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第十四章 全等三角形
章测综合练习
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1.［2025 安徽安庆质检］下列各选项中，两个图形不全等的是( )
A. B. C. D.
解析：A、B、D 选项，两个图形是全等图形，故选项不符合题意；C 选项，两个图形不是全
等图形，故选项符合题意.故选 C.
2.［2025 江苏南京质检］已知下图中的两个三角形全等，则∠1 等于( )
A.50 B.58 C.60 D.72
解析：如图，∵△ABC 和△DEF 全等，AC=DF=b，DE=AB=a ，∴∠1=∠B，∠A=∠D=50 ，
∠F=∠C=72 ，∴∠1=180 ∠D ∠F=58 ，故选 B.
3.［2025 湖南长沙质检］如图，已知△ABC，利用尺规作图的方法作出了△DEF ，
请根据作图痕迹判断△ABC≌△DEF 的理论依据是( )
A.SAS B.AAS C.ASA D.SSS
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第十四章 全等三角形
解析：由作图可知，AC=DF，∠A=∠D，AB=DE，故△ABC≌△DEF(SAS) .故选 A.
4.［2025 甘肃张掖期末］如图，点 P 为∠AOB 的平分线 OC 上一点，PM⊥OA 于点 M，PM=6，
点 N 为 OB 上任意一点，则满足 PN=6 的点 N 有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
解析：如图 ，过点 P 作 PN'⊥OB，交 OB 于 N'.∵OP 平分∠AOB ，
PM⊥OA，PN'⊥OB，∴PN'=PM=6 .由垂线段最短可知满足 PN=6 的点 N 有 1 个，即点 N' .故
选 A.
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第十四章 全等三角形
5.［2025 河北保定期中］如图，李师傅在四边形木板 ABCD 中裁下 3 个三角形（空白部分），
已知∠B=∠C=90 ，AE⊥EF，AE=EF，∠CGD=∠EGF ，AB=30 cm，BE=CD=10 cm，CG=20 cm
，则剩余木板（阴影部分）的面积为( )
A.1 600 cm2 B.1 100 cm2 C.900 cm2 D.500 cm2
解析：如图， 过点 F 作 FH⊥BC ，
则∠FHE=∠FHG=90 =∠B=∠C.∵AE⊥EF ，∴∠AEF=90 ，∴∠BAE=∠FEH=90 ∠AEB.
∠B=∠FHE,
在△ABE 和△EHF 中， ∠BAE=∠HEF,∴△ABE≌△EHF(AAS) ，
AE=EF,
∴EH=AB，FH=BE.∵BE=CD，∴FH=CD.
∠FGH=∠DGC,
在△FHG 和△DCG 中， ∠FHG=∠C, ∴△FHG≌△DCG(AAS) ，
FH=DC,
∴HG=CG，∴EG=EH+GH=AB+CG=50 cm ，BC=BE+EG+CG=80 cm，
∴ 剩余木板（阴影部分）的面积为S梯形ABCD S△ABE S△EFG S△CDG
1 1 1 1
= (30+10)×80 ×30×10 ×50×10 ×20×10
2 2 2 2
=1 100(cm2) ，故选 B.
6.［2025 广西玉林期中］如图所示，在△ABC 中，∠ABC=70 ，BD 平分∠ABC，P 为线段
BD 上一动点，Q 为边 AB 上一动点，当 AP+PQ 的值最小时，∠APD 的度数是( )
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第十四章 全等三角形
A.55 B.60 C.65 D.70
解析：在 BC 上截取 BE=BQ，连接 PE，如图.
∵BD 平分∠ABC ， 1∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC=35 .
2
又∵BP=BP，BQ=BE , ∴△PBQ≌△PBE(SAS) ，
∴PE=PQ，∴AP+PQ=AP+PE，∴ 当 A，P，E 在同一直线上，且 AE⊥BC 时，
AP+PE 的值最小，即 AP+PQ 的值最小.∵∠AEB=90 ，∠ABE=70 ，
∴∠BAE=90 ∠ABE=20 ，∴∠APD=∠BAP+∠ABP=20 +35 =55 ，故选 A.
7.［2025 江苏宿迁质检］如图，在长方形 ABCD 中，E 是边 BC 的中点，F 在边 AB 上，若
S AB△DEF=5S△BEF=10，则 的值为 ( )BF
A.4 B.2 C.1.5 D.5
3
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第十四章 全等三角形
解析：如图， 延长 DE，AB 交于点 G .
∵ 在长方形 ABCD 中，AB//CD，AB=CD，∴∠GBE=∠C.在△BEG 和△CED 中，
∠GBE=∠C,
BE=CE, ∴△BEG≌△CED(ASA)，∴DE=GE，BG=CD=AB ，
∠BEG=∠CED,
∴S△EGF=S△DEF=10.∵5S△BEF=10，∴S△BEF=2 ，
S BG S∴ △BEG AB BG△BEG=S△FEG S△BEF=8，∴ = =4，∴ = =4 ，故选 A.BF S△BEF BF BF
8.［2025 浙江台州期中］如图，已知 AB=10，AC=6 ，BD=8，其中∠CAB=∠DBA=α ，点 P
以每秒 2 个单位长度的速度沿着C→A→B路径运动，同时，点 Q 以每秒 x 个单位长度
的速度沿着D→B→A 路径运动，一个点到达终点后另一个点立即停止运动，它们的运动时间
为 t 秒.
①若 x=1，则点 P 运动路程始终是点 Q 运动路程的 2 倍；
②若 P，Q 两点同时到达 A 点，则 x=5 ；
③若α=90 ，t=5，x=1，则 PC 与 PQ 垂直；
④若△ACP 与△BPQ 全等，则 x= 4或 4 .
5 11
以上说法正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
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第十四章 全等三角形
解析：若 x=1，运动时间为 t 秒，则点 P 运动路程为 2t，点 Q 运动路程为 t，故点 P 运动路程
始终是点 Q 运动路程的 2 倍，故①正确，符合题意.
点 P 到达点 A 的运动时间为 6÷2=3（秒），当 x=5 时，
点 Q 到达点 A 的运动时间为(8+10)÷5=3.6（秒），3.6≠3 ，故②不正确，不符合题意.
如图所示，当 t=5，x=1 时，点 P 运动的路程为 2×5=10，
点 Q 运动的路程为 5×1=5.∵AC=6，DQ=5，BD=8，
∴AP=10 6=4 ，BQ=BD DQ=8 5=3.∵AB=10，
∴PB=AB AP=10 4=6 ，∴PB=CA.又∵∠CAP=∠PBQ=90 ,AP≠BQ，
∴△CAP 和△PBQ 不全等，∴∠C≠∠QPB.∵∠C+∠CPA=90 ，∴∠QPB+∠CPA≠90 ，
∴∠CPQ=180 (∠QPB+∠CPA)≠90 ，∴PC 与 PQ 不垂直，故③不正确，不符合题意.
当点 P 在 AB 上，且点 Q 在 BD 上时，AP=2t 6，QD=xt ，则 PB=10 (2t 6)=16 2t，BQ=8 xt.
若△ACP 与△BPQ 全等，则 AC=PB 且 AP=BQ 或 AC=BQ 且 AP=BP，
即 6=16 2t 且 2t 6=8 xt 或 6=8 xt 且 2t 6=16 2t，解得 x= 4或 4 ，故④正确，符合题意，故
5 11
选 B.
二、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
9.［2025 北京大兴区期末］如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 D，P 分别在射线 OC 和 OB 上，
OD>DP 且∠DPO=36 ，点 Q 是射线 OA 上的一点，若 DQ=DP ，则∠DQO 的度数为_____
______.
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第十四章 全等三角形
答案：36 或144
解析：如图， 过点 D 作 DH⊥OA 于 H，DN⊥OB 于 N.
∵OD 平分∠AOB，DH⊥OA，DN⊥OB，∴DH=DN.当点 Q 在点 H 的右侧时，
在 Rt△DPN 和 Rt△DQH 中， &DP=DQ,&DN=DH,∴Rt△DPN≌Rt△DQH(HL) ，
∴∠DPO=∠DQO=36 .当点 Q 在点 H 左侧时，如点 Q',同理可得∠DQ'H=36 ，
∴∠DQ'O=144 . 综上所述，∠DQO 的度数为36 或144 ，故答案为36 或144 .
10.如图，已知点 P(2m 1,6m 5)在第一象限角平分线 OC 上，一直角顶点与点 P 重合，角的两
边与 x 轴、y 轴分别交于 A 点，B 点，则：
（1）点 P 的坐标为______；
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第十四章 全等三角形
解析：如图，
作 PE⊥y 轴于点 E，PF⊥x 轴于点 F .根据题意，得 PE=PF，
∴2m 1=6m 5，解得 m=1，∴P(1,1) .
（2）OA+BO= ___.
解析：由（1）得∠EPF=90 ，PE=PF=1.∵∠BPA=90 ，
∠PEB=∠PFA,
∴∠EPB=∠FPA.在△BEP 和△AFP 中， PE=PF, ∴△BEP≌△AFP(ASA)，
∠EPB=∠FPA,
∴BE=AF ，∴OA+OB=OF+AF+OE BE=OF+OE，∴OA+BO=2 .
11［. 2025 福建福州期中］如图，△ABC 中，BC=10，AC AB=5，AD 是∠BAC 的平分线，CD⊥AD，
则S△BDC 的最大值为______.
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第十四章 全等三角形
解析：如图, 延长 AB，CD 交于点 E.∵AD 平分∠BAC ，
∴∠CAD=∠EAD.∵CD⊥AD，∴∠ADC=∠ADE=90 .
∠ADE=∠ADC,
在△ADE 和△ADC 中， AD=AD, ∴△ADE≌△ADC(ASA) ，
∠EAD=∠CAD,
∴AC=AE，DE=CD.∵AC AB=5，∴AE AB=5，即 BE=5.∵DE=DC ，
∴S 1△BDC= S△BCE，∴ 当 BE⊥BC 时，S△BEC取最大值，2
即S△BDC 取最大值,此时S△BDC=
1 × 1×10×5=12.5 . 故答案为 12.5.
2 2
三、解答题（本大题共 3 小题，共 45 分）
12.［2025 河北秦皇岛期中］如图，在△ABC 中，D 是 AC 上一点(CD>AD) .
（1）连接 BD，作△DEF（点 E 在线段 CD 上,点 F 在线段 AC 的右侧），使得△DEF≌△DAB
；（保留作图痕迹，不写作法）
解：如图，△DEF 即为所求.
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第十四章 全等三角形
（2）作图依据是 _________________________________________________________________
DE=DA,
解：在△DEF 和△DAB 中， ∠EDF=∠ADB,
DF=DB,
∴△DEF≌△DAB(SAS).故答案为 SAS （答案不唯一，与（1）的作图痕迹对应即可）.
13.如图，△ABC 和△DEF，点 E，F 在直线 BC 上，AB=DF，∠A=∠D ，∠ABC=∠DFE.如图
（1） （2） （3）
（1），易证：BC+BE=BF .请解答下列问题：
（1）如图（2）、图（3），请猜想 BC，BE，BF 之间的数量关系，并直接写出猜想结论；
解：图（2）：BC+BE=BF，图（3）：BE BC=BF .
（2）请选择（1）中任意一种结论进行证明.
证明：图（2）：∵AB=DF，∠A=∠D，∠B=∠F ，∴△ABC≌△DFE(ASA)，∴BC=EF .
∵BE=BC+CE，∴BC+BE=EF+BC+CE=BF.
图（3）：∵AB=DF ，∠A=∠D，∠ABC=∠DFE，∴△ABC≌△DFE(ASA) ，
∴BC=EF.∵BE=BF+EF ，∴BE BC=BF+EF BC=BF+BC BC=BF .（任选一种回答即可）
14.已知在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 E，且 AC⊥BD，作 BF⊥CD ，垂足为
F，BF 与 AC 交于点 G，∠BGE=∠ADE .
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第十四章 全等三角形
（1）如图（1），求证：AD=CD ；
证明：∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF，∴∠ADE=∠CGF.∵AC⊥BD ，BF⊥CD，
∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF=90 ，∴∠DAE=∠GCF .
∠DAE=∠DCE,
在△ADE 和△CDE 中， ∠AED=∠CED, ∴△ADE≌△CDE(AAS),∴AD=CD .
DE=DE,
（2）如图（2），BH 是△ABE 的中线，若 AE=2DE，DE=EG ，在不添加任何辅助线的情况下，
请直接写出图（2）中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE 面积的 2 倍.
解：面积等于△ADE 面积的 2 倍的三角形有△ACD，△ABE，△BCE，△BHG .
设 DE=a，则 AE=2DE=2a，EG=DE=a ，
∴S△ADE=
1AE DE= 1 2a a=a2.∵BH 是△ABE 的中线，
2 2
∴AH=HE=a.∵AC⊥BD,∴∠AED=∠CED=90 .∵AD=CD，DE=DE ,
∴Rt△ADE≌Rt△CDE(HL),∴CE=AE=2a ，
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第十四章 全等三角形
则S 1 1△ADC= AC DE= (2a+2a) a=2a2=2S2 2 △ADE .
∠AED=∠BEG,
在△ADE 和△BGE 中, DE=GE, ∴△ADE≌△BGE(ASA) ，
∠ADE=∠BGE,
∴BE=AE=2a， S = 1AE 1∴ △ABE BE= 2a 2a=2a2=2S2 2 △ADE ，
S 1△BCE= CE BE=
1
2a 2a=2a2=2S△ADE ，2 2
S = 1△BHG HG BE=
1
(a+a) 2a=2a2=2S
2 2 △ADE
.
综上所述，面积等于△ADE 面积的 2 倍的三角形有△ACD，△ABE，△BCE，△BHG .
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章测综合练习
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1.［2025 安徽安庆质检］下列各选项中，两个图形不全等的是( )
A. B. C. D.
2.［2025 江苏南京质检］已知下图中的两个三角形全等，则∠1 等于( )
A.50 B.58 C.60 D.72
3.［2025 湖南长沙质检］如图，已知△ABC，利用尺规作图的方法作出了△DEF ，
请根据作图痕迹判断△ABC≌△DEF 的理论依据是( )
A.SAS B.AAS C.ASA D.SSS
4.［2025 甘肃张掖期末］如图，点 P 为∠AOB 的平分线 OC 上一点，PM⊥OA 于点 M，PM=6，
点 N 为 OB 上任意一点，则满足 PN=6 的点 N 有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
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第十四章 全等三角形
5.［2025 河北保定期中］如图，李师傅在四边形木板 ABCD 中裁下 3 个三角形（空白部分），
已知∠B=∠C=90 ，AE⊥EF，AE=EF，∠CGD=∠EGF ，AB=30 cm，BE=CD=10 cm，CG=20 cm
，则剩余木板（阴影部分）的面积为( )
A.1 600 cm2 B.1 100 cm2 C.900 cm2 D.500 cm2
6.［2025 广西玉林期中］如图所示，在△ABC 中，∠ABC=70 ，BD 平分∠ABC，P 为线段
BD 上一动点，Q 为边 AB 上一动点，当 AP+PQ 的值最小时，∠APD 的度数是( )
A.55 B.60 C.65 D.70
7.［2025 江苏宿迁质检］如图，在长方形 ABCD 中，E 是边 BC 的中点，F 在边 AB 上，若
S AB△DEF=5S△BEF=10，则 的值为 ( )BF
A.4 B.2 C.1.5 D.5
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第十四章 全等三角形
8.［2025 浙江台州期中］如图，已知 AB=10，AC=6 ，BD=8，其中∠CAB=∠DBA=α ，点 P
以每秒 2 个单位长度的速度沿着C→A→B路径运动，同时，点 Q 以每秒 x 个单位长度
的速度沿着D→B→A 路径运动，一个点到达终点后另一个点立即停止运动，它们的运动时间
为 t 秒.
①若 x=1，则点 P 运动路程始终是点 Q 运动路程的 2 倍；
②若 P，Q 两点同时到达 A 点，则 x=5 ；
③若α=90 ，t=5，x=1，则 PC 与 PQ 垂直；
④若△ACP 与△BPQ 全等，则 x= 4或 4 .
5 11
以上说法正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
9.［2025 北京大兴区期末］如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 D，P 分别在射线 OC 和 OB 上，
OD>DP 且∠DPO=36 ，点 Q 是射线 OA 上的一点，若 DQ=DP ，则∠DQO 的度数为_____
______.
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第十四章 全等三角形
10.如图，已知点 P(2m 1,6m 5)在第一象限角平分线 OC 上，一直角顶点与点 P 重合，角的两
边与 x 轴、y 轴分别交于 A 点，B 点，则：
（1）点 P 的坐标为______；
（2）OA+BO= ___.
11［. 2025 福建福州期中］如图，△ABC 中，BC=10，AC AB=5，AD 是∠BAC 的平分线，CD⊥AD，
则S△BDC 的最大值为______.
三、解答题（本大题共 3 小题，共 45 分）
12.［2025 河北秦皇岛期中］如图，在△ABC 中，D 是 AC 上一点(CD>AD) .
（1）连接 BD，作△DEF（点 E 在线段 CD 上,点 F 在线段 AC 的右侧），使得△DEF≌△DAB
；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）作图依据是 _________________________________________________________________
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第十四章 全等三角形
13.如图，△ABC 和△DEF，点 E，F 在直线 BC 上，AB=DF，∠A=∠D ，∠ABC=∠DFE.如图
（1） （2） （3）
（1），易证：BC+BE=BF .请解答下列问题：
（1）如图（2）、图（3），请猜想 BC，BE，BF 之间的数量关系，并直接写出猜想结论；
（2）请选择（1）中任意一种结论进行证明.
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第十四章 全等三角形
14.已知在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 E，且 AC⊥BD，作 BF⊥CD ，垂足为
F，BF 与 AC 交于点 G，∠BGE=∠ADE .
（1）如图（1），求证：AD=CD ；
（2）如图（2），BH 是△ABE 的中线，若 AE=2DE，DE=EG ，在不添加任何辅助线的情况下，
请直接写出图（2）中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE 面积的 2 倍.
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