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湖南省长沙市一中新华都2025年初中学业水平考试模拟数学试卷（二）
一、选择题（共10小题，每题3分）
1．（2025·长沙模拟）2025年是春意盎然，生机勃勃的“双春年”，2025的相反数是（　　）
A． B． C．2025 D．
【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：2025的相反数是，
故选：A
【分析】根据相反数的定义即可求出答案.
2．（2025·长沙模拟）如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，则它的主视图为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据主视图的概念可知主视图为：
故答案为：A.
【分析】依照主视图的定义进行判断即可.
3．（2025·长沙模拟）据网络平台数据，截止4月7日全球动画电影票房榜冠军电影《哪吒之魔童闹海》总票房突破151亿元，151亿用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：151亿=15100000000，将15100000000用科学记数法可表示为，
故答案为：D．
【分析】 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．当原数为较大数时，n等于原数的整数位数减去1.
4．（2025·长沙模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、与不是同类项，不能合并，故D错误；
故答案为：B．
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法等法则对选项依次进行计算即可．
5．（2025·长沙模拟）下列所给的事件中，是随机事件的是（　　）
A．抛掷硬币时，正面朝上
B．任意画一个三角形，其内角和为
C．若，互为相反数，则
D．水中捞月
【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、抛掷硬币时，可能正面朝上，也可能是反面朝上，是随机事件，符合题意；
B、任意画一个三角形，其内角和为，是必然事件，不符合题意；
C、若，互为相反数，则，是必然事件，不符合题意；
D、水中捞月，是不可能事件，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
6．（2025·长沙模拟）反比例函数y＝的图象位于（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】根据反比例函数y＝中，k=30，由反比例函数的性质可知函数的图象位于第一，三象限.
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数的性质：当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大.
7．（2025·长沙模拟）如图，四边形是矩形，对角线和相交于点，已知，则的长为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴DB=AC，OB=OD=DB，∵AC=4，∴DB=4，∴OB=DB=×4=2．
故答案为：C．
【分析】根据矩形的性质可得DB=AC，OB=OD=DB，即可求得OB的长．
8．（2025·长沙模拟）如图，是的直径，是的弦，，垂足为．若，则的长为（　　）
A．12 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，是的弦，，
∴，
∵
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用垂径定理可得出的长，然后根据勾股定理求出长，即可得到AE长解题即可．
9．（2025·长沙模拟）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法.
（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（　　）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：根据题意，得，
在和中，
，
∴，
∴判定三角形全等的依据是三边分别相等的两个三角形全等，
故答案为：A.
【分析】根据作一个角等于已知角的基本作图，可得，从而可知判定三角形全等的依据为“SSS”.
10．（2025·长沙模拟）如图，在相同的小正方形组成的网格图中，点在格点（网格线的交点）上，点在上，且都在格点上，则的正弦值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；圆周角定理；求正弦值
【解析】【解答】解：取格点D，连接CD，如图所示：
由图可知：∠CAD=90°，AD=2，AC=4，∴在Rt△CAD中，CD==，∵∠ADC=∠ABC，∴sin∠ABC=sin∠ADC===.
故答案为：C．
【分析】取格点D，连接CD，由图可知：∠CAD=90°，AD=2，AC=4，利用勾股定理求得CD=，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠ADC=∠ABC，再根据正弦的定义即可得解.
二、填空题（共6小题，每题3分）
11．（2025·长沙模拟） 分解因式：a2 + 5a =　 　.
【答案】a(a+5)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： a2 + 5a =a(a+5).
故答案为：a(a+5)
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式a，因此利用提公因式法分解因式.
12．（2025·长沙模拟）在数轴上，介于和之间的整数是　 　．
【答案】3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，，
∴介于、之间的整数是3，
故答案为：3．
【分析】先估算出、的范围，即可得出答案.
13．（2025·长沙模拟）如图，直线分别与直线，相交，，若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】邻补角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：标注如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴∠3=71°，
∴；
故答案为：.
【分析】由得=71°，利用邻补角的含义即可得出得度数．
14．（2025·长沙模拟）一元二次方程的一个解为，则　 　．
【答案】
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程的一个解为，
∴将代入方程，得，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据题意直接将代入方程求解即可．
15．（2025·长沙模拟）如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O，A，B均为格点，则扇形OAB的面积大小是　 　．
【答案】．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵每个小方格都是边长为1的正方形，
∴OA=OB==，AB=，
∵OA2+OB2=AB2，∴△AOB是直角三角形，∴∠AOB=90°，
∴S扇形OAB===．
故答案为：．
【分析】先判断脚AOB的度数，再根据扇形的面积公式计算即可.
16．（2025·长沙模拟）如图，，是的切线，切点分别是，，如果，那么的度数等于 　 　 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接，，
、是的切线，切点分别是、，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】由切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得，根据圆周角定理“同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”可得∠AOB=2∠C，然后根据四边形内角和定理可求解.
三、解答题（共7小题）
17．（2025·长沙模拟）计算：
【答案】解：原式=-+（-1）-1
=4-+-1-1
=2.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】分别计算出负整数指数幂、特殊角的三角函数、化简绝对值和零指数幂，再进行加减计算即可．
18．（2025·长沙模拟）解方程：
【答案】解：在这里，a=2，b=1，c=-2
b2-4ac=17>0
∴
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】运用公式法求解，首先算出方程根的判别式的值，根据判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，从而利用求根公式求出方程的根.
19．（2025·长沙模拟）尺规作图问题：
如图1，点E是边上一点（不包含A，D），连接．用尺规作，F是边上一点．
小明：如图2．以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．
小丽：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．
小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！
（1）证明；
（2）指出小丽作法中存在的问题．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
又根据作图可知：，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）答：原因：以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，
故无法确定F的位置，
故小丽的作法存在问题．
【知识点】平行四边形的判定与性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】
（1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，反过来平行四边形的对边平行且相等；
（2）以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，因此小丽作法存在问题．
（1）∵，
∴，
又根据作图可知：，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）原因：以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，
故无法确定F的位置，
故小丽的作法存在问题．
20．（2025·长沙模拟）“五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑．农业科研人员小李在试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究．
【确定调查方式】
（1）小李计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本，下面的抽样调查方式合理的是______；（只填序号）
①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本
②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本
③随机抽取100个麦穗的长度作为样本
【整理分析数据】
（2）小李采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到0.1cm），并将调查所得的数据整理如下：
试验田100个麦穗长度频率分布表
长度 频率
0.04
0.45
0.30
0.09
合计 1
根据以上图表信息，解答下列问题：
①频率分布表中的______；
②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据）
【作出合理估计】
（3）请你估计长度不小于的麦穗在该试验田里所占比例为多少．
【答案】解：（1）③；
（2）①0.12；
②由频率分布表可知：6.1≤x＜6.8之间的频数有100×0.30=30，
因此把频数分布直方图补充完整如图所示：
；
（3）由频率分布表可知：麦穗长度不小于的频率是0.45+0.30+0.09=0.84=84%，
答：麦穗长度不小于 在该试验田里所占比例 84%.
【知识点】抽样调查的可靠性；频数与频率；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）抽样调查时，为了使样本具有代表性和广泛性，应该采用随机抽样的方法，
∴抽样调查方式合理的是随机抽取100个麦穗的长度作为样本，
故答案为：③；
（2）由频率分布表可知：0.04+m+0.45+0.30+0.09=1，
∴m=1-0.04-0.45-0.30-0.09=0.12，
故答案为：0.12；
【分析】（1）直接利用抽样调查的特点回答即可．
（2）①用1减去其他频率即可求出m的值；
②先根据频率分布表求出麦穗长度频率分布在之间的频数，然后补全频数分布直方图即可；
（3）根据频率分布表把长度不小于的麦穗的频率相加即可得出答案．
21．（2025·长沙模拟）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．
（1）求证：．
（2）若，求证：
【答案】（1）解：∵BE∥AC，
∴∠E=∠CAD，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDE中，
，
∴△BDE≌△CDE（AAS）.
（2）解：由（1）可知：△BDE≌△CDE，
∴AD=ED，
∵AD⊥BC，
∴BD是AE得垂直平分线，
∴BA=BE.
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由平行线、中点和对顶角的性质可得∠E=∠CAD、BD=CD和∠BED=∠CDA即可证明△BDE≌△CDE.
（2）由（1）可知：△BDE≌△CDE可得AD=ED，结合AD⊥BC，可推出BD是AE得垂直平分线，即可得出BA=BE.
（1）证明：为的中点，
．
；
在和中，
；
（2）证明：
垂直平分，
．
22．（2025·长沙模拟）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产产品，乙车间生产产品．已知销售产品件，产品件，共收入元；销售产品件，产品件，共收入元．
（1）求，两种产品的销售单价．
（2）若该工厂销售，两种产品共件，总收入不超过元，则最少要销售产品多少件？
【答案】（1）解：设产品每件销售元，产品每件销售元，根据题意得：
，
解得：，
答：产品每件销售元，产品每件销售元．
（2）解：设销售产品件，则销售产品件，根据题意得：
，
解得：，
答：最少要销售产品件．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设产品每件销售元，产品每件销售元，根据销售产品件，产品件，共收入元；如果销售产品件，产品件，共收入元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设销售产品件，则销售产品件，根据销售、两种产品总费用不超过元列出不等式，解不等式即可．
（1）解：设产品每件销售元，产品每件销售元，根据题意得：
，
解得：，
答：产品每件销售元，产品每件销售元．
（2）解：设销售产品件，则销售产品件，根据题意得：
，
解得：，
答：最少要销售产品件．
23．（2025·长沙模拟）如图，在中，于点E，延长至点F，使得，连接、．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵．
∴，即，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，
∴是矩形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴的面积，
即，
解得：．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对边平行且相等得到，，结合已知及等会死性质可推出EF=AD，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形是平行四边形，再根据有一个内角为直角的平行四边形是矩形得出结论；
（2）根据平行四边形的对边相等得到，利用勾股定理求得，利用等面积法求出DE即可．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵．
∴，即，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，
∴是矩形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴的面积，
即，
解得：．
24．（2025·长沙模拟）新定义：抛物线与x轴交于点、，，与轴交于点．若为直角三角形，则称此抛物线为“直角型抛物线”．
（1）抛物线是“直角型抛物线”吗？请说明理由．
（2）若抛物线是“直角型抛物线”，且，求的值．
（3）若抛物线是“直角型抛物线”，的面积为，且函数，当时，的最小值为1，求的值及抛物线的解析式．
【答案】（1）解：抛物线是“直角型抛物线”，
理由：∵==，
∴x1=-1，x2=4，
∴A（-1，0），B（4，0），
∴AB=5，
由题意可知：C（0，-2），
∴AC==，BC==，
∵AC2=5，BC2=20，AB2=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴抛物线是“直角型抛物线”.
（2）解：根据题意可知：C（0，c），
令y=0，则ax2+bx+c=0，
由题意可知，x1+x2=，x1x2=，
∵抛物线是“直角型抛物线”，
∴∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2，
，
整理得：，
，
整理得：，，
在中，，
，
，
，
∴，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去）或，
，，
或，
，即，
，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
综上所述，的值为或．
（3）解：抛物线是“直角型抛物线”，
为直角三角形，且，
由（2）可知，，，，
，
，
根据题意可知：C（0，c），
，
，
，
，
函数的对称轴为，
由题意得，，
①当，即，
当时，取最小值1，
此时，
解得：（舍去）；
②当时，即，
当时，取最小值1，
此时，
解得：（舍去）；
③当，即，
当时，取最小值1，
此时，
解得：，
，，
解得：，
抛物线的解析式为；
综上所述，，抛物线的解析式为．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）将抛物线的解析式整理变形后求出点的坐标，进而得出的长，再利用勾股定理的逆定理即可得出答案；
（2）根据抛物线的解析式得出，令得到，利用一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=，x1x2=，再根据“直角型抛物线”的定义得到，运用勾股定理得出，进一步得出，，再根据正切的定义得到，进而得出，，则有或，再分2种情况求出对应的值即可；
（3）利用三角形的面积公式表示出，则有，整理得到，结合当时，的最小值为1，利用二次函数的性质求出和对应的值，即可求出抛物线的解析式．
（1）解：抛物线是“直角型抛物线”，理由如下：
令，则，
解得：，，
，，
，
令，则，
，
，，
，
为直角三角形，
抛物线是“直角型抛物线”．
（2）解：令，则，
，
令，则，
，，
，
抛物线是“直角型抛物线”，
为直角三角形，且，
，
，
整理得：，
，
整理得：，，
在中，，
，
，
，即，
解得：或（不符合题意，舍去），
，，
或，
，即，
，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
综上所述，的值为或．
（3）解：抛物线是“直角型抛物线”，
为直角三角形，且，
由（2）得，，，，
，
，
，
，
，
，
函数的对称轴为，
由题意得，，
①当，即，
当时，取最小值1，
此时，
解得：（舍去）；
②当时，即，
当时，取最小值1，
此时，
解得：（舍去）；
③当，即，
当时，取最小值1，
此时，
解得：，
，，
解得：，
抛物线的解析式为；
综上所述，，抛物线的解析式为．
25．（2025·长沙模拟）在梯形中，，点E在边上，且．
（1）如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：；
（2）已知；
①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长；
②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长．
【答案】（1）证明：连接DE并延长，交CB的延长线于点G，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
∵AD∥BC，
∴，
∴.
∴EF∥BC.
（2）解：①记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接，如图所示：
∵点O为外接圆圆心，
∴，
∵，AE=1，
∴，
∵，
∴，
在△AEO和△ADO中，
，
∴（SSS），
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在△FAO和△OAB中，
，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴外接圆半径为；
②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q，
∵AD=AE=1，，
∴AB=3AE=3，
∵，BC=4，
∴，即，
∴AP=1=AD=AE，
∵BE=AP-AE=2，PE=AE+AP=2，
∴E为BP中点，
∵，
∴，
∴，
∴∠DCN=∠DMC=∠CEM，
∴EM∥CD，
∴M为BC的中点，
∴CM=BM=2，
∵BP=BC=4，
∴∠P=∠DCM，
∵∠ECP=∠DMC，
∴△ECP∽△DMC，
∴，
设DP=a，则CD=3a，CP=4a，
∴，
解得：a=，
∴CD=.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接DE并延长，交CB的延长线于点G，根据平行线分线段成比例定理即可得出结论；
（2）①记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接，先证明，再证明，则，即，求得；
②首先将条件转化为成线段和角度的关系，由易得，再根据相似性质得出△ECP∽△DMC，多组相似转化，设DP=a，则CD=3a，CP=4a建立方程，求出a的值即可.
（1）证明：延长交于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）①解：记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接，
∵点O为外接圆圆心，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴外接圆半径为；
②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q，
∵，
∴，
∴，
由①知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由，
得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴设，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
解得：，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
∴，
∴，
而，
∴在中，由勾股定理得，，
∵，
∴．
1 / 1湖南省长沙市一中新华都2025年初中学业水平考试模拟数学试卷（二）
一、选择题（共10小题，每题3分）
1．（2025·长沙模拟）2025年是春意盎然，生机勃勃的“双春年”，2025的相反数是（　　）
A． B． C．2025 D．
2．（2025·长沙模拟）如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，则它的主视图为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·长沙模拟）据网络平台数据，截止4月7日全球动画电影票房榜冠军电影《哪吒之魔童闹海》总票房突破151亿元，151亿用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·长沙模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·长沙模拟）下列所给的事件中，是随机事件的是（　　）
A．抛掷硬币时，正面朝上
B．任意画一个三角形，其内角和为
C．若，互为相反数，则
D．水中捞月
6．（2025·长沙模拟）反比例函数y＝的图象位于（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
7．（2025·长沙模拟）如图，四边形是矩形，对角线和相交于点，已知，则的长为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（2025·长沙模拟）如图，是的直径，是的弦，，垂足为．若，则的长为（　　）
A．12 B．16 C．18 D．20
9．（2025·长沙模拟）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法.
（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（　　）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
10．（2025·长沙模拟）如图，在相同的小正方形组成的网格图中，点在格点（网格线的交点）上，点在上，且都在格点上，则的正弦值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，每题3分）
11．（2025·长沙模拟） 分解因式：a2 + 5a =　 　.
12．（2025·长沙模拟）在数轴上，介于和之间的整数是　 　．
13．（2025·长沙模拟）如图，直线分别与直线，相交，，若，则的度数为　 　．
14．（2025·长沙模拟）一元二次方程的一个解为，则　 　．
15．（2025·长沙模拟）如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O，A，B均为格点，则扇形OAB的面积大小是　 　．
16．（2025·长沙模拟）如图，，是的切线，切点分别是，，如果，那么的度数等于 　 　 ．
三、解答题（共7小题）
17．（2025·长沙模拟）计算：
18．（2025·长沙模拟）解方程：
19．（2025·长沙模拟）尺规作图问题：
如图1，点E是边上一点（不包含A，D），连接．用尺规作，F是边上一点．
小明：如图2．以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．
小丽：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．
小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！
（1）证明；
（2）指出小丽作法中存在的问题．
20．（2025·长沙模拟）“五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑．农业科研人员小李在试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究．
【确定调查方式】
（1）小李计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本，下面的抽样调查方式合理的是______；（只填序号）
①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本
②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本
③随机抽取100个麦穗的长度作为样本
【整理分析数据】
（2）小李采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到0.1cm），并将调查所得的数据整理如下：
试验田100个麦穗长度频率分布表
长度 频率
0.04
0.45
0.30
0.09
合计 1
根据以上图表信息，解答下列问题：
①频率分布表中的______；
②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据）
【作出合理估计】
（3）请你估计长度不小于的麦穗在该试验田里所占比例为多少．
21．（2025·长沙模拟）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．
（1）求证：．
（2）若，求证：
22．（2025·长沙模拟）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产产品，乙车间生产产品．已知销售产品件，产品件，共收入元；销售产品件，产品件，共收入元．
（1）求，两种产品的销售单价．
（2）若该工厂销售，两种产品共件，总收入不超过元，则最少要销售产品多少件？
23．（2025·长沙模拟）如图，在中，于点E，延长至点F，使得，连接、．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，，，求的长．
24．（2025·长沙模拟）新定义：抛物线与x轴交于点、，，与轴交于点．若为直角三角形，则称此抛物线为“直角型抛物线”．
（1）抛物线是“直角型抛物线”吗？请说明理由．
（2）若抛物线是“直角型抛物线”，且，求的值．
（3）若抛物线是“直角型抛物线”，的面积为，且函数，当时，的最小值为1，求的值及抛物线的解析式．
25．（2025·长沙模拟）在梯形中，，点E在边上，且．
（1）如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：；
（2）已知；
①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长；
②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：2025的相反数是，
故选：A
【分析】根据相反数的定义即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据主视图的概念可知主视图为：
故答案为：A.
【分析】依照主视图的定义进行判断即可.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：151亿=15100000000，将15100000000用科学记数法可表示为，
故答案为：D．
【分析】 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．当原数为较大数时，n等于原数的整数位数减去1.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、与不是同类项，不能合并，故D错误；
故答案为：B．
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法等法则对选项依次进行计算即可．
5．【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、抛掷硬币时，可能正面朝上，也可能是反面朝上，是随机事件，符合题意；
B、任意画一个三角形，其内角和为，是必然事件，不符合题意；
C、若，互为相反数，则，是必然事件，不符合题意；
D、水中捞月，是不可能事件，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】根据反比例函数y＝中，k=30，由反比例函数的性质可知函数的图象位于第一，三象限.
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数的性质：当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大.
7．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴DB=AC，OB=OD=DB，∵AC=4，∴DB=4，∴OB=DB=×4=2．
故答案为：C．
【分析】根据矩形的性质可得DB=AC，OB=OD=DB，即可求得OB的长．
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，是的弦，，
∴，
∵
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用垂径定理可得出的长，然后根据勾股定理求出长，即可得到AE长解题即可．
9．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：根据题意，得，
在和中，
，
∴，
∴判定三角形全等的依据是三边分别相等的两个三角形全等，
故答案为：A.
【分析】根据作一个角等于已知角的基本作图，可得，从而可知判定三角形全等的依据为“SSS”.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；圆周角定理；求正弦值
【解析】【解答】解：取格点D，连接CD，如图所示：
由图可知：∠CAD=90°，AD=2，AC=4，∴在Rt△CAD中，CD==，∵∠ADC=∠ABC，∴sin∠ABC=sin∠ADC===.
故答案为：C．
【分析】取格点D，连接CD，由图可知：∠CAD=90°，AD=2，AC=4，利用勾股定理求得CD=，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠ADC=∠ABC，再根据正弦的定义即可得解.
11．【答案】a(a+5)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： a2 + 5a =a(a+5).
故答案为：a(a+5)
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式a，因此利用提公因式法分解因式.
12．【答案】3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，，
∴介于、之间的整数是3，
故答案为：3．
【分析】先估算出、的范围，即可得出答案.
13．【答案】
【知识点】邻补角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：标注如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴∠3=71°，
∴；
故答案为：.
【分析】由得=71°，利用邻补角的含义即可得出得度数．
14．【答案】
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程的一个解为，
∴将代入方程，得，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据题意直接将代入方程求解即可．
15．【答案】．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵每个小方格都是边长为1的正方形，
∴OA=OB==，AB=，
∵OA2+OB2=AB2，∴△AOB是直角三角形，∴∠AOB=90°，
∴S扇形OAB===．
故答案为：．
【分析】先判断脚AOB的度数，再根据扇形的面积公式计算即可.
16．【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接，，
、是的切线，切点分别是、，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】由切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得，根据圆周角定理“同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”可得∠AOB=2∠C，然后根据四边形内角和定理可求解.
17．【答案】解：原式=-+（-1）-1
=4-+-1-1
=2.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】分别计算出负整数指数幂、特殊角的三角函数、化简绝对值和零指数幂，再进行加减计算即可．
18．【答案】解：在这里，a=2，b=1，c=-2
b2-4ac=17>0
∴
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】运用公式法求解，首先算出方程根的判别式的值，根据判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，从而利用求根公式求出方程的根.
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
又根据作图可知：，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）答：原因：以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，
故无法确定F的位置，
故小丽的作法存在问题．
【知识点】平行四边形的判定与性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】
（1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，反过来平行四边形的对边平行且相等；
（2）以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，因此小丽作法存在问题．
（1）∵，
∴，
又根据作图可知：，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）原因：以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，
故无法确定F的位置，
故小丽的作法存在问题．
20．【答案】解：（1）③；
（2）①0.12；
②由频率分布表可知：6.1≤x＜6.8之间的频数有100×0.30=30，
因此把频数分布直方图补充完整如图所示：
；
（3）由频率分布表可知：麦穗长度不小于的频率是0.45+0.30+0.09=0.84=84%，
答：麦穗长度不小于 在该试验田里所占比例 84%.
【知识点】抽样调查的可靠性；频数与频率；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）抽样调查时，为了使样本具有代表性和广泛性，应该采用随机抽样的方法，
∴抽样调查方式合理的是随机抽取100个麦穗的长度作为样本，
故答案为：③；
（2）由频率分布表可知：0.04+m+0.45+0.30+0.09=1，
∴m=1-0.04-0.45-0.30-0.09=0.12，
故答案为：0.12；
【分析】（1）直接利用抽样调查的特点回答即可．
（2）①用1减去其他频率即可求出m的值；
②先根据频率分布表求出麦穗长度频率分布在之间的频数，然后补全频数分布直方图即可；
（3）根据频率分布表把长度不小于的麦穗的频率相加即可得出答案．
21．【答案】（1）解：∵BE∥AC，
∴∠E=∠CAD，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDE中，
，
∴△BDE≌△CDE（AAS）.
（2）解：由（1）可知：△BDE≌△CDE，
∴AD=ED，
∵AD⊥BC，
∴BD是AE得垂直平分线，
∴BA=BE.
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由平行线、中点和对顶角的性质可得∠E=∠CAD、BD=CD和∠BED=∠CDA即可证明△BDE≌△CDE.
（2）由（1）可知：△BDE≌△CDE可得AD=ED，结合AD⊥BC，可推出BD是AE得垂直平分线，即可得出BA=BE.
（1）证明：为的中点，
．
；
在和中，
；
（2）证明：
垂直平分，
．
22．【答案】（1）解：设产品每件销售元，产品每件销售元，根据题意得：
，
解得：，
答：产品每件销售元，产品每件销售元．
（2）解：设销售产品件，则销售产品件，根据题意得：
，
解得：，
答：最少要销售产品件．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设产品每件销售元，产品每件销售元，根据销售产品件，产品件，共收入元；如果销售产品件，产品件，共收入元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设销售产品件，则销售产品件，根据销售、两种产品总费用不超过元列出不等式，解不等式即可．
（1）解：设产品每件销售元，产品每件销售元，根据题意得：
，
解得：，
答：产品每件销售元，产品每件销售元．
（2）解：设销售产品件，则销售产品件，根据题意得：
，
解得：，
答：最少要销售产品件．
23．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵．
∴，即，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，
∴是矩形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴的面积，
即，
解得：．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对边平行且相等得到，，结合已知及等会死性质可推出EF=AD，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形是平行四边形，再根据有一个内角为直角的平行四边形是矩形得出结论；
（2）根据平行四边形的对边相等得到，利用勾股定理求得，利用等面积法求出DE即可．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵．
∴，即，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，
∴是矩形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴的面积，
即，
解得：．
24．【答案】（1）解：抛物线是“直角型抛物线”，
理由：∵==，
∴x1=-1，x2=4，
∴A（-1，0），B（4，0），
∴AB=5，
由题意可知：C（0，-2），
∴AC==，BC==，
∵AC2=5，BC2=20，AB2=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴抛物线是“直角型抛物线”.
（2）解：根据题意可知：C（0，c），
令y=0，则ax2+bx+c=0，
由题意可知，x1+x2=，x1x2=，
∵抛物线是“直角型抛物线”，
∴∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2，
，
整理得：，
，
整理得：，，
在中，，
，
，
，
∴，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去）或，
，，
或，
，即，
，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
综上所述，的值为或．
（3）解：抛物线是“直角型抛物线”，
为直角三角形，且，
由（2）可知，，，，
，
，
根据题意可知：C（0，c），
，
，
，
，
函数的对称轴为，
由题意得，，
①当，即，
当时，取最小值1，
此时，
解得：（舍去）；
②当时，即，
当时，取最小值1，
此时，
解得：（舍去）；
③当，即，
当时，取最小值1，
此时，
解得：，
，，
解得：，
抛物线的解析式为；
综上所述，，抛物线的解析式为．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）将抛物线的解析式整理变形后求出点的坐标，进而得出的长，再利用勾股定理的逆定理即可得出答案；
（2）根据抛物线的解析式得出，令得到，利用一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=，x1x2=，再根据“直角型抛物线”的定义得到，运用勾股定理得出，进一步得出，，再根据正切的定义得到，进而得出，，则有或，再分2种情况求出对应的值即可；
（3）利用三角形的面积公式表示出，则有，整理得到，结合当时，的最小值为1，利用二次函数的性质求出和对应的值，即可求出抛物线的解析式．
（1）解：抛物线是“直角型抛物线”，理由如下：
令，则，
解得：，，
，，
，
令，则，
，
，，
，
为直角三角形，
抛物线是“直角型抛物线”．
（2）解：令，则，
，
令，则，
，，
，
抛物线是“直角型抛物线”，
为直角三角形，且，
，
，
整理得：，
，
整理得：，，
在中，，
，
，
，即，
解得：或（不符合题意，舍去），
，，
或，
，即，
，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
综上所述，的值为或．
（3）解：抛物线是“直角型抛物线”，
为直角三角形，且，
由（2）得，，，，
，
，
，
，
，
，
函数的对称轴为，
由题意得，，
①当，即，
当时，取最小值1，
此时，
解得：（舍去）；
②当时，即，
当时，取最小值1，
此时，
解得：（舍去）；
③当，即，
当时，取最小值1，
此时，
解得：，
，，
解得：，
抛物线的解析式为；
综上所述，，抛物线的解析式为．
25．【答案】（1）证明：连接DE并延长，交CB的延长线于点G，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
∵AD∥BC，
∴，
∴.
∴EF∥BC.
（2）解：①记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接，如图所示：
∵点O为外接圆圆心，
∴，
∵，AE=1，
∴，
∵，
∴，
在△AEO和△ADO中，
，
∴（SSS），
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在△FAO和△OAB中，
，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴外接圆半径为；
②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q，
∵AD=AE=1，，
∴AB=3AE=3，
∵，BC=4，
∴，即，
∴AP=1=AD=AE，
∵BE=AP-AE=2，PE=AE+AP=2，
∴E为BP中点，
∵，
∴，
∴，
∴∠DCN=∠DMC=∠CEM，
∴EM∥CD，
∴M为BC的中点，
∴CM=BM=2，
∵BP=BC=4，
∴∠P=∠DCM，
∵∠ECP=∠DMC，
∴△ECP∽△DMC，
∴，
设DP=a，则CD=3a，CP=4a，
∴，
解得：a=，
∴CD=.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接DE并延长，交CB的延长线于点G，根据平行线分线段成比例定理即可得出结论；
（2）①记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接，先证明，再证明，则，即，求得；
②首先将条件转化为成线段和角度的关系，由易得，再根据相似性质得出△ECP∽△DMC，多组相似转化，设DP=a，则CD=3a，CP=4a建立方程，求出a的值即可.
（1）证明：延长交于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）①解：记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接，
∵点O为外接圆圆心，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴外接圆半径为；
②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q，
∵，
∴，
∴，
由①知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由，
得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴设，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
解得：，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
∴，
∴，
而，
∴在中，由勾股定理得，，
∵，
∴．
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