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2024-2025学年福建省三明二中高一（下）期末考试
数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数 1 = 2 + ， 2 = 1 2 ，复数 = 2 + 1，则 的共轭复数 对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.样本数据 2，3，6，8，9，10 的中位数是( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
3.已知| | = = 2， = 6，则| |的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 4
4.已知 ， 是两条不重合的直线， ， 是两个不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A.若 ， ， // ， // ，则 //
B.若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
C.若 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥
D.若 // ， ， ∩ = ，则 //
5.若函数 ( ) = tan( + )( > 0, > 0)的图象与直线 = 5 的两个相邻交点之间的距离为3，向右平移18
个单位长度后得到函数 ( )的图象，若 ( )的图象关于坐标原点对称，则 的最小值为( )
A. 6 B.
2 5
3 C. 3 D. 6
6.已知向量 ， 满足 = 0，| + | = | |，若 + 2 与 的夹角为 3，则 的值为( )
A. 2 B. 3 C. 1 D. 12
7.已知一圆台的侧面展开图扇环的面积为 9 ，半径为 2的球 与该圆台的上、下底面及侧面均相切，则圆
台的体积等于( )
A. 7 2 B. 14 2 C. 17 2 D. 26 23 3 3 3
8 13.某同学用 3 个全等的小三角形拼成如图所示的边长为 21 的等边三角形 ，已知 cos∠ = 14，则
=( )
A. 6 B. 8
C. 10 D. 12
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量和满足| | = 1，| | = 2，| + 2 | = 13，下列说法中正确的有( )
A. = 1 B. ( + ) ⊥ ( )
C. | 2 | = 21 D. 与 的夹角为3
10.已知点 是△ 所在平面内一点，且 = 2 + ， ， ∈ ，则下列说法正确的是( )
A.若 = = 12，则点 是边 的中点
B. 1若点 是边 上靠近 点的三等分点，则 = = 3
C. 1若 2 + = 2，则 △ = 2 △
D. 2若点 在 边的中线上，且 2 + = 3，则点 是△ 的重心
11.已知函数 ( ) = + ( > 0) 的最小正周期为 ，且 ( ) ≤ ( 6 ) = 2，则下列说法正确的是
( )
A. = 3 B. = 1
C. ( ) 的图象关于点( 3 , 0)对称 D.若2 < 1 < 2 < , ( ) = ( ) + =
4
1 2 ，则 1 2 3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 9 .已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为 2，则正方体的表面
积为______．
13.如图所示直角梯形 上下两底分别为 2 和 4，高为 2 2，则利用斜二测画法
所得其直观图的面积为______．
14.如图，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中， ， 分别为线段 1， 上的动点， 为线段 1
的中点，给出下列四个结论：
①三棱锥 1的体积为定值；
② + 的最小值为 66；
6
③不存在点 ，使得 1 与 1所成的角为 45°；
④△ 1 面积的取值范围为[
3
6 ,
3 ．
2 ]
其中所有正确结论的序号是______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
已知复数 = + 2 ( ∈ ) ，且1 为纯虚数．
(1)求 的值；
(2)若复数 满足| | ≤ 3， ∈ ，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
五一期间昆明蓝花楹盛开，吸引了很多游客，现随机采访了 100 名来欣赏蓝花楹的游客，并将这 100 人按
年龄分组：第 1 组[20,30)，第 2 组[30,40)，第 3 组[40,50)，第 4 组[50,60)，第 5 组[60,70]，得到的频率
分布直方图如图所示：
(1)求样本数据的第 50 百分位数；
(2)估计这 100 名游客的平均年龄(同一组中的数据用该组中的中点值代表)．
17.(本小题 15 分)
记斜△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知( 2 + 2 2) = 32 ( + )，且 <
3
4 , = 3．
(1)求角 ；
(2) 为边 的中点，若 = 22 ，求△ 的面积；
(3) ( )如图所示， 是△ 外一点，若∠ = ∠ = ，且∠ = 3，记△ 的周长为 ( )，求sin 的
取值范围．
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18.(本小题 17 分)
如图，在四棱台 1 1 1 1中，下底面是边长为 2 的正方形，侧棱 1 与底面垂直，且 1 = 1 1 = 1．
(1)证明： 1//平面 1；
(2)求平面 1与平面 1 1的夹角的大小．
19.(本小题 17 分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且满足 + 3 = 0．
(1)求角 ；
(2)若 = 2 3，求△ 面积的最大值；
(3) 求 2 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.18
13.3
14.①②
15.(1) = +2 ( +2 )(1+ ) 2 +2因为1 1 = (1 )(1+ ) = 2 + 2 为纯虚数，
所以 2 = 0 且 + 2 ≠ 0，解得 = 2；
(2)由题意：|(2 + 2 ) | ≤ 3，得 (2 )2 + 22 ≤ 3，即(2 )2 ≤ 5，解得 5 ≤ 2 ≤ 5，
所以 2 5 ≤ ≤ 2 + 5，
所以 的取值范围为：[2 5, 2 + 5]．
16.(1)由频率分布直方图可知，(0.01 + 0.01 + 0.02 + + 0.02) × 10 = 1，解得 = 0.04，
且(0.01 + 0.01 + 0.02) × 10 = 0.4 < 0.5，(0.01 + 0.01 + 0.02 + 0.04) × 10 = 0.8 > 0.5，
所以第 50 百分位数在[50,60)组内，设为 ，
则有：0.4 + 0.04 × ( 50) = 0.5，解得 = 52.5．
所以样本数据的第 50 百分位数为 52.5．

(2)设 100 名游客的平均年龄为 ，由图可知，

= 0.1 × 25 + 0.1 × 35 + 0.2 × 45 + 0.4 × 55 + 0.2 × 65 = 50，
故这 100 名游客的平均年龄约为 50 岁．
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17.(1)由( 2 + 2 2) = 32 ( + )，
结合余弦定理，得 2 = 32 ( + ) =
3
2 ，
由三角形 为斜△ ，可得 ≠ 0，
3 3
可得 2 = 2 ，即 2 = 2 ，
∵ < 3 3 4 2 4，∴ 0 < 2 < 2，即 2 = 3， = 3．
(2) ∵ 1为边 的中点，得 = 2 (
+ )，
2
可得 = 1 24 ( + ) ，
即| |2 = 14 (|
|2 + 2 + | |2)，
= 2 1 1由 2 22 , = 3，得2 = 4 ( + 2 + )，
(1) = 2 1 = 1由 可知 3，即2 4 (
2 2 1 22 + )，
2 + 2 = 2，
2 2
= +
2 2 2+ 3
由余弦定理得 2 cos 3 = 2
1 2+ 3 1
2 = 2 ，解得 = 2，
∴△ 1 1 1 3 3的面积为2 = 2 × 2 × 2 = 8 ；
(3) ∵ = 3，
∴ 3在△ 中，由正弦定理可得，sin = sin∠ = 3 = 2，即 = 2 ，
2
在△ = = 3中，由正弦定理可得，sin sin∠ 3 = 2，即 = 2 ，
2
∵四边形 的内角和为 2 ，且∠ + ∠ = ，∠ = 2 ，
在△ 中，由余弦定理可得， 2 = 2 + 2 2 × × cos∠ = 4 2 + 4 2 2 × 2 ×
2 × cos( 2 )
= 8 2 (1 + 2 ) = 8 2 (1 + 2 2 1) = 8 2 × 2 2 = 16 2 2 ，
即 = 4 ，
∴ ( ) = + + = 2 + 2 + 4 = 4 + 4 ，
∴ ( ) = 4 +4 sin sin = 4 + 4 ，
在△ 中，0 < < 13，∴ 2 < < 1，
∴ 6 < 4 + 4 < 8 ( )，故sin 的取值范围为(6,8)．
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18.(1)证明：连结 交 于点 ，连结 1 1， 1 ，
因为底面 是正方形，所以 是 的中点，
又 = 2 1 1，所以 = 2 1 1，故 EB= 1 1，
由棱台的定义， 1与 1共面，
因为棱台的上、下底面平行，所以它们与平面 1 1的交线平行，
即 1 1// ．
所以四边形 1 1为平行四边形，故 BB 1// 1，
又因为 1 平面 1， 1 平面 1，
所以 1//平面 1；
(2)以 为原点，分别以 ， ， 1所在直线为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则 (0,0,0)， (2,0,0)， (2,2,0)， (0,2,0)， 1(0,1,1)， 1(0,0,1)，
故 = ( 2,2,0)， 1 = ( 2,0,1)， = (2,0,0)， 1 = (0, 1,1)，
设平面 1的法向量 = ( 1, 1, 1)，
= 0 1 = 1
由 ，得 ，
1 = 0 2 1 = 1
取 1 = 1，得平面 1的一个法向量 = (1,1,2)，
设平面 1 1的法向量 = ( 1, 2, 2)，
= 0 2 = 0由
1
，得
= 0 2 =
，
2
取 2 = 1，得平面 1 1的一个法向量 = (0,1,1)，
故 cos < , >= 1+2 3| | | | = 6 2 = 2 ．
所以平面 1与平面 1 1夹角的大小为6．
19.(1)由 + 3 = 0，
根据正弦定理得 + 3 = 0，
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在△ 中， = sin( + ) = + ，
代入上式，化简 3 = 0，
结合 > 0，可得 3 = 1，即 2 ( 6 ) = 1，可得 sin( 6 ) =
1
2，
5 因为 6 ∈ ( 6 , 6 )，所以 6 = 6，可得 = 3；
(2)由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 = 12，化简得 12 + = 2 + 2，
根据基本不等式，可得 12 + = 2 + 2 ≥ 2 ，解得 ≤ 12，当且仅当 = = 2 3时，等号成立，
△ = 1 3所以 的面积 2 = 4 ≤ 3 3，当 = = 2 3时，△ 面积的最大值为 3 3；
(3)在△ 中， = 3， =
2
3 ，

根据正弦定理，可得 2 = sin2
1 3 3 4 3 3
= ( 2 2 ) = 3 ( 2 )sin2 23
4 2 3 2 3
= 3 [ ( 3 ) 2 sin( 3 ) 2 ]
4 3 1 3 3 1 3
= 3 [( 2 + 2 ) 2 × ( 2 + 2 ) 2 ]
4 3 1 3 3 3 3 1 1
= 3 ( 2 +
2
2 sin 4 4 ) = 3 2 3 2 3 + 3
= 23 sin(2
1
6 ) 2 ( + 6 ) + 3，
令 = + 6，则 2 6 = 2 2，
= 2 sin(2 ) 2 + 1 2所以 2 3 2 3 = 3 2 2 +
1 = 43 3 sin
2 2 1 = 43 3 (
3 2
4 )
13
12，
∈ (0, 2 根据 3 ), ∈ (
, 5 6 6 ), ∈ (
1
2 , 1],
3 13
结合二次函数的性质，可得 = 4时， 2 取得最小值，最小值为 12，
4 1
当 = 1 时， 2 取得最大值，最大值为3 × 1
2 2 × 1 3 = 1，
13
综上所述， 2 的取值范围为[ 12 , 1]．
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