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2024-2025 学年辽宁省葫芦岛市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 .扇形的半径为 2，圆心角为3，则此扇形弧长为( )
A. B. C. 6 3 2 D.
2
3
2.若复数 满足(3 + ) = 5，则 对应的点位于复平面的( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.在边长为 2 的正三角形 中， =( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
4 1.将函数 ( ) = sin( + 6 )图像上所有点的横坐标缩小到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的图像向右平

移4个单位长度，则所得新函数的解析式为( )
A. = sin(2 12 ) B. = sin(2 3 ) C. = sin(
2 12 ) D. = sin( 2 + 24 )
5.如图，在正方体 1 1 1 1中，异面直线 与 1 所成的角为( )
A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
6.已知向量 = (2,1)， = ( 3,1)，则向量 在向量 上的投影为( )
A. 102 B. 10 C. (
3 2
2 ,
2
2 ) D. (
3
2 ,
1
2 )
7.如图，在三棱柱 1 1 1中， ， 分别是 1和 1的中点，记 1 1 1 和 1 1 1的体
积分别为 1， 2，则( )
A. 11 = 3 2
B. = 11 6 2
C. 1 =
1
4 2
D. = 31 8 2
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8.已知函数 ( ) = 2 ( + ) ，( > 0, | | < 2 )，| (

6 )| = 2， ( 3 ) = 0，且 ( )
5
在区间( 3 , 12 )上单
调，则 的最大值为( )
A. 3 B. 5 C. 6 D. 7
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = 4 ( + )( > 0,0 < < )的部分图象如图所示，则( )
A. = 1
B. ( ) = 4 (2 + 5 6 )
C. ( ) 4 3的图象与 轴的交点坐标为(0, 3 )
D. = ( ) ( 7 函数 的图象关于点 3 , 0)对称
10.已知复数 = + ( , ∈ )，则下列选项正确的是( )
A. 的虚部为

B. ( )2 = 2
C.若 ≠ 0，则| 2| = | |2 = 2
D. + 2 2 + 3 3 + + 20 20 = 10 10
11.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 2， ， 分别是 ， 1的中点，点 是底面 内一动点，
则下列结论正确的为( )
A.存在点 ，使得 //平面
B.当 为 中点时，过 ， ， 三点的平面截正方体所得截面图形的面积为 3 3
C. 2三棱锥 1 1 1 的体积为3
D.当 在棱 上时，若∠ 1 为 120°，三棱锥 1
44
外接球表面积为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = (1,2)与 = ( 2, )垂直，则实数 的值为______．
13.如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点 ，测得塔顶 的仰角为 30°，
由 向塔前进 100 米后到点 ，测得塔顶 的仰角为 60°，则塔高 为______米.
14 2 .已知△ 的面积为 3，∠ = 3， = 7，∠ 的角平分线交 于点 ，则 的长度为______．2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
已知向量 = ( + , 3 )， = ( , 2 )，函数 ( ) = ．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)求函数 ( )的周期和单调递增区间；
(3)若 ∈ (0, 4 )，求函数 ( )的值域．
16.(本小题 15 分)
sin2 + 2
已知 2 +1 = 4．
(1)求 的值；
(2) tan( ) = 1 sin( + )若 是第一象限角， 7，求cos( )的值．
17.(本小题 15 分)
在直三棱柱 1 1 1中， ⊥ ， 为 1的中点．
(1)求证：平面 1 ⊥平面 1 1 ；
(2)在 1 1上是否存在一点 ，使得 //平面 1 ，若存在，求出 1 的值，若不存在，说明理由．1 1
18.(本小题 17 分)
在△ 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，若 3 = 3 2 ， = 3．
(1)求角 的大小；
(2)若 + = 3 3且 > ，点 ， 是边 上的两个动点， < 且∠ = 6．
( )设∠ = ，用 表示 ；
( )设△ 的面积为 ，求 的最小值．
19.(本小题 17 分)
如图，已知梯形 ， = = = 12 = 2， // ，将梯形 绕直线 旋转角 至梯形 ，
为 的中点，连接 ， ， ．
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(1)证明： //平面 ；
(2)当△ 面积最大时，求二面角 的余弦值；
(3) 当二面角 为2时，求点 到平面 的距离．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.50 3
14.23
15.(1) = ( + , 3 )， = ( , 2 )，函数 ( ) = ，
依题意， ( ) = cos2 sin2 + 2 3 = 2 + 3 2 = 2 (2 + 6 )．
(2) ( ) = 2 函数 的周期 2 = ；
+ 2 ≤ 2 + ≤ + 2 ∈ + ≤ ≤ 由 2 6 2 ， ，得 3 6 + ， ∈ ，
所以函数 ( ) 的单调递增区间为[ 3 + , 6 + ]( ∈ )．
(3)由 ∈ (0, 4 )，得 2 +
2 1
6 ∈ ( 6 , 3 )，则 sin(2 + 6 ) ∈ ( 2 , 1],
因此 ( ) ∈ (1,2]，
( ) (0, 所以函数 在 4 )上的值域为(1,2]．
sin2 + 2 sin2 +2 tan216.(1) = = +2 因为 2 +1 2 2 2 = 4，
解得 = 2 或 4．
(2)由 是第一象限角，则 = 2，
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1
= tan[ ( )] = tan( )
2+
因为 71+tan tan( ) = = 3，1+2×( 17)
sin( + ) = + = + 2+3 5故cos( ) cos cos +sin sin 1+tan tan = 1+2×3 = 7．
17.(1)证明：由已知得， 1 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 1 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， 1 ∩ = ， ， 1 平面 1 1 ，所以 ⊥平面 1 1 ，
又因为 平面 1 ，所以平面 1 ⊥平面 1 1 ；
(2)当点 为 1 1的中点时，符合题意．
证明如下：
取 1的中点 ， 1 1的中点 ，连接 ， ， ，
则 // 1 ，
因为 为 1的中点，所以 // ，
因为 ， 1 平面 1 ， ， 平面 1 ，
所以 //平面 1 ， //平面 1 ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，所以平面 //平面 1 ，
又 平面 ，所以 //平面 1 ．
1故存在点 ，使得 //平面 1 ，
1
1
=
1 2
．
18.(1)由正弦定理得 = 3 + 3 2 ，
即 = 3 ( + ) = 3 ( + )，
因为△ 中， = sin( + )，
所以 = 3 ，结合 ≠ 0，可得 = 3 ，

所以 = = 3，结合 ∈ (0, )，可得 = 3；
(2)根据余弦定理得 2 = 2 + 2 = ( + )2 3 ，
结合 = 3， + = 3 3，可得32 = (3 3) 3 ，解得 = 6，结合 > ，解得 = 2 3， = 3，
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所以 2 = 2 + 2，△ 是以 为直角顶点的直角三角形，可得 = = 6；
( )如图，∠ = ， ∈ [0, 3 ]，
△ =
3
在 中，由正弦定理得 = sin∠ = sin( + )，所以 2 ( + 6)
；
= ( )在△ 中，由正弦定理得 sin( + )，可得 =
3
3 2 ( +
)．3
1 9 9
所以△ 的面积 = 2 6 = 16 ( + 6)sin( +
=
3) 16( 3 1 1 32 +2 )(2 + 2 )
= 9 9
16( 3
=
4 sin
2 + 34 cos
2 + ) 4 3+8 2 ，
2
根据 2 ∈ [0, 3 ] 2 = = =
9 = 18 9 3，可知 2时，即 4时， ，4 3+8 4
综上所述，△ 的面积 的最小值为18 9 3．
4
19.(1)证明：因为 // ，且 = = 2，
所以四边形 是平行四边形，
所以 // ，又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(2)取 的中点 ，
由(1)知 = = 2，
又 // ，且 = = 2，
所以四边形 是平行四边形，
所以 = = 2，
所以 = = 2， = = 2，
所以 ⊥ ， ⊥ ，又 ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，
所以为二面角 的平面角为∠ ，
所以∠ = ，
又 = = 2 ( 1 22 ) = 3，
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所以 2 = 2 + 2 2 = 6 6 ，
因为 // ，所以 ⊥平面 ，
所以 ⊥ ，
所以 2 = 2 + 2 = 10 6 ，
所以 2 = 2 + 2 2 ∠ = 8 8 ∠ ，
所以 10 6 = 8 8 ∠ ，整理得 1 + 4 ∠ = 3 ( )
1又 △ = 2 × × × sin∠ = 2 ∠ ，
则当∠ = 90°时，△ 面积最大，
所以此时 cos∠ = 0，代入( )得 = 13．
(3)连接 ，
结合(2)可得 △ =
1
2 × × = 3， =
2 + 2 = 7，
当二面角 为2时，则 ⊥平面 ，所以 ⊥ ，
所以 = 2 + 2 = 10，
2+ 2 2 1
所以 cos∠ = 2× × = 4，
所以 sin∠ = 154 ，
1 15 15
所以三角形 的面积为2 × × × 4 = 2 ，
设点 到平面 的距离为 ，
又 =
1 1 2 15
，即3 △ = 3 △ ，解得 = 5 ，
2 15
故点 到平面 的距离为 5 ．
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