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浙江省金华市横店镇横店第一初级中学两校区联考2024-2025学年八年级上学期数学月考试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024八上·金华月考）下列运动图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，符合题意；
C．不是轴对称图形，不符合题意；
D．不轴对称图形，不符合题意．
故选B．
【分析】根据轴对称图形的定义“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”进行逐项判断即可．
2．（2024八上·金华月考）某三角形的三边长分别为3，6，，则不可能是（　　）
A． B．6 C． D．
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴，
∴x不可能是9.2.
故答案为：D．
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先求出x的取值范围，再根据取值范围做出选择即可.
3．（2024八上·金华月考）下列语句不是命题的有（　　）
①全等三角形对应边相等；②过一点画已知直线的平行线；③同角的余角相等；④内错角相等吗？
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：①全等三角形对应边相等，是命题，不符合题意；
②过一点画已知直线的平行线，不是命题，符合题意；
③同角的余角相等，是命题，不符合题意；
④内错角相等吗？不是命题符合题意，
综上所述，不是命题的是②④，共2个．
故答案为：B.
【分析】根据命题的定义：判断一件事情的语句称为命题，对各个语句逐一进行判断即可.
4．（2024八上·金华月考）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学知识，说明画出的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：由作法易得OD＝O'D'，OC＝O'C'，CD＝C'D'，
在△COD与△C'O'D'中，
，
∴△COD≌△C'O'D'（SSS），
∴∠A'O'B'＝∠AOB（全等三角形的对应角相等）．
故答案为：D.
【分析】由作法易得OD＝O'D'，OC＝O'C'，CD＝C'D'，依据SSS定理得到△COD≌△C'O'D'，由全等三角形的对应角相等得到∠A'O'B'＝∠AOB．
5．（2024八上·金华月考）下列说法中，正确的是（　　）
A．三角形的三条高都在三角形内
B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．三角形中最多只有一个角不是锐角
D．三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形三条边的垂直平分线的交点
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形相关概念；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：A、 锐角三角形的三条高都在三角形内，钝角三角形有两条高在三角形外部，故A错误；
B、 钝角三角形中，钝角的外角小于内角，故B错误；
C、 三角形中最多只有一个角不是锐角，故C正确；
D. 三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形三条角平分线的交点，故D错误；
故答案为：C．
【分析】根据三角形高、外角、内角和以及垂直平分线和角平分线的性质对选项逐一进行判断即可．
6．（2024八上·金华月考）根据下列条件不能唯一画出△ABC的是（　　）
A．AB＝5，BC＝6，AC＝7 B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45°
C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90° D．AB＝3，AC＝4，∠C＝45°
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵AC与BC两边之和大于第三边，故能作出三角形，且三边知道能唯一画出△ABC，不符合题意；
B、∠B是AB、BC的夹角，故能唯一画出△ABC，不符合题意；
C、AB＝5，AC＝4，∠C＝90°，得出BC＝3，可唯一画出△ABC，不符合题意；
D、由于是SSA，所以AB＝3，AC＝4，∠C＝45°，不能唯一画出三角形ABC，符合题意.
故答案为：D.
【分析】判断其是否为唯一三角形，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，两边夹一角，或两角夹一边可确定三角形的形状，否则三角形并不是唯一存在，可能有多种情况存在，从而一一判断得出答案．
7．（2024八上·金华月考）如图，在中，点在上，平分，延长到点，使得，连结．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；邻补角；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：平分，
，
在和中，
，
，
∴∠CDB=∠EDB，
∵∠EDB=∠EDA+∠ADB，
∴∠CDB=∠EDA+∠ADB，
∵∠CDB+∠ADB=180°，∠ADE=44°，
∴∠EDA+∠ADB+∠ADB=44°+2∠ADB=180°，
∴∠ADB=68°.
故答案为：A.
【分析】先证明（SAS），可得∠CDB=∠EDB，再根据∠CDB+∠ADB=180°，即可得出答案.
8．（2024八上·金华月考）如图，已知点，，分别为，，的中点，若的面积为20，则四边形的面积为（　　）
A．10 B．9 C．8.5 D．7.5
【答案】D
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵点D、E、F分别为AC、BC，BD的中点，
∴S△ABD=S△CBD=S△ABC=10，
∴S△EBD=S△CBD=5，
∴S△AFD=S△ABD=5，S△DEF=S△EBD=2.5，
∴S四边形ADEF=S△AFD+S△DEF=7.5
故答案为：D
【分析】根据三角形一边上的中线，把三角形分成面积相等的两部分，即可得出答案.
9．（2024八上·金华月考）如图，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，则的度数为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠2是△BO1O2的外角，
∴∠O1BO2=∠2-∠1=140°-120°=20°，
∵BO1，BO2是∠ABC的三等分线，
∴=20°，∠ABC=3∠O1BO2=60°，
在△BCO1中，∠CBO1=20°，∠2=140°，
∴∠BCO1=180°-∠2-∠CBO1=20°，
∵CO1是∠ACB的平分线，
∴∠BCO1 =∠ACO1=20°，∠ACB=40°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=80°， 故答案为：C.
【分析】利用三角形的外角性质，可求出∠O1BO2=20°，结合三等分线的定义，可求出∠ABC=60°和=20°，再利用三角形内角和定理可求出∠BCO1 =20°，结合角平分线的定义可求出∠ACB=40°，再利用三角形的内角和定理即可得出答案.
10．（2024八上·金华月考）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在距地面高的处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，妈妈在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，∠CEO=∠BDO=90°，OB=OC，
∵∠BOC=90°，
∴∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°，
∴∠COE=∠OBD，
在△COE和△OBD中，，∴△COE≌△OBD（AAS），∴CE=OD，OE=DB，∵BD=1.2m，CE=1.6m，∴DE=OD-OE=CE-OE=0.4m，∵AE=1.5m，∴AD=AE-DE=1.1m，即妈妈在B处接住小丽时，小丽距离地面的高度是，
故答案为：B.
【分析】由直角三角形的性质得出∠COE=∠OBD，根据AAS可证明△COE≌△OBD，由全等三角形的性质得出CE=OD，OE=DB，求出DE的长即可得出答案.
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2024八上·金华月考）如图，，请你补充一个条件　 　，使.
【答案】
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：解：添加AB＝AC，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
故答案为：AB＝AC（答案不唯一）.
【分析】要判定△ABD≌△ACD，已知AD＝AD，∠1＝∠2，具备了一组边对应相等，一组对应角相等，故添加AB＝AC后可根据SAS判定△ABD≌△ACD．
12．（2024八上·金华月考）如图，在中，边、的垂直平分线分别交于、．若的周长为15．则　 　．
【答案】15
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ 边、的垂直平分线分别交于、 ，
∴DA=DB，EA=EC，
∵△ADE的周长为15，
∴DA+DE+EA=15，
∴DB+DE+EC=15，
∴BC=15，
故答案为：15.
【分析】利用线段的垂直平分线的性质可得，，结合周长的概念，然后通过等量代换即可得出结论．
13．（2024八上·金华月考）已知等腰三角形的一边长为，且它的周长为，则它的底边长为　 　．
【答案】7或4
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当底边长为4cm时，则腰长为=5.5cm，4、5.5、5.5满足三角形三边关系，当腰长为4尺码时，则底边长为15-4×2=7，4、4、7满足三角形三边关系，综上，它的底边长为7或4cm，
故答案为：7或4．
【分析】分腰长为，底边长为两种情况进行讨论即可.
14．（2024八上·金华月考）已知如图：，且，于，于，，.连结，.则图中阴影部分的面积为　 　.
【答案】5
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：解：∵∠ACE＝90°，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，
∴∠ACE＝∠B＝∠CDE＝90°，
∴∠BAC＋∠BCA＝∠BCA＋∠DCE＝90°，
∴∠BAC＝∠DCE，
在△BAC和△DCE中，
，
∴△BAC≌△DCE（AAS），
∴DE＝BC＝2，
∴S阴影＝DE BD＝×2×(2＋3)＝5，
故答案为：5.
【分析】先证∠BAC＝∠DCE，再证明△BAC≌△DCE（AAS），得到DE＝BC＝2，则S阴影＝DE BD＝5．
15．（2024八上·金华月考）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
据图可知，，
∴△FBC是等腰直角三角形，
∴，
∴
，
故答案为：.
【分析】据图可知，，根据等边对等角求出，再根据三角形的外角性质即可求解．
16．（2024八上·金华月考）我们规定对角互补的四边形称为对补四边形.
（1）如图1，四边形为对补四边形，，则的度数为　 　.
（2）如图2，在等边三角形中，，若动点从点沿着运动，速度为，动点从点沿着运动，速度为，两个动点同时出发，当点运动到点时所有运动停止.连结，交于点，当四边形为对补四边形时，此时的运动时间为　 　.
【答案】（1）75°
（2）4.8
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形-动点问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD为对补四边形，∠A＝75°，
∴∠BCD＋∠A＝180°，
∵∠BCD＋∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝∠A＝75°，
故答案为：75°；
（2）设运动时间为t秒，则AP＝t cm，AQ＝1.5t cm，
∴CQ＝（12 1.5）t cm，
当1.5t＝12时，t＝8，
∴0＜t≤8，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ACB＝60°，AC＝CB，
∵四边形APDQ是对补四边形，
∴∠PDQ＝∠BDC＝120°，
∴∠CBD＋∠DCB＝60°，
∵∠BCD＋∠ACP＝60°，
∴∠CBQ＝∠ACP，
在△ACP和△CBQ中，
，
∴△ACP≌△CBQ（ASA），
∴AP＝CQ，
∴t＝12 1.5t，
解得：t＝4.8，
∴当四边形APDQ为对补四边形时，此时的运动时间为4.8s.
故答案为：4.8.
【分析】（1）利用同角的补角相等证明∠DCE＝∠A即可；
（2）设运动时间为t s，由全等三角形的性质证明AP＝CQ，再由此构建方程求解即可．
三、解答题（共72分）
17．（2024八上·金华月考）已知中，
（1），，求、、的度数．
（2），，，是三角形的三边长，且，，，都是整数．化简：
【答案】（1）解：∵∠A-∠B=20°，∠C=2∠B，
∴∠A=∠B+20°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B+20°+∠B+2∠B=180°，
∴∠B=40°，
∴∠A=40°+20°=60°，∠C=2×40°=80°.
（2）解：∵a，b，c是三角形的三边长，
根据三角形的三边关系可得，a+c＞b，c-a＜b，
∴a-b+c＞0，c-a-b＜0，
∴
=（a-b+c）-（c-a-b）-（a+b）
=a-b+c-c+a+b-a-b
=a-b
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；三角形内角和定理；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合已知条件即可求解；
（2）由三角形的三边关系可知，，，得出∴a-b+c＞0，c-a-b＜0，进而化简绝对值，再根据整式的加减进行计算即可．
（1）解：∵设，则，，
，
，
解得：，
，，；
（2）解：，，是三角形的三边长，
，，，
∴，，
．
18．（2024八上·金华月考）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均落在格点上．
（1）画出中边上的高线．
（2）用直尺和圆规，作出的角平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
（3）画出关于直线的轴对称图形．
（4）在直线上找到一点，使与的长度之和最小．
【答案】（1）解：如图所示：
BD即为所求.
（2）解：如图所示：
CE即为所求.
（3）解：如图所示：
△AFC即为所求.
（4）解：如图所示：
点P即为所求.
【知识点】两点之间线段最短；作图﹣轴对称；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-作高
【解析】【分析】（1）依照三角形高的画法作图即可解决问题；
（2）由角平分线的尺规作图方法作图即可解决问题；
（3）由轴对称图形的画法作图即可解决问题；
（4）由两点之间线段最短作图即可解决问题．
（1）解：如图，即为所求
（2）解：如图，即为所求
（3）解：如图，即为所求；
（4）解；如图，点即为所求．
19．（2024八上·金华月考）如图，，点，分别在，上，与交于点，且．
（1）写出图中所有的全等三角形_________
（2）求证：．
请将下列证明过程补充完整：
证明：在和中，
（_________）
（_________）
【答案】（1），
（2）已知，，，，全等三角形的对应边相等
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（1）在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠C，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BE=DC，
在△BOE和△COD中，，
∴△BOE≌△COD（AAS），
故答案为：△ABD≌△ACE，△BOE≌△COD；
（2）证明：在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
（全等三角形的对应边相等），
故答案为：已知，，，，全等三角形的对应边相等．
【分析】（1）利用全等三角形的判定定理（SAS和AAS）来证明三角形全等即可得出答案；
（2）由“”证明△ABD≌△ACE即可得出.
（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，；
（2）证明：在和中，
（）
（全等三角形的对应边相等），
故答案为：已知，，，，全等三角形的对应边相等．
20．（2024八上·金华月考）如图，点、、、在同一条直线上，与相交于点，，，.
（1）若，，求的长.
（2）若，，求的度数.
【答案】（1）解：，，，，
在和中，
，，，，
，，
（2）解：，，，，
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质及线段的和差得出∠F＝∠ACB，∠B＝∠DEF，利用AAS证明△ABC △DEF，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）根据平行线的性质及三角形外角的性质求解即可．
21．（2024八上·金华月考）如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连结，，．
（1）求证：．
（2）判断直线与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：在和中，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下∶
延长交于点F，如图∶
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等证明，根据全等三角形的对应边相等得出即可．
（2）延长交于点F，根据全等三角形的对应角相等得出得出，由得出，进而得出，由三角形性内角和是180°得出，即可得出
（1）证明：在和中，
∴，
∴．
（2），理由如下∶
延长交于点F，如图∶
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即
22．（2024八上·金华月考）阅读并完成相应的任务．
如图，小明站在堤岸凉亭点处，正对他的点（与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案．
课题 测凉亭与游艇之间的距离
测量工具 皮尺等
测量方案示意图 （不完整）
测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆旁（直线与堤岸平行）； ②再往前走相同的距离，到达点； ③他到达点后向左转90度直行，当自己，电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点处．
测量数据 米，米
任务一 根据题意将测量方案示意图补充完整．
任务二 ①凉亭与游艇之间的距离是________米． ②请你说明小明方案正确的理由．
【答案】解：任务一：如图所示：
即为测量方案示意图；
任务二：②理由：
根据题意可知：CD=CA，∠D=∠A=90°，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA），
∴AB=DE=10m，
∴小明的方案是正确的.
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【解答】任务二：①根据题意可知，△ABC≌△DEC，
∴AB=DE=10m；
故答案为：10.【分析】任务一：直接根据题意，将图形补充完整即可；
任务二：①由补充完整的图形可知，△ABC≌△DEC可得，即可得出答案；
②由题意可知根据题意可知：CD=CA，∠D=∠A=90°，=，由“”可判定，则米，即可说明小明的方案是正确的．
23．（2024八上·金华月考）如图1，已知，A、B两点同时从点出发，点A沿射线运动，点B沿射线运动，点C为三条内角平分线交点，连结、．
（1）如图2，当，求的大小．
（2）在点A、B的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由；
（3）如图3，连结并延长，与的角平分线交于点，与交于点．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数．
【答案】（1）解：∵∠MON=50°，∠OAB=70°，
∴∠OBA=180°-∠MON-∠OAB=60°，
∵点C是△ABO三条内角平分线的交点，
∴∠ABC=∠OBA，∠CAB=∠OAB，
∵∠OAB=70°，∠OBA=60°，
∴∠ABC=30°，∠CAB=35°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=115°.
（2）解：∠ACB的度数不变，∠ACB=115°，
理由：点C是△ABO三条内角平分线的交点，
∴∠ABC=∠OBA，∠CAB=∠OAB，
∵∠MON=50°，
∴∠ACB=180°-（∠ABC+∠CAB）=180°-（∠OBA+∠OAB）=180°-（∠OBA+∠OAB）=180°-（180°-∠MON）=90°+∠MON=115°.
（3）解：设∠OBA=m，
∴∠MBA=180°-m，
∵∠MON+∠OBA+∠BAO=180°，∠MON=50°，
∴∠OBA+∠BAO=130°，
∴∠BAO=130°-m，
∵∠BP是∠ABM的角平分线，
∴∠ABP=∠ABM=（180°-∠OBA）=90°-∠OBA=90°-m，
∵点C是△ABO三条内角平分线的交点，
∴∠ABC=∠OBC=m，∠BOC=∠MON=25°，
∴∠BCP=∠OBC+∠BOC=m+25°，
∴∠CBP=∠ABC+∠ABP=m+90°-m=90°，
∴∠P=180°-∠CBP-∠BCP=65°-m，
∵在△BCP中有一个角是另一个角的2倍，
∴①∠CBP=2∠BCP，
∴90°=2（m+25°），
解得：m=40°，
∴∠BAO=130°-m=90°，
②∠CBP=2∠P，
∴90°=2（65°-m），
解得：m=40°，
∴∠BAO=130°-m=90°，
③∠BCP=2∠P，
∴m+25°=2（65°-m），
解得：m=70°，
∴∠BAO=130°-m=60°，
④∠P=2∠BCP，
∴65°-m=2（m+25°），
解得l：m=10°，
∴∠BAO=130°-m=120°，
综上所述，∠BAO的度数为90°或60°或120
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的双内角平分线模型；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和可知∠OBA=60°，根据角平分线的定义可知，∠ABC=∠OBA=30°，∠CAB=∠OAB=35°，再运用三角形的内角和定理可得∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB即可得解；
（2）根据题意可得∠ABC=∠OBA，∠CAB=∠OAB，再运用三角形的内角和定理可得∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB即可得解；
（3）设∠OBA=m，根据三角形的内角和定理可得∠BAO=130°-m，△BCP的三个内角分别为：∠BCP=m+25°，∠CBP=90°，∠P=65°-m，根据 一个角是另一个角的2倍，分情况讨论即可.
（1）解：，，
，
点为三条内角平分线交点，
，，
（2）解：不变，理由如下：
点为三条内角平分线交点，
，，
；
（3）解：设，
，
，
∵平分，
，
∵平分，
∴，
，
，
，，
，
．
在中有一个角是另一个角的2倍，
①若，则
解得：
②若，则，解得：
③若，则，解得：，
④若，则，解得：
在中有一个角是另一个角的2倍时，为或或．
24．（2024八上·金华月考）
（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围。请写出的取值范围，并说明理由
（2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：。小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点，使……，请你帮她完成证明过程。
（3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点，分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明.
【答案】（1）解：，在和中，
，，，
，，
（2）解：如图，延长到，使得，连结，.
在和中，
，，，
又，，
在中，，，，
（3）解：结论：.
理由：延长到，使得.
，，
，，，
，，，
，
，，
，
，，
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）证明△CDE≌△BDA（SAS），得到CE＝4，在△ACE中，利用三角形的三边关系解决问题即可；
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH．证明△BDE≌△CDH（SAS），得到BE＝CH，再证明EF＝FH，利用三角形的三边关系即可解决问题；
（3）结论：AF＋EC＝EF．延长BC到H，使得CH＝AF，通过两次全等证明AF＝CE，EF＝EH即可解决问题．
1 / 1浙江省金华市横店镇横店第一初级中学两校区联考2024-2025学年八年级上学期数学月考试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024八上·金华月考）下列运动图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·金华月考）某三角形的三边长分别为3，6，，则不可能是（　　）
A． B．6 C． D．
3．（2024八上·金华月考）下列语句不是命题的有（　　）
①全等三角形对应边相等；②过一点画已知直线的平行线；③同角的余角相等；④内错角相等吗？
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2024八上·金华月考）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学知识，说明画出的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
5．（2024八上·金华月考）下列说法中，正确的是（　　）
A．三角形的三条高都在三角形内
B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．三角形中最多只有一个角不是锐角
D．三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形三条边的垂直平分线的交点
6．（2024八上·金华月考）根据下列条件不能唯一画出△ABC的是（　　）
A．AB＝5，BC＝6，AC＝7 B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45°
C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90° D．AB＝3，AC＝4，∠C＝45°
7．（2024八上·金华月考）如图，在中，点在上，平分，延长到点，使得，连结．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八上·金华月考）如图，已知点，，分别为，，的中点，若的面积为20，则四边形的面积为（　　）
A．10 B．9 C．8.5 D．7.5
9．（2024八上·金华月考）如图，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，则的度数为（　　）．
A． B． C． D．
10．（2024八上·金华月考）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在距地面高的处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，妈妈在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2024八上·金华月考）如图，，请你补充一个条件　 　，使.
12．（2024八上·金华月考）如图，在中，边、的垂直平分线分别交于、．若的周长为15．则　 　．
13．（2024八上·金华月考）已知等腰三角形的一边长为，且它的周长为，则它的底边长为　 　．
14．（2024八上·金华月考）已知如图：，且，于，于，，.连结，.则图中阴影部分的面积为　 　.
15．（2024八上·金华月考）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为　 　．
16．（2024八上·金华月考）我们规定对角互补的四边形称为对补四边形.
（1）如图1，四边形为对补四边形，，则的度数为　 　.
（2）如图2，在等边三角形中，，若动点从点沿着运动，速度为，动点从点沿着运动，速度为，两个动点同时出发，当点运动到点时所有运动停止.连结，交于点，当四边形为对补四边形时，此时的运动时间为　 　.
三、解答题（共72分）
17．（2024八上·金华月考）已知中，
（1），，求、、的度数．
（2），，，是三角形的三边长，且，，，都是整数．化简：
18．（2024八上·金华月考）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均落在格点上．
（1）画出中边上的高线．
（2）用直尺和圆规，作出的角平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
（3）画出关于直线的轴对称图形．
（4）在直线上找到一点，使与的长度之和最小．
19．（2024八上·金华月考）如图，，点，分别在，上，与交于点，且．
（1）写出图中所有的全等三角形_________
（2）求证：．
请将下列证明过程补充完整：
证明：在和中，
（_________）
（_________）
20．（2024八上·金华月考）如图，点、、、在同一条直线上，与相交于点，，，.
（1）若，，求的长.
（2）若，，求的度数.
21．（2024八上·金华月考）如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连结，，．
（1）求证：．
（2）判断直线与的位置关系，并说明理由．
22．（2024八上·金华月考）阅读并完成相应的任务．
如图，小明站在堤岸凉亭点处，正对他的点（与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案．
课题 测凉亭与游艇之间的距离
测量工具 皮尺等
测量方案示意图 （不完整）
测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆旁（直线与堤岸平行）； ②再往前走相同的距离，到达点； ③他到达点后向左转90度直行，当自己，电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点处．
测量数据 米，米
任务一 根据题意将测量方案示意图补充完整．
任务二 ①凉亭与游艇之间的距离是________米． ②请你说明小明方案正确的理由．
23．（2024八上·金华月考）如图1，已知，A、B两点同时从点出发，点A沿射线运动，点B沿射线运动，点C为三条内角平分线交点，连结、．
（1）如图2，当，求的大小．
（2）在点A、B的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由；
（3）如图3，连结并延长，与的角平分线交于点，与交于点．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数．
24．（2024八上·金华月考）
（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围。请写出的取值范围，并说明理由
（2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：。小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点，使……，请你帮她完成证明过程。
（3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点，分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，符合题意；
C．不是轴对称图形，不符合题意；
D．不轴对称图形，不符合题意．
故选B．
【分析】根据轴对称图形的定义“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”进行逐项判断即可．
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴，
∴x不可能是9.2.
故答案为：D．
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先求出x的取值范围，再根据取值范围做出选择即可.
3．【答案】B
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：①全等三角形对应边相等，是命题，不符合题意；
②过一点画已知直线的平行线，不是命题，符合题意；
③同角的余角相等，是命题，不符合题意；
④内错角相等吗？不是命题符合题意，
综上所述，不是命题的是②④，共2个．
故答案为：B.
【分析】根据命题的定义：判断一件事情的语句称为命题，对各个语句逐一进行判断即可.
4．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：由作法易得OD＝O'D'，OC＝O'C'，CD＝C'D'，
在△COD与△C'O'D'中，
，
∴△COD≌△C'O'D'（SSS），
∴∠A'O'B'＝∠AOB（全等三角形的对应角相等）．
故答案为：D.
【分析】由作法易得OD＝O'D'，OC＝O'C'，CD＝C'D'，依据SSS定理得到△COD≌△C'O'D'，由全等三角形的对应角相等得到∠A'O'B'＝∠AOB．
5．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形相关概念；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：A、 锐角三角形的三条高都在三角形内，钝角三角形有两条高在三角形外部，故A错误；
B、 钝角三角形中，钝角的外角小于内角，故B错误；
C、 三角形中最多只有一个角不是锐角，故C正确；
D. 三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形三条角平分线的交点，故D错误；
故答案为：C．
【分析】根据三角形高、外角、内角和以及垂直平分线和角平分线的性质对选项逐一进行判断即可．
6．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵AC与BC两边之和大于第三边，故能作出三角形，且三边知道能唯一画出△ABC，不符合题意；
B、∠B是AB、BC的夹角，故能唯一画出△ABC，不符合题意；
C、AB＝5，AC＝4，∠C＝90°，得出BC＝3，可唯一画出△ABC，不符合题意；
D、由于是SSA，所以AB＝3，AC＝4，∠C＝45°，不能唯一画出三角形ABC，符合题意.
故答案为：D.
【分析】判断其是否为唯一三角形，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，两边夹一角，或两角夹一边可确定三角形的形状，否则三角形并不是唯一存在，可能有多种情况存在，从而一一判断得出答案．
7．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；邻补角；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：平分，
，
在和中，
，
，
∴∠CDB=∠EDB，
∵∠EDB=∠EDA+∠ADB，
∴∠CDB=∠EDA+∠ADB，
∵∠CDB+∠ADB=180°，∠ADE=44°，
∴∠EDA+∠ADB+∠ADB=44°+2∠ADB=180°，
∴∠ADB=68°.
故答案为：A.
【分析】先证明（SAS），可得∠CDB=∠EDB，再根据∠CDB+∠ADB=180°，即可得出答案.
8．【答案】D
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵点D、E、F分别为AC、BC，BD的中点，
∴S△ABD=S△CBD=S△ABC=10，
∴S△EBD=S△CBD=5，
∴S△AFD=S△ABD=5，S△DEF=S△EBD=2.5，
∴S四边形ADEF=S△AFD+S△DEF=7.5
故答案为：D
【分析】根据三角形一边上的中线，把三角形分成面积相等的两部分，即可得出答案.
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠2是△BO1O2的外角，
∴∠O1BO2=∠2-∠1=140°-120°=20°，
∵BO1，BO2是∠ABC的三等分线，
∴=20°，∠ABC=3∠O1BO2=60°，
在△BCO1中，∠CBO1=20°，∠2=140°，
∴∠BCO1=180°-∠2-∠CBO1=20°，
∵CO1是∠ACB的平分线，
∴∠BCO1 =∠ACO1=20°，∠ACB=40°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=80°， 故答案为：C.
【分析】利用三角形的外角性质，可求出∠O1BO2=20°，结合三等分线的定义，可求出∠ABC=60°和=20°，再利用三角形内角和定理可求出∠BCO1 =20°，结合角平分线的定义可求出∠ACB=40°，再利用三角形的内角和定理即可得出答案.
10．【答案】B
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，∠CEO=∠BDO=90°，OB=OC，
∵∠BOC=90°，
∴∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°，
∴∠COE=∠OBD，
在△COE和△OBD中，，∴△COE≌△OBD（AAS），∴CE=OD，OE=DB，∵BD=1.2m，CE=1.6m，∴DE=OD-OE=CE-OE=0.4m，∵AE=1.5m，∴AD=AE-DE=1.1m，即妈妈在B处接住小丽时，小丽距离地面的高度是，
故答案为：B.
【分析】由直角三角形的性质得出∠COE=∠OBD，根据AAS可证明△COE≌△OBD，由全等三角形的性质得出CE=OD，OE=DB，求出DE的长即可得出答案.
11．【答案】
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：解：添加AB＝AC，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
故答案为：AB＝AC（答案不唯一）.
【分析】要判定△ABD≌△ACD，已知AD＝AD，∠1＝∠2，具备了一组边对应相等，一组对应角相等，故添加AB＝AC后可根据SAS判定△ABD≌△ACD．
12．【答案】15
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ 边、的垂直平分线分别交于、 ，
∴DA=DB，EA=EC，
∵△ADE的周长为15，
∴DA+DE+EA=15，
∴DB+DE+EC=15，
∴BC=15，
故答案为：15.
【分析】利用线段的垂直平分线的性质可得，，结合周长的概念，然后通过等量代换即可得出结论．
13．【答案】7或4
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当底边长为4cm时，则腰长为=5.5cm，4、5.5、5.5满足三角形三边关系，当腰长为4尺码时，则底边长为15-4×2=7，4、4、7满足三角形三边关系，综上，它的底边长为7或4cm，
故答案为：7或4．
【分析】分腰长为，底边长为两种情况进行讨论即可.
14．【答案】5
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：解：∵∠ACE＝90°，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，
∴∠ACE＝∠B＝∠CDE＝90°，
∴∠BAC＋∠BCA＝∠BCA＋∠DCE＝90°，
∴∠BAC＝∠DCE，
在△BAC和△DCE中，
，
∴△BAC≌△DCE（AAS），
∴DE＝BC＝2，
∴S阴影＝DE BD＝×2×(2＋3)＝5，
故答案为：5.
【分析】先证∠BAC＝∠DCE，再证明△BAC≌△DCE（AAS），得到DE＝BC＝2，则S阴影＝DE BD＝5．
15．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
据图可知，，
∴△FBC是等腰直角三角形，
∴，
∴
，
故答案为：.
【分析】据图可知，，根据等边对等角求出，再根据三角形的外角性质即可求解．
16．【答案】（1）75°
（2）4.8
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形-动点问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD为对补四边形，∠A＝75°，
∴∠BCD＋∠A＝180°，
∵∠BCD＋∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝∠A＝75°，
故答案为：75°；
（2）设运动时间为t秒，则AP＝t cm，AQ＝1.5t cm，
∴CQ＝（12 1.5）t cm，
当1.5t＝12时，t＝8，
∴0＜t≤8，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ACB＝60°，AC＝CB，
∵四边形APDQ是对补四边形，
∴∠PDQ＝∠BDC＝120°，
∴∠CBD＋∠DCB＝60°，
∵∠BCD＋∠ACP＝60°，
∴∠CBQ＝∠ACP，
在△ACP和△CBQ中，
，
∴△ACP≌△CBQ（ASA），
∴AP＝CQ，
∴t＝12 1.5t，
解得：t＝4.8，
∴当四边形APDQ为对补四边形时，此时的运动时间为4.8s.
故答案为：4.8.
【分析】（1）利用同角的补角相等证明∠DCE＝∠A即可；
（2）设运动时间为t s，由全等三角形的性质证明AP＝CQ，再由此构建方程求解即可．
17．【答案】（1）解：∵∠A-∠B=20°，∠C=2∠B，
∴∠A=∠B+20°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B+20°+∠B+2∠B=180°，
∴∠B=40°，
∴∠A=40°+20°=60°，∠C=2×40°=80°.
（2）解：∵a，b，c是三角形的三边长，
根据三角形的三边关系可得，a+c＞b，c-a＜b，
∴a-b+c＞0，c-a-b＜0，
∴
=（a-b+c）-（c-a-b）-（a+b）
=a-b+c-c+a+b-a-b
=a-b
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；三角形内角和定理；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合已知条件即可求解；
（2）由三角形的三边关系可知，，，得出∴a-b+c＞0，c-a-b＜0，进而化简绝对值，再根据整式的加减进行计算即可．
（1）解：∵设，则，，
，
，
解得：，
，，；
（2）解：，，是三角形的三边长，
，，，
∴，，
．
18．【答案】（1）解：如图所示：
BD即为所求.
（2）解：如图所示：
CE即为所求.
（3）解：如图所示：
△AFC即为所求.
（4）解：如图所示：
点P即为所求.
【知识点】两点之间线段最短；作图﹣轴对称；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-作高
【解析】【分析】（1）依照三角形高的画法作图即可解决问题；
（2）由角平分线的尺规作图方法作图即可解决问题；
（3）由轴对称图形的画法作图即可解决问题；
（4）由两点之间线段最短作图即可解决问题．
（1）解：如图，即为所求
（2）解：如图，即为所求
（3）解：如图，即为所求；
（4）解；如图，点即为所求．
19．【答案】（1），
（2）已知，，，，全等三角形的对应边相等
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（1）在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠C，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BE=DC，
在△BOE和△COD中，，
∴△BOE≌△COD（AAS），
故答案为：△ABD≌△ACE，△BOE≌△COD；
（2）证明：在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
（全等三角形的对应边相等），
故答案为：已知，，，，全等三角形的对应边相等．
【分析】（1）利用全等三角形的判定定理（SAS和AAS）来证明三角形全等即可得出答案；
（2）由“”证明△ABD≌△ACE即可得出.
（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，；
（2）证明：在和中，
（）
（全等三角形的对应边相等），
故答案为：已知，，，，全等三角形的对应边相等．
20．【答案】（1）解：，，，，
在和中，
，，，，
，，
（2）解：，，，，
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质及线段的和差得出∠F＝∠ACB，∠B＝∠DEF，利用AAS证明△ABC △DEF，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）根据平行线的性质及三角形外角的性质求解即可．
21．【答案】（1）证明：在和中，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下∶
延长交于点F，如图∶
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等证明，根据全等三角形的对应边相等得出即可．
（2）延长交于点F，根据全等三角形的对应角相等得出得出，由得出，进而得出，由三角形性内角和是180°得出，即可得出
（1）证明：在和中，
∴，
∴．
（2），理由如下∶
延长交于点F，如图∶
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即
22．【答案】解：任务一：如图所示：
即为测量方案示意图；
任务二：②理由：
根据题意可知：CD=CA，∠D=∠A=90°，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA），
∴AB=DE=10m，
∴小明的方案是正确的.
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【解答】任务二：①根据题意可知，△ABC≌△DEC，
∴AB=DE=10m；
故答案为：10.【分析】任务一：直接根据题意，将图形补充完整即可；
任务二：①由补充完整的图形可知，△ABC≌△DEC可得，即可得出答案；
②由题意可知根据题意可知：CD=CA，∠D=∠A=90°，=，由“”可判定，则米，即可说明小明的方案是正确的．
23．【答案】（1）解：∵∠MON=50°，∠OAB=70°，
∴∠OBA=180°-∠MON-∠OAB=60°，
∵点C是△ABO三条内角平分线的交点，
∴∠ABC=∠OBA，∠CAB=∠OAB，
∵∠OAB=70°，∠OBA=60°，
∴∠ABC=30°，∠CAB=35°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=115°.
（2）解：∠ACB的度数不变，∠ACB=115°，
理由：点C是△ABO三条内角平分线的交点，
∴∠ABC=∠OBA，∠CAB=∠OAB，
∵∠MON=50°，
∴∠ACB=180°-（∠ABC+∠CAB）=180°-（∠OBA+∠OAB）=180°-（∠OBA+∠OAB）=180°-（180°-∠MON）=90°+∠MON=115°.
（3）解：设∠OBA=m，
∴∠MBA=180°-m，
∵∠MON+∠OBA+∠BAO=180°，∠MON=50°，
∴∠OBA+∠BAO=130°，
∴∠BAO=130°-m，
∵∠BP是∠ABM的角平分线，
∴∠ABP=∠ABM=（180°-∠OBA）=90°-∠OBA=90°-m，
∵点C是△ABO三条内角平分线的交点，
∴∠ABC=∠OBC=m，∠BOC=∠MON=25°，
∴∠BCP=∠OBC+∠BOC=m+25°，
∴∠CBP=∠ABC+∠ABP=m+90°-m=90°，
∴∠P=180°-∠CBP-∠BCP=65°-m，
∵在△BCP中有一个角是另一个角的2倍，
∴①∠CBP=2∠BCP，
∴90°=2（m+25°），
解得：m=40°，
∴∠BAO=130°-m=90°，
②∠CBP=2∠P，
∴90°=2（65°-m），
解得：m=40°，
∴∠BAO=130°-m=90°，
③∠BCP=2∠P，
∴m+25°=2（65°-m），
解得：m=70°，
∴∠BAO=130°-m=60°，
④∠P=2∠BCP，
∴65°-m=2（m+25°），
解得l：m=10°，
∴∠BAO=130°-m=120°，
综上所述，∠BAO的度数为90°或60°或120
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的双内角平分线模型；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和可知∠OBA=60°，根据角平分线的定义可知，∠ABC=∠OBA=30°，∠CAB=∠OAB=35°，再运用三角形的内角和定理可得∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB即可得解；
（2）根据题意可得∠ABC=∠OBA，∠CAB=∠OAB，再运用三角形的内角和定理可得∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB即可得解；
（3）设∠OBA=m，根据三角形的内角和定理可得∠BAO=130°-m，△BCP的三个内角分别为：∠BCP=m+25°，∠CBP=90°，∠P=65°-m，根据 一个角是另一个角的2倍，分情况讨论即可.
（1）解：，，
，
点为三条内角平分线交点，
，，
（2）解：不变，理由如下：
点为三条内角平分线交点，
，，
；
（3）解：设，
，
，
∵平分，
，
∵平分，
∴，
，
，
，，
，
．
在中有一个角是另一个角的2倍，
①若，则
解得：
②若，则，解得：
③若，则，解得：，
④若，则，解得：
在中有一个角是另一个角的2倍时，为或或．
24．【答案】（1）解：，在和中，
，，，
，，
（2）解：如图，延长到，使得，连结，.
在和中，
，，，
又，，
在中，，，，
（3）解：结论：.
理由：延长到，使得.
，，
，，，
，，，
，
，，
，
，，
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）证明△CDE≌△BDA（SAS），得到CE＝4，在△ACE中，利用三角形的三边关系解决问题即可；
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH．证明△BDE≌△CDH（SAS），得到BE＝CH，再证明EF＝FH，利用三角形的三边关系即可解决问题；
（3）结论：AF＋EC＝EF．延长BC到H，使得CH＝AF，通过两次全等证明AF＝CE，EF＝EH即可解决问题．
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