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2024-2025 学年湖北省十堰市郧阳二中高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { || | < 2}， = { 2, 1,0,1,2,3}，则 ∩ =( )
A. {0,1} B. {0,1,2} C. { 1,0,1} D. { 2, 1,0,1,2}
2.已知 > > 0， < < 0，则下列大小关系正确的是( )
A. > B. < C. > D. <
3.从 3 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，则所选 3 人中恰有 2 名男生的概率是( )
A. 18 3 9 3125 B. 10 C. 25 D. 5
4.下列函数中，是偶函数且在(0, + ∞)上为增函数的是( )
A. = 1 B. = C. =
| | D. = 1| |
2
5 .已知函数 ( ) = sin(2 6 )，则下列说法中正确的是( )
A. 函数 ( )的图象可由 = 2 的图象向右平移6个单位得到
B. 函数 ( )的图象关于直线 = 12对称
C.函数 ( )的图象关于点( 6 , 0)对称
D.函数 ( )在(0, )内有 2 个零点
6 2.若“ ∈ [1,3], + ≤ ”是真命题，则实数 的最小值为( )
A. 2 B. 2 2 C. 3 D. 113
7.在△ 中，若 2 + 2 2 > 1，则△ 的形状是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
8.已知函数 ( ) = 2 ， ( ) = 2 + 2，若存在 ∈ [0,3]，( = 1,2,3, , )，使得 ( 1) + ( 2) + … +
( 1) + ( ) = ( 1) + ( 2) + … + ( 1) + ( )，则 的最大值为( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
二、填空题：本题共 5 小题，共 25 分。
9 1.函数 ( ) = 1 + ln( + 1)的定义域是______．
10.已知{ }为等差数列， 为前 项和.若 10 为 3与 8的等差中项，则 10 = ______．
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11 1.在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，它们的终边关于原点对称.若 = 2，则 =
______．
12 ( ) = ( 2 )( + + 3), ≤ .已知函数 2 2, > ．
①当 = 1 时，若函数 ( ) = ( ) 有三个不同的零点，则实数 的一个取值为______；
②若函数 ( )在( ∞, )，( , + ∞)上都是增函数，则实数 的取值范围为______．
13.已知数列{ 2 }满足 1 = ，且 +1 = 2 + 4( = 1,2, )，给出下列四个结论：
①{ }可能为等比数列；
②若 = 3，则{ }为递减数列；
③{ }不可能为递增数列；
④存在实数 ，使得 ∈ ，都有 < 2．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题 14 分)
设等差数列{ }的公差为 ，前 项和为 ，等比数列{ }的公比为 .若 1 = 1， 5 = 25， 2 = 2， = ．
(1)求数列{ }，{ }的通项公式；
(2)求和： 1 + 3 + 5 + + 2 1．
15.(本小题 14 分)

某同学用“五点法”画函数 ( ) = ( + ), > 0, | | < 2 )在某一周期，内的图象时，列表并填入了
部分数据，如下表：

+ 0 3 2 2 2

7 8 8
( + ) 0 2 0 2 0
(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 ( )的解析式和单调递减区间；
(2)若函数 ( ) = ( ) 2 2 + 2 2 ，求函数 ( )在[0, 2 ]上的最小值．
16.(本小题 14 分)
近年来，中国机器人科技水平在政策支持、技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升，尤其在工
业机器人、服务机器人及特种机器人领域表现突出.国内某科技公司致力于服务机器人的发展与创新，近期
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公司生产了甲、乙、丙三款不同的智能送餐机器人，并对这三款机器人的送餐成功率进行了测试，获得数
据如下表：
甲款机器人 乙款机器人 丙款机器人
测试次数 50 100 100
成功次数 10 50 80
假设每款机器人的测试结果相互独立，用频率估计概率．
(1)估计甲款机器人单次送餐成功的概率；
(2)若让这三款机器人分别执行 1 次送餐任务，设成功的总次数为 ，估计 的数学期望 ( )；
(3)若让这三款机器人分别执行 10 次送餐任务，设成功的次数分别为 1， 2， 3，直接写出方差 1， 2，
3的大小关系．
17.(本小题 14 分)
在△ 中，( + ) = 12 ．
(1)求 ；
(2)若 = 7，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ 存在且唯一，求△
的面积．
条件①： = 8；
条件②： = 5；
11
条件③： = 14．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答
计分．
18.(本小题 14 分)
已知函数 ( ) = (2 ) 1 3 + 2．
(1)当 = 0， = 0 时，
( )求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
( )当 ≥ 0 时，求函数 ( )的最大值；
(2)若 = 3 是函数 ( )的极大值点，求实数 的取值范围．
19.(本小题 15 分)
已知集合 = { 1, 2, 3, , }( ≥ 2)，其中 ∈ ( = 1,2, , )，由 中的元素构成两个相应的集合： =
{( , )| ∈ ， ∈ ， + ∈ }， = {( , )| ∈ ， ∈ ， ∈ }，其中( , )是有序实对数，集合
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和 中的元素个数分别为 和 ，若对于任意的 ∈ ，总有 ，则称集合 具有性质 ．
( )检验集合{ 1,0,2,3}与{ 2,1,3}是否具有性质 并对其中具有性质 的集合，写出相应的集合 和 ；
(Ⅱ) ( 1)对任意具有性质 的集合 ，证明： ≤ 2 ；
(Ⅲ)判断 和 的大小关系，并证明你的结论．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.( 1,1) ∪ (1, + ∞)
10.100
11.± 32
12. 1(答案不唯一) ( ∞, 3]
13.①②④
14.(1)等比数列{ }的公比为 .若 1 = 1， 5 = 25， 2 = 2， = ．
= 1 = 5 × 1 + 5×4若 1 ，则 5 2 = 25，解得 = 2，
所以 = 1 + 2( 1) = 2 1；
= = 2， 2 = 2 1 = 2，所以 1 = 1，则 = 2 1；
(2)由(1) = 2 1，

所以 1 + 3 + 5 + + 2 1 = 1 + 22 + 24 + + 22 2 =
4 1
3 ．
15.(1)填表如下：
+ 0 3 2 2 2
3 5 7 9 8 8 8 8 8
( + ) 0 2 0 2 0
根据题意，可得 = 2，
3 7 2
函数的周期 满足4 = 8 8，解得 = ，由 = ，解得 = 2，
( 7 7 3 由 8 )为函数的最小值，可得 2 × 8 + = 2 + 2 ( ∈ )，
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| | < 结合 2，可得 =

4，所以函数的解析式为 ( ) = 2sin(2 4 )，
由表格，可知 ( )的单调递减区间为[ 3 8 + ,
7
8 + ]( ∈ )；
(2) ( ) = 2sin(2 4 ) + 2 2 = 2 + 2 = 2sin(2 +

4 )，

根据4 ≤ 2 + 4 ≤
5
4，可知当 = 2时， ( ) = 1，所以 ( )在[0, 2 ]上的最小值为 1．
16.(1) 10 1设甲款机器人单次送餐成功的概率为 1，则 1 = 50 = 5；
(2)设乙款机器人单次送餐成功的概率为 2，丙款机器人单次送餐成功的概率为 3，
50 1 80 4
所以 2 = 100 = 2 , 3 = 100 = 5，
的可能取值为 0，1，2，3，
4 1 1 2
所以 ( = 0) = (1 1)(1 2)(1 3) = 5 × 2 × 5 = 25，
( = 1) = 1(1 2)(1 3) + (1 1) 2(1 3) + (1 1)(1 2) 3
= 1 1 1 4 1 1 4 1 4 215 × 2 × 5 + 5 × 2 × 5 + 5 × 2 × 5 = 50，
( = 2) = 1 2(1 3) + 1(1 2) 3 + (1 1) 2 3
= 1 × 1 × 1 + 1 × 1 × 4 4 1 4 215 2 5 5 2 5 + 5 × 2 × 5 = 50，
( = 3) = 1 1 41 2 3 = 5 × 2 × 5 =
2
25，
所以 ( ) = 0 × 2 21 21 2 325 + 1 × 50 + 2 × 50+ 3 × 25 = 2；
(3)由题意有 1 (10,
1
5 ), 2 (10,
1
2 ),
4
3 (10, 5 )，
所以 1 = 10 ×
1
5 ×
4 = 85 5 ,
1 1 5 4 1 8
2 = 10 × 2 × 2 = 2 , 3 = 10 × 5 × 5 = 5，
所以 1 = 3 < 2．
17.(1)根据边角转换，原式可以化简为：( + ) = 12 ，
因为 + = sin( + ) = ，
所以 = 12 ，
1又因为 为三角形内角，所以 = 2，
进而求得 = 3；
(2) 因为 = 3， = 7，
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所以根据余弦定理有： 2 = 2 + 2 2 = 2 + 2 = 49，
对于条件①：
8× 3
因为 = 8，所以 = 2 4 3 = 7 = 7 < 1，
又因为 = 4 37 >
3
2 ，所以△ 有两个解，不满足△ 存在且唯一；
对于条件②：
5 3
因为 = 5，所以根据正弦定理有： = = 14 ，
因为 < ，所以 0 < < 3，
5 3
又因为 14 <
3
2 ，
所以满足△ 存在且唯一，
此时，由 2 = 2 + 2 = 49， = 7， = 5，解得 = 8，
1 1所以 △ = 2 = 2 × 8 × 5 ×
3
2 = 10 3；
= 11条件③： 14，
7×5 3
由 = 1 cos2 = 5 3 14 ，又由正弦定理得 = =
14
3 = 5，
2
由条件②即可求解．
18.(1)( )当 = 0， = 0 时，函数 ( ) = (2 ) 1 ， (1) = (2 1) 1 1 = 1，
导函数 ′( ) = ( 1) 1 + (2 )( 1) 1 = ( 3) 1 ， ′(1) = (1 3) 1 1 = 2 0 = 2，
切线方程为： 1 = 2( 1)，
整理得： = 2 + 3．
( )导函数 ′( ) = ( 3) 1 ，因为 1 > 0，对任意实数恒成立
所以导函数 ′( )的符号由 3 决定：
当 > 3 时，导函数 ′( ) > 0，函数单调递减；
当 < 3 时，导函数 ′( ) < 0，函数单调递减，
所以 = 3 是极小值点， = 0 时， (0) = (2 0) 1 0 = 2 ，
→+∞时， 1 → 0，因此 ( ) → 0，
因此当 ≥ 0 时，在 = 0 处 ( )取得最大值为 2 ．
(2)函数 ( ) = (2 ) 1 3 + 2，
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导函数 ′( ) = 1 + (2 )( 1) 1 3 2 + 2 = ( 3) 1 3 2 + 2 ，
因为 = 3 是 ( )的极大值点，所以 ′(3) = 0，
′(3) = (3 3) 1 3 3 32 + 2 3 = 27 + 6 ，
所以 27 + 6 = 0，化简得 = 92 ．
设函数 ( ) = ( 3) 1 3 2 + 2 ，
导函数 ′( ) = (4 ) 1 6 + 2 ，
为了确保 = 3 是极大值点，那么还需保证 ′(3) < 0，
′(3) = (4 3) 1 3 6 3 + 2 92 =
2 18 + 9 = 2 9 ，
1
所以 2 9 < 0，所以 > 9 2，
所以 ∈ ( 19 2 , + ∞)．
19.(1)因为 = 0 时， ∈ { 1,0,2,3}且 ∈ { 1,0,2,3}，所以集合{ 1,0,2,3}不具有性质 ；
因为 = 2，1，3 时 = 2， 1， 3， ∈ { 2,1,3}，总有 { 2,1,3}，所以集合{ 2,1,3}具有性质
，
其相应的集合 和 是 = {( 2,3)，(3, 2)}， = {(1, 2)，(1,3)}；
(2)首先，由 中元素构成的有序数对( , )共有 2个，因为 0 ，所以( , ) ( = 1,2, …, )；
又因为当 ∈ 时， ，所以当( , ) ∈ 时，( , ) ( , = 1,2, …, )，
1 ( 1) ( 1)
从而集合 中元素的个数最多为 22 ( ) = 2 ，即 ≤ 2 ；
(3) = ，证明如下：当( , ) ∈ 时，根据定义， ∈ ， ∈ ，且 + ∈ ，从而( + , ) ∈ ，
如果( , )与( , )是 的不同元素，那么 = 与 = 中至少有一个不成立，
从而 + = + 与 = 中也至少有一个不成立，
故( + , )与( + , )也是 的不同元素，
可见， 中元素的个数不多于 中元素的个数，即 ≤ ；
当( , ) ∈ 时，根据定义， ∈ ， ∈ ，且 ∈ ，从而( , ) ∈ ，
如果( , )与( , )是 的不同元素，那么 = 与 = 中至少有一个不成立，
从而 = 与 = 中也至少有一个不成立，
故( , )与( , )也是 的不同元素，
可见， 中元素的个数不多于 中元素的个数，即 ≤ ；
综上可知， = ．
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