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广东省广州市2025届中考数学试卷
一、单选题
1．下列四个选项中，负无理数的是（ ）
A． B． C．0 D．3
2．如图，将绕直角边所在直线旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．关于x的方程根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
5．某地一周的每天最高气温如下表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是（ ）
星期 一 二 三 四 五 六 日
最高气温/℃ 25 25 28 30 33 30 29
A． B．
C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若，反比例函数的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
8．如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（ ）
A． B．5 C．4 D．8
9．如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（ ）
A．当且时，则 B．当时，则
C．当且时，则 D．当时，则
二、填空题
11．如图，直线，相交于点O．若，则的度数为 ．
12．如图，在中，点，分别在，上，，若，则 ．
13．要使代数式有意义，则x的取值范围是 ．
14．如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为 ．
15．若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ．
16．已知的半径为，所在平面内有一动点，过点可以引的两条切线，，切点分别为，．点与圆心的距离为，则的取值范围是 ；若过点作交直线于点（点不与点重合），线段与交于点．设，，则关于的函数解析式为 ．
三、解答题
17．解不等式组，并在数轴上表示解集．
18．如图，，，．求证：．
19．求代数式的值，其中．
20．为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计．进入决赛的前两名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如下表所示：
选手 内容 能力 效果
甲
乙
(1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），能否以此确定两人的名次？
(2)如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照的比确定，以此计算两名选手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次；
(3)如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由．
21．如图，曲线过点．
(1)求t的值；
(2)直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l；
(3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率．
22．智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．
(1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采换的成本是多少元；（用含a的代数式表示）
(2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克．
23．宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开．
(1)求的长；
(2)求证：四边形是黄金矩形；
(3)如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由．
24．某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题．
发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置
数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．
信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．
问题解决：
(1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）；
(2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
(3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）．
25．如图1，，为中点，点在上方，连接，．
(1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形；
(2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且．
①求证：；
②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D C C D C B B A
11．
12．
13．且
14．
15．或
16．
17．，画图见解析
解：，
由①得：，
由②得：，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
则不等式组解集为．
18．见解析
证明：∵，
∴，即，
在和中，
∴
19．
解：
，
当时，
原式
．
20．(1)甲、乙的平均成绩均为90分，不能以此确定两人的名次；
(2)甲排名第一，乙排名第二；
(3)设计三项成绩的比为，理由内容是演讲的核心，占比最高，效果直接影响观众，次之，能力是基础，占比最低．（答案不唯一）
（1）解：不能以此确定两人的名次，
甲的平均成绩：（分），
乙的平均成绩：（分），
∴，
∴不能以此确定两人的名次；
（2）解：甲的平均成绩：（分），
乙的平均成绩：（分），
∴，
∴甲排名第一，乙排名第二；
（3）解：设计三项成绩的比为，理由，
内容是演讲的核心，占比最高，效果直接影响观众，次之，能力是基础，占比最低．（答案不唯一）
21．(1)
(2)，见详解
(3)
（1）解：∵曲线过点．
∴；
（2）解：由（1）得，
故，
∵直线也经过点P，
∴把代入，得，
解得，
∴；
令，则，
∴l与y轴交点的坐标为；
直线l的函数图象，如图所示；
（3）解：依题意，在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有个，分别是，
∵曲线，
则，
∴格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，
即该格点在曲线G上的概率．
22．(1)元
(2)这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克．
（1）解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．
∴用智能机器人采换的成本是（元）；
（2）解：设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克；
∴，
解得：，
经检验是原方程的解且符合题意；
∴（千克），
答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克．
23．(1)2
(2)证明见解析
(3)四边形是黄金矩形．证明见解析
（1）解：∵，矩形是黄金矩形，
∴，
∴；
（2）证明：∵折叠黄金矩形纸片，点B落在上的点E处，
∴，，
又∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形；
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是黄金矩形．
（3）解：四边形是黄金矩形，证明如下：
∵，四边形是正方形，
∴，
∴四边形是矩形；
由（2）可知，，
∵为的中点，
∴，
∴，
如图，连接，由对折可得：，，，
设，则，
∵
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴四边形是黄金矩形．
24．(1)米
(2)
(3)米
（1）解：如图，过点M作，
∵斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为0.27米，
∴，
∵，，
在中，，
∴，
∴（米）；
（2）解：如图所示：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系：
依题意，设抛物线的解析式为，
∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．
∴，
把代入，
得，
∴，
∴；
（3）解：如图所示：
∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
∴，
∴当时，，
则，
∴，
∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），
∴（米）
∵涉及安全问题，
∴（米）．
25．(1)见解析
(2)①见解析；②
（1）解：如图，
∵为中点，
∴，
根据作图可得，
∴四边形为平行四边形，
（2）①∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴且，
∴，
∴，
②∵，，
∴在的外接圆上运动，设的外接圆为
如图，设与交于点，连接，
∴
∴
∵
∴，
∵
∴
又∵
∴
又，则，
∴
∴
∴当为的直径时，取得最大值为
∴的最大值为

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