 < 0 ，即 < 2时，
2 ≥ 2 2，即( + )2 ≥ 0 ，不等式恒成立，即 < 2；
综上所述， 的范围为{ | ≤ (1 2) 或 ≥ ( 2 + 1) }；
(3)证明：由题意对函数 = ( )先作 变换可得 ( ) = ( ) ( )，
再作 变换，得到函数 1( ) = | ( + ) ( )| = |[ ( + ) ( )] [ ( ) ( )]|，
对函数 = ( )先作 变换可得 ( ) = | ( + ) ( )|，
再作 变换，得到函数 2( ) = | ( + ) ( )| | ( ) ( )|，
所以对任意 > 0，|[ ( + ) ( )] [ ( ) ( )]| = | ( + ) ( )| | ( ) ( )|，
当 < 0 时， < < 0，又函数 = ( )在( ∞,0)上是严格增函数，
则 ( ) < ( )，
由于| | = | | | |，可知 ≥ 0 且| | ≥ | |，若其中 > 0，则 ≥ > 0，
即当 ( ) ( ) > 0 时， ( + ) ( ) ≥ ( ) ( ) > 0，
任取 2 > 1，令 = 2 1，存在 ∈ ，使 2 < 0，
由函数 = ( )在( ∞,0)上是严格增函数，
可知 ( 2 ) ( 2 ( + 1) ) > 0，则 ( 2 ( 1) ) ( 2 ) > 0，
依此类推可得 ( 2) ( 2 ) = ( 2) ( 1) > 0，
即函数 = ( )在 上是严格增函数．
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