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第5章 计数原理
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.计算+…+的值为(　　)
A.2 048 B.1 024 C.1 023 D.512
2.(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为(　　)
A.20 B.-20 C.28 D.-28
3.在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各数位之和为偶数的共有(　　)
A.36个 B.24个 C.18个 D.6个
4.方程x1+x2+x3+x4+x5=9的非负整数解的个数为(　　)
A. B. C. D.
5.(x+1)10=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a10(x+2)10,则a2等于(　　)
A.180 B.-180 C.45 D.-45
6.设(2-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,那么的值为(　　)
A.- B.- C.- D.-1
7.高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组,每个小组至多可接收该班2名同学,每名同学只能报一个小组,则不同的报名方案有(　　)
A.15种 B.90种 C.120种 D.180种
8.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为m,圆柱的表面积与球的表面积之比为n,则x2-6的展开式中的常数项是(　　)
A.15 B.-15 C. D.-
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知+0!=4,则m的值可以是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
10.若m,n为正整数且n>m>1,则(　　)
A.
B.
C.m=(n-1)
D.+m
11.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,则下列说法正确的是(　　)
A.可组成360个不重复的四位数
B.可组成156个不重复的四位偶数
C.可组成96个能被3整除的不重复的四位数
D.若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列,则第85个数字为2 310
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.计划在学校公园小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂4棵桂花树,垂乳银杏、金带银杏2棵银杏树,要求2棵银杏树必须相邻,则不同的种植方法共有　　　　　种.
13.n的展开式中只有第六项的系数最大,则n=　　　　　.
14.已知,相当于从两个不同的角度考查组合数:①从n个不同的元素中选出m个元素并成一组的选法种数是;②对n个元素中的某个元素A,若A必选,有种选法,若A不选,有种选法,两者结果相同,从而得到上述等式,试根据上述思想化简下列式子:+…+=　　　　　(1≤k四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会,问:
(1)如果4人中男生和女生各选2人,有多少种选法
(2)如果男生甲与女生乙至少要有1人在内,有多少种选法
16.(15分)在①只有第6项的二项式系数最大,②第4项与第8项的二项式系数相等,③所有二项式系数的和为210这三个条件中任选一个,补充在下面横线处,解决下面两个问题.
已知(2x-1)n=a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn(n∈N*),若(2x-1)n的展开式中,　　　　　.
(1)求n的值及展开式中所有项的系数和;
(2)求展开式中含x3的项.
17.(15分)把n个正整数全排列后得到的数叫做“再生数”,“再生数”中最大的数叫做最大再生数,最小的数叫做最小再生数.
(1)求1,2,3,4的再生数的个数,以及其中的最大再生数和最小再生数;
(2)试求任意5个正整数(可相同)的再生数的个数.
18.(17分)一个口袋内有4个不同的红球,6个不同的白球.
(1)从中任取4个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种
(2)若取一个红球记2分,取一个白球记1分,从中任取5个球,使总分不少于7分的取法有多少种
19.(17分)在()n的展开式中,前三项的系数依次为M,P,N,且满足2P=M+N.
(1)若直线l:ax+by+c=0的系数a,b,c(a>b>c)为展开式中所有无理项系数,求不同直线l的条数;
(2)求展开式中系数最大的项.
参考答案
1.C　由二项式系数的性质知,+…++…+)=211=210,
+…+=210-=1 024-1=1 023.故选C.
2.B　依题意,x2y7的系数为1=8-28=-20.故选B.
3.A　因为在三位数中,各数位之和为偶数,则在三个数中,两奇一偶,
所以满足题意的数有=36(个).故选A.
4.A　求方程x1+x2+x3+x4+x5=9的非负整数解,
因为x1+x2+x3+x4+x5=9,
所以(x1+1)+(x2+1)+(x3+1)+(x4+1)+(x5+1)=14.
问题转化为将13个元素排成一列,分成5部分,一共有13个间隔,利用4个“隔板”插入即可,因此,方程x1+x2+x3+x4+x5=9的非负整数解有个.故选A.
5.C　(x+1)10=(x+2-1)10,(x+2-1)10展开式的通项为Tk+1=(x+2)10-k·(-1)k,
令10-k=2,解得k=8,故a2==45.故选C.
6.A　令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1,
再令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a4-a5=35.
两式相加除以2求得a0+a2+a4=122,
两式相减除以2可得a1+a3+a5=-121.
故=-
7.B　根据题意,5名同学需以“2,2,1”形式参加三个不同社区服务小组,即先把5名同学分成3组,每组人数分别为2,2,1,共有=15(种)分组方法,
再将3组分配到三个不同社区服务,共有15=90(种),
故选B.
8.A　设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R,
所以圆柱的体积V1=πR2·2R=2πR3,球的体积V2=R3,
所以m=
又因为圆柱的表面积S1=2πR·2R+2πR2=6πR2,球的表面积S2=4πR2,
所以n=,
所以=1,则x2-6=x2-6,
其展开式的通项为Tr+1=x12-3r(-1)r,
令12-3r=0,解得r=4,
所以常数项为(-1)4=15.故选A.
9.BC　+0!=4,=6,
∴m=2或m=3.故选BC.
10.AD　由组合数性质,可知,A正确;
,故B错误;
m=m=n,
(n-1)=(n-1),左右两边不相等,故C错误;
+m+m=(n-m+1)+m=(n+1),故D正确.故选AD.
11.BC　A选项,有=300(个)四位数,故A中说法错误;
B选项,分为两类:0在末位,则有=60(个),0不在末位,则有=96(个),所以共有60+96=156(个),故B中说法正确;
C选项,先把相加能被3整除的四个数按从小到大的顺序列举出来.即(0,1,2,3),(0,1,3,5),(0,2,3,4),(0,3,4,5),(1,2,4,5).再将它们排列成四位数,所以共有4=96(个),故C中说法正确;
D选项,首位为1的有=60个,前两位为20的有=12个,前两位为21的有=12个,此时共有60+12+12=84(个)数,因而第85个数字是前两位为23的最小数,即为2 301,故D中说法错误.故选BC.
12.240　分两步完成:
第一步,将2棵银杏树看成一个元素,考虑其顺序,有种种植方法;
第二步,将银杏树与4棵桂花树全排列,有种种植方法.
由分步乘法计数原理得,不同的种植方法共有=240(种).
13.10　由于该展开式中系数和二项式的系数相同,
故展开式中只有第六项的系数最大,第六项为中间项,
故展开式一共有11项,故n=10.
14　根据题意,从n+k个不同元素中选出m个元素并成一组的选法种数是,
若对其中的某k(1≤k则k(1≤k有一个元素被选取,有种选法,
有两个元素被选取,有种选法,
有三个元素被选取,有种选法,
……
有k个元素被选取,有种选法.
所以+…+(1≤k15.解 (1)根据题意,从5名男生中选出2人,有=10(种)选法.从4名女生中选出2人,有=6(种)选法,
则4人中男生和女生各选2人的选法有10×6=60(种).
(2)先从9人中任选4人,有=126(种)选法,其中甲、乙都没有入选,即从其他7人中任选4人的选法有=35种,所以男生甲与女生乙至少要有1人在内的选法有126-35=91(种).
16.解 (1)若选①得=5,∴n=10;
若选②得,∴n=3+7=10;
若选③得2n=210,∴n=10.令x=1得,所有项系数和为1.
(2)(2x-1)10=(-1+2x)10,Tr+1=(-1)10-r(2x)r,
令r=3,T4=(-1)7(2x)3=-960x3.
17.解 (1)1,2,3,4的再生数的个数为=24,其中最大再生数为4 321,最小再生数为1 234.
(2)需要考查5个数中相同数的个数.
若5个数各不相同,有=120(个);
若有2个数相同,则有=60(个);
若有3个数相同,则有=20(个);
若有4个数相同,则有=5(个);
若5个数全相同,则有1个.故共有206个再生数.
18.解 (1)将取出的4个球分成三类:
①取4个红球,没有白球,有种取法;
②取3个红球,1个白球,有种取法;
③取2个红球,2个白球,有种取法,
故共有=115(种)取法.
(2)设取x个红球,y个白球,
则
因此,符合题意的取法有=186(种).
19.解 (1)二项式n的展开式中,M=1,P=n,N=2,
依题意n=+1,
即n2-9n+8=0,显然n>1,解得n=8,8展开式的通项为Tr+1=,r∈N,r≤8.
当4-r不是整数,即r∈{1,2,3,5,6,7}时,Tr+1是无理项,
当r分别取1,2,3,5,6,7时,对应项的系数分别为4,7,7,,
从7,4,这5个数中取3个不同的数分别为a,b,c,使a>b>c,有=10种取法,每种取法确定一条直线,所以不同直线l的条数是10.
(2)由(1)知,8展开式的通项为Tr+1=,r∈N,r≤8.
令第r+1项的系数最大,则有
整理得解得2≤r≤3,而r∈N,因此r=2或r=3,所以8展开式中系数最大的项是T3=7,T4=7

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