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湖南省常德市2025年中考三模数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025·常德模拟）下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C．－1 D．0
2．（2025·常德模拟）下列选项中错误是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·常德模拟）先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·常德模拟）我国人工智能技术在近年得到了蓬勃发展，其中Deepseek（深度求索）在2025年以各项性能在全球排名前列，成为了各大国家争相学习的对象．据统计，某校七个班了解并使用过人工智能AI软件的同学人数分别为：27，25，29，30，26，28，30．那么这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．25和30 B．25和29 C．28和30 D．28和29
5．（2025·常德模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·常德模拟）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·常德模拟）如图，在 ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．（2025·常德模拟）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（　　）
A．25 B．22 C．19 D．18
9．（2025·常德模拟）如图，是的直径，过点的切线与的延长线相交于点，且，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·常德模拟）已知：二次函数的图象如图所示，以下结论中：①；②；③；④两根分别为，1；⑤．其中正确的选项有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（2025·常德模拟）在函数 中，自变量 的取值范围是　 　．
12．（2025·常德模拟）新时代我国教育事业取得了历史性成就，目前我国已建成世界上规模最大的教育体系，教育现代化发展总体水平跨入世界中上国家行列，其中高等教育在学总规模达到4430万人，处于高等教育普及化阶段.4430万用科学记数法表示为　 　．
13．（2025·常德模拟）计算：　 　．
14．（2025·常德模拟）不等式组的解集是　 　．
15．（2025·常德模拟）如图，在中，D是的中点，，，则的长是　 　．
16．（2025·常德模拟）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为　 　．
17．（2025·常德模拟）如图，是的直径，点、在上，，则　 　度．
18．（2025·常德模拟）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为　 　．
三、解答题（19-20每题6分，21-22每题8分，23-24每题9分，25-26每题10分，共66分）
19．（2025·常德模拟）计算：．
20．（2025·常德模拟）先化简，再求值： ，其中m满足： .
21．（2025·常德模拟）近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了142亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进7件A种娃娃和购进10件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多3元．
（1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元
（2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1600元的资金购进A、B两种娃娃共200个，那么最多购买A种娃娃多少个
22．（2025·常德模拟）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为，求黄鹤楼的高度（参考数据：）．
23．（2025·常德模拟）为了有效落实“双减”政策，某校随机抽取部分学生，开展了“书面作业完成时间”问卷调查．根据调查结果，绘制了如下不完整的统计图表：
频数分布统计表
组别 时间（分钟） 频数
6
14
4
根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）频数分布统计表中的　　，　　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）已知该校有1000名学生，估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有多少人？
（4）若组有两名男同学、两名女同学，从中随机抽取两名学生了解情况，请用列表或画树状图的方法，求出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率．
24．（2025·常德模拟）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与坐标轴交于、两点，连接，．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？
25．（2025·常德模拟）【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】
（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：．
【模型应用】
（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：
①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
【拓展提升】
（3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：．
26．（2025·常德模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：；
（3）如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念；有理数的概念
【解析】【解答】解：A、是分数，属于有理数，A不符合题意；
B、π是无理数，B符合题意；
C、-1是整数，属于有理数，C不符合题意；
D、0是整数，属于有理数，D不符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据无限不循环小数叫做无理数，常见的无理数有：π，，分数和整数统称为有理数即可求解.
2．【答案】D
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；化简多重符号有理数；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：A：，故A正确，
B：，故B正确；
C：，故C正确；
D：，故D错误；
故答案为：D.
【分析】根据零指数幂、绝对值的意义、相反数以及算术平方根的定义，进行判断即可．
3．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该立体图形的主视图是 ，
故答案为：B．
【分析】本题考查简单几何体的三视图．根据主视图的定义： 从物体的正面观察，物体的影像投影在背后的投影面上，这投影影像称为正视图 通过观察立体图形，再根据主视图的定义可选出选项．
4．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将人数从小到大排列：25，26，27，28，29，30，30．
位于最中间的是28，所以中位数为，除30出现2次外，其余都只出现1次，所以众数为.
故答案为：C.
【分析】根据中位数和众数的概念（一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，一组数据按从小到大（或从大到小）排序后，位于最中间的数（或中间两数的平均数）是这组数据的中位数.）求解.
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴该选项计算错误，不符合题意；
B、∵，∴该选项计算正确，符合题意；
C、∵，∴该选项计算不正确，不符合题意；
D、∵，∴该选项计算不正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法，积的乘方，分别对各个选项计算验证，即可解答.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：D．
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此列出关于字母c的方程，求解即可得出c的值.
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵在 ABCD中，AB＝8，
∴CD＝AB＝8，AB∥CD，
∵AE＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝5，
∵CF∥DE，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF＝8，
∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．
故答案为：C．
【分析】先证出四边形DEFC是平行四边形，再利用平行四边形的性质可得DC＝EF＝8，最后利用线段的和差求出BF的长即可.
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由题意可得，MN垂直平分BC，
∴BD=CD，
∵△ABD的周长是AB＋AD＋BD，
∴AB＋AD＋BD=AB＋AD＋CD=AB+AC，
∵AB=7，AC=12，
∴AB+AC=19，
∴ △ABD的周长＝19．
故答案为：C.
【分析】根据题意可得MN垂直平分BC，即可得到BD=CD，然后得到AB＋AD＋BD=AB+AC，从而可以求得△ABD的周长.
9．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
∵DC是的切线，
∴OD⊥DC，
∴∠ODC=90°，
∴∠DOC+∠C=90°，
∵OA=OD，
∴∠DAC=∠ADO，
∴∠DOC=∠DAC+∠ADO=2∠DAC，
∵∠C=3∠A，
∴2∠DAC+3∠DAC=5∠DAC=90°，
∴∠DAC=18°，
故答案为：A.
【分析】根据切线的性质得，进而求得∠DOC+∠C=90°，再根据三角形的外角性质可得∠DOC=2∠DAC，结合∠C=3∠A，即可求出∠A.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；数形结合
【解析】【解答】解：观察抛物线图像可知，开口向上，
∴，
与轴的负半轴相交，
∴，
对称轴x=-1在轴的左侧，
∴，
∴，故①错误；
∵对称轴为，
即，
即，
∴，
故②错误；
根据抛物线的性质可知，当时，有最小值，
∴当x=m时，y=（m≠-1），
即，故③正确；
∵抛物线的对称轴为，且与轴的一个交点的横坐标为1，
∴根据二次函数的对称性可知抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为，
∴二元一次方程的两根分别是1，，故④正确；
通过观察图像可知，当时，，
即，故⑤正确，
综上所述，正确选项有③④⑤共3个，
故答案为：B．
【分析】直接根据二次函数图象与系数的关系及性质进行求解即可.
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】在函数 中，分母不为0，
则 ，即 ，
故答案为： .
【分析】在函数 中，分母不为0，则x-3≠0，求出x的取值范围即可.
12．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4430万=44300000，
将44300000用科学记数法表示为，
故答案为：．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．当原数为较大数时，n等于原数的整数位数减去1.
13．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：。
【分析】先对各个二次根式进行化简，然后再根据二次根式的乘法运算法则进行运算即可求解。
14．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
将不等式①②的解集在数轴上表示为：
不等式组的解集为，
故答案为：．
【分析】分别求的两个不等式的解集，再将两个不等式的解集在数轴上表示出来，其中解集的求公共部分就是不等式组的解集.
15．【答案】3
【知识点】等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点D是Rt△ABC斜边AC的中点，AC=6，
∴BD=CD=AD=AC=3，
∵∠BDC=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BC=BD=3，
故答案为：3.
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BD=CD=AD=3，再根据∠BDC=60°得△BCD是等边三角形，然后根据等边三角形的性质可得出BC的长.
16．【答案】20
【知识点】相似三角形的实际应用；8字型相似模型
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴，
如图，过作于点，交于点，
∴，，
∴，即，
∴（），
即小孔到的距离为，
故答案为：．
【分析】由题可得，过作于点，交于点，利根据相似三角形的对应边上高的比等于相似比解题即可.
17．【答案】120
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ADC=30°，
∴∠AOC=2∠ADC=60°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=120°，
故答案为：120°.
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠AOC=60°，结合平角的定义可得∠BOC=180°-∠AOC=120°，即可得解．
18．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解根据题意可知，点B'是点B向上平移2个单位，再绕原点逆时针旋转105°得到的，
∴将点B（，-1）向上平移2个单位所得到点M的坐标为（，1），如图所示：
过点M作x轴的垂线，垂足为F，则OF=，MF=1，
在Rt△MOF中，tan∠MOF==，OM=，
∴∠MOF=30°，
由旋转的性质可知，BO'=MO=2，∠MOB'=105°，
∴∠B'OF=135°，
过点B'作y轴的垂线，垂足为E，
∴∠B'OE=∠B'OF-∠EOF=45°，
∴△B'OE是等腰直角三角形，
∵B；O=2，
∴B'E=OE=，
∴点B'得坐标为（-，），
故答案为：（-，）.
【分析】根据体重的定义，画出示意图，结合图形旋转及平移的性质即可解决问题.
19．【答案】解：原式=-+（-2）+1
=-+-2+1
=（--2+1）+
=.
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算负整数指数幂、特殊角三角函数值、实数的绝对值以及零指数幂，再根据实数的运算法则求解即可．
20．【答案】解：原式为
=
=
=
= ，
又∵m满足 ，即 ，将 代入上式化简的结果，
∴原式= ．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】将分式运用完全平方公式及平方差公式进行化简，并根据m所满足的条件得出 ，将其代入化简后的公式，即可求得答案．
21．【答案】（1）解：设每个A种娃娃的进价是x元，则每个B种娃娃的进价是（x-3）元．
由题意可得：7x=10（x-3），
解得：x=10，
则x-3=7．
答：每个A种娃娃进价10元，每个B种娃娃进价7元.
（2）解：设购买A种娃娃a个，则购买B种娃娃（200-a）个．
根据题意可得：10a+7（200-a）≤1600，
解得：m≤，
∵a为整数，
∴a取得最大的整数为66，
答：最多购买A种娃娃66个.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个A种娃娃的进价是x元，则每个B种娃娃的进价是（x-3）元，根据购进7件A种娃娃和购进10件B种娃娃的费用相同，列出方程求解即可；
（2）设购买A种娃娃a个，则购买B种娃娃（200-a）个．利用“总价=单价×数量”，结合总价不超过1600元，列出以一次不等式求出a的取值范围，再取其中最大整数解即可得到答案．
（1）解：设每个B种娃娃的进价是x元，则每个A种娃娃的进价是元．
由题意可得，
解得，
则．
即每个A种娃娃进价10元，每个B种娃娃进价7元；
（2）解：设购买A种娃娃m个，则购买B种娃娃个．
，
解得，
因为m为整数，所以m最大为66，
即最多购买A种娃娃66个．
22．【答案】解：过点C作CH∥BD，延长BA交CH于点H，如图所示：
由题意得∠ABD=∠CDB=90°，
∴∠AHC=180°-90°=90°，
∴四边形BDCH是矩形，
∴BH=CD=102m，
在Rt△BCH中，∠BCH=63°，tan∠BCH=，
∴CH=，
在Rt△ACH中，∠ACH=45°，
∴∠CAH=∠ACH=45°，
∴AH=CH=51m，
∴AB=BH-AH=51m，
答：黄鹤楼的高度约为51m.
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点C作CH∥BD，延长BA交CH于点H，在Rt△BCHRt△ACH中解直角三角形，求出CH、AH，即可得出答案.
23．【答案】（1）18；8
（2）解：根据（1）中数据补全频数分布直方图，如下图：
（3）解：估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有（人，
答：估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有240人.
（4）解：从E组随机抽取两名学生恰好是一男一女的可能情况列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1 （男1，男 （男1，女 （男1，女
男2 （男2，男 （男2，女 （男2，女
女1 （女1，男 （女1，男 （女1，女
女2 （女2，男 （女2，男 （女1，女
由表可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果（男1，女、（男1，女、（男2，女、（男2，女、（女1，男、（女1，男、（女2，男、（女2，男2）共有8种，
抽取的两名同学恰好是一男一女的概率.
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据扇形统计图和条形统计图可知，B组所占百分比为28%，频数为14，所以，抽取的总人数为：（人），
∴m=50×36%=18，
∴n=50-6-14-18-4=8，
故答案为：18，8；
【分析】（1）根据扇形统计图和条形统计图可知，B组所占百分比为28%，频数为14，由B组的频数除以所占百分比得出抽取的总人数，即可解决问题；
（2）根据（1）中所得m、n的值，补全频数分布直方图即可；
（3）根据用样本估计总体，用1000乘以样本中D、E两组的人数所占的百分比，即可得出答案；
（4）列表可得出所有等可能得结果数，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．
（1）抽取的总人数为：（人），
∴m=50×36%=18，
∴n=50-6-14-18-4=8，
故答案为：18，8；
（2）数分布直方图补全如下：
（3）（人，
答：估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有240人；
（4）列表如下：
　 男1 男2 女1 女2
男1 　 （男1，男 （男1，女 （男1，女
男2 （男2，男 　 （男2，女 （男2，女
女1 （女1，男 （女1，男 　 （女1，女
女2 （女2，男 （女2，男 （女1，女 　
由表可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果有8种，
抽取的两名同学恰好是一男一女的概率．
24．【答案】（1）解：∵点C（1，4）再反比例函数图象上，
∴k=1×4=4，
∴反比例函数解析式为y=，
∵点D（4，m）再反比例函数图像上，
∴m=1，D（4，1）
∵∵点C（1，4），点D（4，1）在一次函数y=ax+b的图像上，
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为：.
（2）解：设直线AB向下平移m个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点，
则平移后的函数解析式是y=-x+5-m，
联立得：=-x+5-m，
整理得：，
∴，
∴5-m=4，
∴m=9或m=1，
∴ 将直线AB向下平移1或9个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数和一次函数解析式即可；
（2）设平移后直线的解析式为y=-x+5-m，联立方程，利用一元二次方程的根的判别式求得m的值即可.
（1）解：∵反比例函数过点，，
∴，
解得：，，
反比例函数解析式为：，点，
∵一次函数解析式过点，，
∴，
解得：．
∴一次函数解析式为：；
（2）解： 设直线向下平移n个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点，
则平移后的解析式为，
联立两个函数得：，
整理得：，
，
∴，或，
∴直线向下平移1个单位长度或向下平移9个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点．
25．【答案】解：（1）在△AMD和△AND中，
，
∴△AMD≌△AND（SSS），
∴∠AMD=∠AND；
（2）选择①为条件，②为结论，
在AC取点N，使AN=AM，连接DN，如图所示：
∵AD平分∠MAN，
∴∠MAD=∠NAD，
在△AMD和△AND中，
，
∴△AMD≌△AND（SAS），
∴∠AMD=∠AND，MD=ND，
∵∠AMD=2∠C，
∴∠AND=2∠C，
∵∠AND=∠NDC+∠C，
∴∠NDC=∠C，
∴ND=NC，
∴CN=MD，
∵AC=AN+CN，
∴AC=AM+MD；
选择②为条件，①为结论
在AC取点N，使AN=AM，连接DN，如图所示：
∵AD平分∠MAN，
∴∠MAD=∠NAD，
在△AMD和△AND中，
，
∴△AMD≌△AND（SAS），
∴∠AMD=∠AND，MD=ND，
∵AC=AN+CN，
又∵AC=AM+MD，
∴CN=MD，
∴CN=DN，
∴∠NDC=∠C，
∵∠AND=∠NDC+∠C=2∠C，
∴∠AMD=2∠C；
（3）连接BD，取AE的中点F，连接BF，如图所示，
∵∵，
∴AB=BC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AC为的直径，
∴∠ABC=90°，
∵点F是AE的中点，
∴AE=2AF=2BF，
∴AF=BF，
∴∠BAF=∠ABF，
∵∠BAF=∠BCD，∠DBC=∠DAC，
∴∠BAF=∠ABF=∠BCD=∠DBC=∠DAC，
在△ABF和△BCD中，
，
∴△ABF≌△CBD（AAS），
∴AF=CD，
∴AE=2CD.
【知识点】全等三角形的实际应用；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）直接利用证明△AMD≌△AND即可得出结论；
（2）选择①为条件，②为结论：在AC取点N，使AN=AM，连接DN，先根据SAS证明△AMD≌△AND可得∠AMD=∠AND，MD=ND，再结合∠AMD=2∠C可得∠NDC=∠C即可得出ND=NC，进而即可得出结论；选择②为条件，①为结论：在AC取点N，使AN=AM，连接DN，先根据SAS证明△AMD≌△AND可得∠AMD=∠AND，MD=ND，再根据AC=AM+MD即可得出ND=NC，进而得到∠NDC=∠C，即可得出结论；
（3）连接BD，取AE的中点F，连接BF，根据，可得，根据AC为的直径，
∠ABC=90°，根据中点定义和直角三角形的性质可得∴AE=2AF=2BF，根据圆周角定理可得∠BAF=∠ABF=∠BCD=∠DBC=∠DAC，进而可证明△ABF≌△CBD，从而得到AF=CD，即可得出结论．
26．【答案】（1）解：该抛物线的顶点为，
∴该抛物线的对称轴为直线，
，
，
将代入解析式，则，
，
抛物线的解析式表达式为；
（2）证明：如图1，延长交x轴于点D，
由（1）知抛物线的解析式表达式为，则，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得：
直线的解析式为，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：过点作轴，交x轴于点G，
令，
即，
解得：，
根据题意得：，
，
轴，轴，
，
，
，
，即，
，
，
点的横坐标为，
由折叠的性质得到，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
，
，
，
，
，
，，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定；二次函数-面积问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出该抛物线的对称轴为直线，再求出b和c的值，最后求抛物线的表达式即可；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式为，再利用两点间距离公式求出，最后利用相似三角形的判定与性质证明求解即可；
（3）利用相似三角形的判定方法求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，最后利用三角形的面积公式计算求解即可.
（1）解：该抛物线的顶点为，即该抛物线的对称轴为，
，
，
将代入解析式，则，
，
抛物线的解析式表达式为；
（2）证明：如图1，延长交x轴于点D，
由（1）知抛物线的解析式表达式为，则，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得：
直线的解析式为，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：过点作轴，交x轴于点G，
令，即，
解得：，
根据题意得：，
，
轴，轴，
，
，
，
，即，
，
，
点的横坐标为，
由折叠的性质得到，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
，
，
，
，
，
，，
．
1 / 1湖南省常德市2025年中考三模数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025·常德模拟）下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C．－1 D．0
【答案】B
【知识点】无理数的概念；有理数的概念
【解析】【解答】解：A、是分数，属于有理数，A不符合题意；
B、π是无理数，B符合题意；
C、-1是整数，属于有理数，C不符合题意；
D、0是整数，属于有理数，D不符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据无限不循环小数叫做无理数，常见的无理数有：π，，分数和整数统称为有理数即可求解.
2．（2025·常德模拟）下列选项中错误是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；化简多重符号有理数；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：A：，故A正确，
B：，故B正确；
C：，故C正确；
D：，故D错误；
故答案为：D.
【分析】根据零指数幂、绝对值的意义、相反数以及算术平方根的定义，进行判断即可．
3．（2025·常德模拟）先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该立体图形的主视图是 ，
故答案为：B．
【分析】本题考查简单几何体的三视图．根据主视图的定义： 从物体的正面观察，物体的影像投影在背后的投影面上，这投影影像称为正视图 通过观察立体图形，再根据主视图的定义可选出选项．
4．（2025·常德模拟）我国人工智能技术在近年得到了蓬勃发展，其中Deepseek（深度求索）在2025年以各项性能在全球排名前列，成为了各大国家争相学习的对象．据统计，某校七个班了解并使用过人工智能AI软件的同学人数分别为：27，25，29，30，26，28，30．那么这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．25和30 B．25和29 C．28和30 D．28和29
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将人数从小到大排列：25，26，27，28，29，30，30．
位于最中间的是28，所以中位数为，除30出现2次外，其余都只出现1次，所以众数为.
故答案为：C.
【分析】根据中位数和众数的概念（一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，一组数据按从小到大（或从大到小）排序后，位于最中间的数（或中间两数的平均数）是这组数据的中位数.）求解.
5．（2025·常德模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴该选项计算错误，不符合题意；
B、∵，∴该选项计算正确，符合题意；
C、∵，∴该选项计算不正确，不符合题意；
D、∵，∴该选项计算不正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法，积的乘方，分别对各个选项计算验证，即可解答.
6．（2025·常德模拟）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：D．
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此列出关于字母c的方程，求解即可得出c的值.
7．（2025·常德模拟）如图，在 ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵在 ABCD中，AB＝8，
∴CD＝AB＝8，AB∥CD，
∵AE＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝5，
∵CF∥DE，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF＝8，
∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．
故答案为：C．
【分析】先证出四边形DEFC是平行四边形，再利用平行四边形的性质可得DC＝EF＝8，最后利用线段的和差求出BF的长即可.
8．（2025·常德模拟）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（　　）
A．25 B．22 C．19 D．18
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由题意可得，MN垂直平分BC，
∴BD=CD，
∵△ABD的周长是AB＋AD＋BD，
∴AB＋AD＋BD=AB＋AD＋CD=AB+AC，
∵AB=7，AC=12，
∴AB+AC=19，
∴ △ABD的周长＝19．
故答案为：C.
【分析】根据题意可得MN垂直平分BC，即可得到BD=CD，然后得到AB＋AD＋BD=AB+AC，从而可以求得△ABD的周长.
9．（2025·常德模拟）如图，是的直径，过点的切线与的延长线相交于点，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
∵DC是的切线，
∴OD⊥DC，
∴∠ODC=90°，
∴∠DOC+∠C=90°，
∵OA=OD，
∴∠DAC=∠ADO，
∴∠DOC=∠DAC+∠ADO=2∠DAC，
∵∠C=3∠A，
∴2∠DAC+3∠DAC=5∠DAC=90°，
∴∠DAC=18°，
故答案为：A.
【分析】根据切线的性质得，进而求得∠DOC+∠C=90°，再根据三角形的外角性质可得∠DOC=2∠DAC，结合∠C=3∠A，即可求出∠A.
10．（2025·常德模拟）已知：二次函数的图象如图所示，以下结论中：①；②；③；④两根分别为，1；⑤．其中正确的选项有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；数形结合
【解析】【解答】解：观察抛物线图像可知，开口向上，
∴，
与轴的负半轴相交，
∴，
对称轴x=-1在轴的左侧，
∴，
∴，故①错误；
∵对称轴为，
即，
即，
∴，
故②错误；
根据抛物线的性质可知，当时，有最小值，
∴当x=m时，y=（m≠-1），
即，故③正确；
∵抛物线的对称轴为，且与轴的一个交点的横坐标为1，
∴根据二次函数的对称性可知抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为，
∴二元一次方程的两根分别是1，，故④正确；
通过观察图像可知，当时，，
即，故⑤正确，
综上所述，正确选项有③④⑤共3个，
故答案为：B．
【分析】直接根据二次函数图象与系数的关系及性质进行求解即可.
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（2025·常德模拟）在函数 中，自变量 的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】在函数 中，分母不为0，
则 ，即 ，
故答案为： .
【分析】在函数 中，分母不为0，则x-3≠0，求出x的取值范围即可.
12．（2025·常德模拟）新时代我国教育事业取得了历史性成就，目前我国已建成世界上规模最大的教育体系，教育现代化发展总体水平跨入世界中上国家行列，其中高等教育在学总规模达到4430万人，处于高等教育普及化阶段.4430万用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4430万=44300000，
将44300000用科学记数法表示为，
故答案为：．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．当原数为较大数时，n等于原数的整数位数减去1.
13．（2025·常德模拟）计算：　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：。
【分析】先对各个二次根式进行化简，然后再根据二次根式的乘法运算法则进行运算即可求解。
14．（2025·常德模拟）不等式组的解集是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
将不等式①②的解集在数轴上表示为：
不等式组的解集为，
故答案为：．
【分析】分别求的两个不等式的解集，再将两个不等式的解集在数轴上表示出来，其中解集的求公共部分就是不等式组的解集.
15．（2025·常德模拟）如图，在中，D是的中点，，，则的长是　 　．
【答案】3
【知识点】等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点D是Rt△ABC斜边AC的中点，AC=6，
∴BD=CD=AD=AC=3，
∵∠BDC=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BC=BD=3，
故答案为：3.
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BD=CD=AD=3，再根据∠BDC=60°得△BCD是等边三角形，然后根据等边三角形的性质可得出BC的长.
16．（2025·常德模拟）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为　 　．
【答案】20
【知识点】相似三角形的实际应用；8字型相似模型
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴，
如图，过作于点，交于点，
∴，，
∴，即，
∴（），
即小孔到的距离为，
故答案为：．
【分析】由题可得，过作于点，交于点，利根据相似三角形的对应边上高的比等于相似比解题即可.
17．（2025·常德模拟）如图，是的直径，点、在上，，则　 　度．
【答案】120
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ADC=30°，
∴∠AOC=2∠ADC=60°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=120°，
故答案为：120°.
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠AOC=60°，结合平角的定义可得∠BOC=180°-∠AOC=120°，即可得解．
18．（2025·常德模拟）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解根据题意可知，点B'是点B向上平移2个单位，再绕原点逆时针旋转105°得到的，
∴将点B（，-1）向上平移2个单位所得到点M的坐标为（，1），如图所示：
过点M作x轴的垂线，垂足为F，则OF=，MF=1，
在Rt△MOF中，tan∠MOF==，OM=，
∴∠MOF=30°，
由旋转的性质可知，BO'=MO=2，∠MOB'=105°，
∴∠B'OF=135°，
过点B'作y轴的垂线，垂足为E，
∴∠B'OE=∠B'OF-∠EOF=45°，
∴△B'OE是等腰直角三角形，
∵B；O=2，
∴B'E=OE=，
∴点B'得坐标为（-，），
故答案为：（-，）.
【分析】根据体重的定义，画出示意图，结合图形旋转及平移的性质即可解决问题.
三、解答题（19-20每题6分，21-22每题8分，23-24每题9分，25-26每题10分，共66分）
19．（2025·常德模拟）计算：．
【答案】解：原式=-+（-2）+1
=-+-2+1
=（--2+1）+
=.
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算负整数指数幂、特殊角三角函数值、实数的绝对值以及零指数幂，再根据实数的运算法则求解即可．
20．（2025·常德模拟）先化简，再求值： ，其中m满足： .
【答案】解：原式为
=
=
=
= ，
又∵m满足 ，即 ，将 代入上式化简的结果，
∴原式= ．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】将分式运用完全平方公式及平方差公式进行化简，并根据m所满足的条件得出 ，将其代入化简后的公式，即可求得答案．
21．（2025·常德模拟）近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了142亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进7件A种娃娃和购进10件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多3元．
（1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元
（2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1600元的资金购进A、B两种娃娃共200个，那么最多购买A种娃娃多少个
【答案】（1）解：设每个A种娃娃的进价是x元，则每个B种娃娃的进价是（x-3）元．
由题意可得：7x=10（x-3），
解得：x=10，
则x-3=7．
答：每个A种娃娃进价10元，每个B种娃娃进价7元.
（2）解：设购买A种娃娃a个，则购买B种娃娃（200-a）个．
根据题意可得：10a+7（200-a）≤1600，
解得：m≤，
∵a为整数，
∴a取得最大的整数为66，
答：最多购买A种娃娃66个.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个A种娃娃的进价是x元，则每个B种娃娃的进价是（x-3）元，根据购进7件A种娃娃和购进10件B种娃娃的费用相同，列出方程求解即可；
（2）设购买A种娃娃a个，则购买B种娃娃（200-a）个．利用“总价=单价×数量”，结合总价不超过1600元，列出以一次不等式求出a的取值范围，再取其中最大整数解即可得到答案．
（1）解：设每个B种娃娃的进价是x元，则每个A种娃娃的进价是元．
由题意可得，
解得，
则．
即每个A种娃娃进价10元，每个B种娃娃进价7元；
（2）解：设购买A种娃娃m个，则购买B种娃娃个．
，
解得，
因为m为整数，所以m最大为66，
即最多购买A种娃娃66个．
22．（2025·常德模拟）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为，求黄鹤楼的高度（参考数据：）．
【答案】解：过点C作CH∥BD，延长BA交CH于点H，如图所示：
由题意得∠ABD=∠CDB=90°，
∴∠AHC=180°-90°=90°，
∴四边形BDCH是矩形，
∴BH=CD=102m，
在Rt△BCH中，∠BCH=63°，tan∠BCH=，
∴CH=，
在Rt△ACH中，∠ACH=45°，
∴∠CAH=∠ACH=45°，
∴AH=CH=51m，
∴AB=BH-AH=51m，
答：黄鹤楼的高度约为51m.
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点C作CH∥BD，延长BA交CH于点H，在Rt△BCHRt△ACH中解直角三角形，求出CH、AH，即可得出答案.
23．（2025·常德模拟）为了有效落实“双减”政策，某校随机抽取部分学生，开展了“书面作业完成时间”问卷调查．根据调查结果，绘制了如下不完整的统计图表：
频数分布统计表
组别 时间（分钟） 频数
6
14
4
根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）频数分布统计表中的　　，　　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）已知该校有1000名学生，估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有多少人？
（4）若组有两名男同学、两名女同学，从中随机抽取两名学生了解情况，请用列表或画树状图的方法，求出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）18；8
（2）解：根据（1）中数据补全频数分布直方图，如下图：
（3）解：估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有（人，
答：估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有240人.
（4）解：从E组随机抽取两名学生恰好是一男一女的可能情况列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1 （男1，男 （男1，女 （男1，女
男2 （男2，男 （男2，女 （男2，女
女1 （女1，男 （女1，男 （女1，女
女2 （女2，男 （女2，男 （女1，女
由表可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果（男1，女、（男1，女、（男2，女、（男2，女、（女1，男、（女1，男、（女2，男、（女2，男2）共有8种，
抽取的两名同学恰好是一男一女的概率.
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据扇形统计图和条形统计图可知，B组所占百分比为28%，频数为14，所以，抽取的总人数为：（人），
∴m=50×36%=18，
∴n=50-6-14-18-4=8，
故答案为：18，8；
【分析】（1）根据扇形统计图和条形统计图可知，B组所占百分比为28%，频数为14，由B组的频数除以所占百分比得出抽取的总人数，即可解决问题；
（2）根据（1）中所得m、n的值，补全频数分布直方图即可；
（3）根据用样本估计总体，用1000乘以样本中D、E两组的人数所占的百分比，即可得出答案；
（4）列表可得出所有等可能得结果数，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．
（1）抽取的总人数为：（人），
∴m=50×36%=18，
∴n=50-6-14-18-4=8，
故答案为：18，8；
（2）数分布直方图补全如下：
（3）（人，
答：估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有240人；
（4）列表如下：
　 男1 男2 女1 女2
男1 　 （男1，男 （男1，女 （男1，女
男2 （男2，男 　 （男2，女 （男2，女
女1 （女1，男 （女1，男 　 （女1，女
女2 （女2，男 （女2，男 （女1，女 　
由表可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果有8种，
抽取的两名同学恰好是一男一女的概率．
24．（2025·常德模拟）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与坐标轴交于、两点，连接，．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？
【答案】（1）解：∵点C（1，4）再反比例函数图象上，
∴k=1×4=4，
∴反比例函数解析式为y=，
∵点D（4，m）再反比例函数图像上，
∴m=1，D（4，1）
∵∵点C（1，4），点D（4，1）在一次函数y=ax+b的图像上，
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为：.
（2）解：设直线AB向下平移m个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点，
则平移后的函数解析式是y=-x+5-m，
联立得：=-x+5-m，
整理得：，
∴，
∴5-m=4，
∴m=9或m=1，
∴ 将直线AB向下平移1或9个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数和一次函数解析式即可；
（2）设平移后直线的解析式为y=-x+5-m，联立方程，利用一元二次方程的根的判别式求得m的值即可.
（1）解：∵反比例函数过点，，
∴，
解得：，，
反比例函数解析式为：，点，
∵一次函数解析式过点，，
∴，
解得：．
∴一次函数解析式为：；
（2）解： 设直线向下平移n个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点，
则平移后的解析式为，
联立两个函数得：，
整理得：，
，
∴，或，
∴直线向下平移1个单位长度或向下平移9个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点．
25．（2025·常德模拟）【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】
（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：．
【模型应用】
（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：
①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
【拓展提升】
（3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：．
【答案】解：（1）在△AMD和△AND中，
，
∴△AMD≌△AND（SSS），
∴∠AMD=∠AND；
（2）选择①为条件，②为结论，
在AC取点N，使AN=AM，连接DN，如图所示：
∵AD平分∠MAN，
∴∠MAD=∠NAD，
在△AMD和△AND中，
，
∴△AMD≌△AND（SAS），
∴∠AMD=∠AND，MD=ND，
∵∠AMD=2∠C，
∴∠AND=2∠C，
∵∠AND=∠NDC+∠C，
∴∠NDC=∠C，
∴ND=NC，
∴CN=MD，
∵AC=AN+CN，
∴AC=AM+MD；
选择②为条件，①为结论
在AC取点N，使AN=AM，连接DN，如图所示：
∵AD平分∠MAN，
∴∠MAD=∠NAD，
在△AMD和△AND中，
，
∴△AMD≌△AND（SAS），
∴∠AMD=∠AND，MD=ND，
∵AC=AN+CN，
又∵AC=AM+MD，
∴CN=MD，
∴CN=DN，
∴∠NDC=∠C，
∵∠AND=∠NDC+∠C=2∠C，
∴∠AMD=2∠C；
（3）连接BD，取AE的中点F，连接BF，如图所示，
∵∵，
∴AB=BC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AC为的直径，
∴∠ABC=90°，
∵点F是AE的中点，
∴AE=2AF=2BF，
∴AF=BF，
∴∠BAF=∠ABF，
∵∠BAF=∠BCD，∠DBC=∠DAC，
∴∠BAF=∠ABF=∠BCD=∠DBC=∠DAC，
在△ABF和△BCD中，
，
∴△ABF≌△CBD（AAS），
∴AF=CD，
∴AE=2CD.
【知识点】全等三角形的实际应用；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）直接利用证明△AMD≌△AND即可得出结论；
（2）选择①为条件，②为结论：在AC取点N，使AN=AM，连接DN，先根据SAS证明△AMD≌△AND可得∠AMD=∠AND，MD=ND，再结合∠AMD=2∠C可得∠NDC=∠C即可得出ND=NC，进而即可得出结论；选择②为条件，①为结论：在AC取点N，使AN=AM，连接DN，先根据SAS证明△AMD≌△AND可得∠AMD=∠AND，MD=ND，再根据AC=AM+MD即可得出ND=NC，进而得到∠NDC=∠C，即可得出结论；
（3）连接BD，取AE的中点F，连接BF，根据，可得，根据AC为的直径，
∠ABC=90°，根据中点定义和直角三角形的性质可得∴AE=2AF=2BF，根据圆周角定理可得∠BAF=∠ABF=∠BCD=∠DBC=∠DAC，进而可证明△ABF≌△CBD，从而得到AF=CD，即可得出结论．
26．（2025·常德模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：；
（3）如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由．
【答案】（1）解：该抛物线的顶点为，
∴该抛物线的对称轴为直线，
，
，
将代入解析式，则，
，
抛物线的解析式表达式为；
（2）证明：如图1，延长交x轴于点D，
由（1）知抛物线的解析式表达式为，则，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得：
直线的解析式为，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：过点作轴，交x轴于点G，
令，
即，
解得：，
根据题意得：，
，
轴，轴，
，
，
，
，即，
，
，
点的横坐标为，
由折叠的性质得到，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
，
，
，
，
，
，，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定；二次函数-面积问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出该抛物线的对称轴为直线，再求出b和c的值，最后求抛物线的表达式即可；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式为，再利用两点间距离公式求出，最后利用相似三角形的判定与性质证明求解即可；
（3）利用相似三角形的判定方法求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，最后利用三角形的面积公式计算求解即可.
（1）解：该抛物线的顶点为，即该抛物线的对称轴为，
，
，
将代入解析式，则，
，
抛物线的解析式表达式为；
（2）证明：如图1，延长交x轴于点D，
由（1）知抛物线的解析式表达式为，则，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得：
直线的解析式为，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：过点作轴，交x轴于点G，
令，即，
解得：，
根据题意得：，
，
轴，轴，
，
，
，
，即，
，
，
点的横坐标为，
由折叠的性质得到，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
，
，
，
，
，
，，
．
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