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第十三章 三角形 全章综合训练
章测综合练习
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
1.［2025 福建福州校级期中］有两个角互余的三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
解析：有两个角互余的三角形是直角三角形.故选 B.
2.［2025 天津宁河区质检］图中以 AB 为边的三角形的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
解析：题图中以 AB 为边的三角形有△ABD，△ABE，△ABC ,共 3 个.故选 B.
3.［2025 黑龙江哈尔滨期中］如图，AD，CE 是△ABC 的高，AB=5，BC=4，AD=3，则 CE=
( )
A.20 B.10 C.12 D.6
3 5
解析： S = 1AB CE= 1BC AD ， CE= BC AD= 4×3 12∵ △ABC ∴ = ，故选 C.2 2 AB 5 5
4.［2025 山东临沂质检］如图，已知数轴上点 A，B，C，D 对应的数字分别为 1 ，1，x，7，
点 C 在线段 BD 上且不与端点重合，若线段 AB，BC，CD 能围成三角形，则 x 可能是( )
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第十三章 三角形 全章综合训练
A.2 B.3 C.4 D.5
解析：由题图得 AB=1 ( 1)=2，BC=x 1，CD=7 x.∵ 线段 AB ，BC，CD 能围成三角形，∴
&x 1+7 x>2,①
由三角形三边关系得 &2+x 1>7 x,② 不等式①恒成立，解不等式②得 x>3，解不等式③得 x<5，
&2+7 x>x 1,③
∴ 不等式组的解集是 35.［2025 天津南开区期中］如图，在△ABC 中，D，E，F 分别是边 AC，BD，CE 的中点，且
阴影部分的面积为 7，则△ABC 的面积为( )
A.14 B.21 C.28 D.32
解析：∵F 是 CE 的中点，∴S△ACE=2S△AEF=2×7=14.∵E 是 BD 的中点，∴S
1
△ADE= S△ABD，2
S 1△CDE= S2 △CBD，
∴S 1 1 1 1△CDE+S△ADE= S2 △CBD+ S2 △ABD= (S2 △CBD+S△ABD)= S△ABC.∵S△ADE+S2 △CDE=S△ACE=14 ，
∴S△ABC=2(S△ADE+S△CDE)=28 ，故选 C.
6.［2025 江苏苏州期中］如图，把三角形纸片 ABC 沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCDE 内
部时，∠A 与∠1+∠2 之间有一种数量关系始终保持不变,这种数量关系为( )
A.∠A=∠1+∠2 B.2∠A=∠1+∠2
C.3∠A=2∠1+∠2 D.3∠A=2(∠1+∠2)
解析：∵∠1=180 ∠AEA'，∠2=180 ∠ADA'，
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第十三章 三角形 全章综合训练
∴∠1+∠2=180 ∠AEA'+180 ∠ADA'=360 (∠AEA'+∠ADA').∵∠A+∠A'=360 (∠AEA'+∠ADA')
，∴∠A+∠A'=∠1+∠2.∵∠A=∠A'，∴2∠A=∠1+∠2 ，故选 B.
7.如图，在△ABC 中，O 是三个内角的平分线的交点，过点 O 作∠ODC=∠AOC，交边 BC 于
点 D 若∠ABC=n ，则∠BOD 的度数为( )
A.90 + 1 n B.45 + 1 n C.90 1 n D.90
2 2 2
8.［2025 江西赣州期中］平面内 A，B，C，D，E，F 六点构成如图所示的图形，则
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 等于( )
A.180 B.360 C.540 D.720
解析：如图所示，连接 AH,设 AC 与 BE 交于点 G .由三角形外角性质可知∠AGH=∠C+∠E，
∠FHG=∠B+∠D.∵∠FAG=∠FAH+∠GAH ，∠FHG=∠FHA+∠GHA.在△AGH 中，
∠AGH+∠GHA+∠HAG=180 ；在△AFH 中，∠F+∠FHA+∠HAF=180 ,
∴∠F+∠FAG+∠AGH+∠FHG=360 ，∴∠FAG+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360 ，
故选 B.
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第十三章 三角形 全章综合训练
9.［2025 安徽滁州期中］在下列条件中：①∠A+∠B=∠C ；②∠A:∠B:∠C=1:2:3；
③∠A=90 ∠B；④∠A=∠B=2∠C ；⑤∠A=2∠B=3∠C，能确定△ABC 是直角三角形的
条件有( )
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
&∠A+∠B=∠C,
解析：① ∴2∠C=180 ，∴∠C=90 ，∴△ABC 是直角三角形.②
&∠A+∠B+∠C=180 ,
由条件可设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x.∵∠A+∠B+∠C=180 ，
∴x+2x+3x=6x=180 ，∴x=30 ，∴∠C=3x=90 ，∴△ABC 是直角三角
形.③∵∠A=90 ∠B，∴∠A+∠B=90 ，∴∠C=180 (∠A+∠B)=180 90 =90 ，
∴△ABC 是直角三角形.④由∠A=∠B=2∠C，设∠C=x，∠A=∠B=2x.
∵∠A+∠B+∠C=180 ，∴2x+2x+x=5x=180 ，∴x=36 ，
∴∠A=∠B=2x=72 ，∠C=x=36 ，∴△ABC 不是直角三角形.
⑤由条件可知 B= 1∠ ∠A，∠C= 1∠A.∵∠A+∠B+∠C=180 ，
2 3
A+ 1 A+ 1 A= 11

∴∠ ∠ ∠ ∠A=180 ， A= 1 080 > 990∴∠ =90 ，
2 3 6 11 11
∴△ABC 不是直角三角形.综上，能确定△ABC 是直角三角形的条件有①②③，共 3 个，
故选 B.
10［. 2025 重庆开州区期中］已知点 O 为△ABC 内任意一点，设 OA+OB+OC=S1，AB+BC+AC=S2
，则下列关系正确的是( )
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第十三章 三角形 全章综合训练
A.S2≥2S1 B.S2>2S1 C.S2<2S1≤2S2 D.S2<2S1<2S2
解析：如图， ∵OA+OB>AB，OB+OC>BC ，
OC+OA>AC，∴2(OA+OB+OC)>AB+BC+AC ，∴2S1>S2.延长 BO 交 AC 于点
G.∵AB+AG>BO+OG ，OG+GC>OC，∴AB+AC>OB+OC ，同理可得，AB+BC>OA+OC，
AC+BC>OA+OB ，∴2(AB+BC+AC)>2(OA+OB+OC)，∴S2>S1，∴S2<2S1<2S2 .故选 D.
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）
11.［2025 浙江杭州期中］王师傅用 4 根木条钉成一个四边形木架，如图所示，要使这个木架
不变形，他至少要再钉上木条的根数为___.
解析：根据三角形具有稳定性可知，要使这个木架不变形，他至少要再钉上 1 根木条，故答案
为 1.
12.已知△ABC 的三边长为 a,b,c，化简|a+b c| |b a c| 的结果是________.
解析：∵△ABC 的三边长分别是 a,b,c，∴a+b>c，b a0，b a c<0，
∴|a+b c| |b a c|=a+b c ( b+a+c)=a+b c+b a c=2b 2c.故答案为 2b 2c .
13.如图，在△ABC 中，∠B=50 ，∠C=40 ，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，点 E 是 AC
边上的一个动点，当△ADE 是钝角三角形时，∠ADE 的取值范围是_____________________
__________________________.
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第十三章 三角形 全章综合训练
答案： 0 <∠ADE<45 或
90 <∠ADE≤95
解析：∵∠B=50 ，∠C=40 ，∴∠BAC=180 ∠B ∠C=90 .∵AD 平分∠BAC，
∴∠DAE=45 ，∴∠ADC=180 ∠DAE ∠C=95 .当∠ADE 是钝角时，90 <∠ADE≤95 .
当∠AED 是钝角时，
∠AED>90 .∵∠AED=180 ∠DAE ∠ADE=180 45 ∠ADE=135 ∠ADE ，
∴135 ∠ADE>90 ，∴0 <∠ADE<45 .综上，0 <∠ADE<45 或90 <∠ADE≤95 .
14.如图，在平面直角坐标系中，点 B(0,m)，点 C(n,m)，其中 m>0，n<0 ，点 A 是 x 轴负半轴
上一点，点 P 是在直线 CB 与直线 AO 之间的一点，连接 BP,OP.BN 平分∠CBP，ON 平分∠AOP，
BN 交 ON 于 N，则∠BPO 与∠BNO 之间满足的数量关系为_____________________________
___________.
答案：∠BNO+ 1∠BPO=180 或∠BPO=2∠BNO
2
解析：①如图（1）,当点 P 在 OB 左侧时,∠BPO=2∠BNO.理由如下:在△BPO 中,
∠PBO+∠POB=180 ∠BPO.由题可知 BC//OA,BN 平分∠CBP,ON 平分∠AOP,
∴∠NBP+∠NOP= 1 (180 ∠PBO ∠POB).
2
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第十三章 三角形 全章综合训练
在△NOB 中,∠BNO=180 (∠NBP+∠NOP+∠PBO+∠POB)
1
=180 [ (180 ∠PBO ∠POB)+2 ∠
PBO+∠POB]
1
=90 (∠PBO+2 ∠
POB)
=90 1 (180 ∠BPO)= 1∠BPO ,
2 2
∴∠BPO=2∠BNO
图（1） 图（2）
②如图（2）,当点 P 在 OB 右侧时,∠BNO+ 1∠BPO=180 .理由如下:
2
∵BC//OA, ∴ 易得∠CBP+∠AOP+∠BPO=360 .∵BN 平分∠CBP,ON 平分∠AOP,
PBN+ PON+ 1 BPO= 1∴∠ ∠ ∠ ×360 =180 , 1∴∠PBN+∠PON=180 ∠BPO.
2 2 2
在四边形 BNOP 中,∠BNO=360 ∠PBN ∠PON ∠BPO
=360 (180 1∠BPO) 1 1∠BPO=180 ∠BPO ,∴∠BNO+ ∠BPO=180 .
2 2 2
综上，∠BPO 与∠BNO 之间的数量关系为∠BNO+ 1∠BPO=180 或∠BPO=2∠BNO .
2
三、解答题（本大题共 3 小题，共 44 分）
15.［2025 吉林长春期末］图（1）、图（2）、图（3）均是 4×4 的正方形网格，每个小正方形
的边长均为 1，小正方形的顶点称为格点，线段 AB 的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，
在给定的网格中，按下列要求以 AB 为边画△ABC .要求：
（1）在图（1）中画一个直角三角形，在图（2）中画一个锐角三角形，在图（3）中画一个钝
角三角形.
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第十三章 三角形 全章综合训练
（2）点 C 在格点上.
图（1） 图（2） 图（3）
解：如图所示.（答案不唯一）
图（1） 图（2） 图（3）
16.［2025 江苏南京建邺区校级期末］如图，在△ABC 中，∠B=35 ，点 D 在 BC 上，
∠BAC=∠ADC，点 E 在 AB 上，连接 AD,DE .
（1）若 DE//AC，求∠ADE 的度数.
解：∠ADE=∠B=35
解析：∵DE//AC，∴∠BED=∠BAC.∵∠BAC=∠ADC ，∴∠BED=∠ADC.
∵∠BED=∠EAD+∠ADE，∠ADC=∠B+∠BAD ，∴∠ADE=∠B=35 .
（2）当∠BED 的度数是 _________时，△BDE 是直角三角形.
解析：当∠BED 的度数是90 时，△BDE 是直角三角形.当∠BDE=90 ，
则∠BED=90 35 =55 时，△BDE 是直角三角形.综上,当∠BED 的度数是90 或55 时，
△BDE 是直角三角形.故答案为90 或55 .
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第十三章 三角形 全章综合训练
17.［2025 河北邯郸期末］在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，点 E 是线段 AC 上的
动点（不与点 D 重合），过点 E 作 EF//BC 交射线 BD 于点 F，∠CEF 的平分线所在直线与射
线 BD 交于点 G .
备用图
（1）如图，点 E 在线段 AD 上运动时,
①若∠ABC=40 ，∠C=60 ，则∠A 的度数是____,∠EFB 的度数是____.
解：∵∠ABC=40 ，∠C=60 ，∴ 在△ABC 中，
∠A=180 ∠ABC ∠C=180 40 60 =80 .∵EF//BC ，
∴∠EFB=∠FBC.∵BD 平分∠ABC， 1∴∠FBC= ∠ABC=20 ，
2
∴∠EFB=∠FBC=20 ，故答案为80 ,20 .
②猜想∠BGE 与∠A 之间的数量关系，并说明理由.
解：∠BGE=90 1∠A
2
解析：∠BGE=90 1∠A.理由:∵∠BGE 是△EGF 的一个外角，
2
∴∠BGE=∠EFG+∠FEG .
∵EF//BC，∴∠C=∠DEF.∵∠ABC+∠C=180 ∠A ，
∴∠ABC+∠DEF=180 ∠A.∵BD 平分∠ABC，EG 平分∠CEF ，
∴∠CBD= 1∠ABC，∠FEG= 1∠DEF，
2 2
∴∠CBD+∠FEG= 1 ABC+ 1∠ ∠DEF= 1 ×(180 ∠A)=90 1∠A.∵EF//BC，
2 2 2 2
∴∠EFG=∠CBD， 1 1∴∠EFG+∠FEG=90 ∠A，∴∠BGE=90 ∠A .
2 2
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第十三章 三角形 全章综合训练
（2）若点 E 在线段 DC 上运动时，请直接写出∠BGE 与∠A 之间的数量关系.

解： BGE= EHC GBC= 180 ∠C

1 ABC= 180 ∠C ∠ABC∠ ∠ ∠ ∠ = 1∠A
2 2 2 2
解析：∠BGE= 1∠A.如图,设∠CEF 的平分线与 BC 交于点 H .
2
∵EF//BC，∴∠FEH=∠EHC .
∵EH 是∠FEC 的平分线，∴∠FEH=∠HEC，∴∠HEC=∠EHC ，
EHC= 180
∠C
∴∠ .∵BG 平分∠ABC，∴∠GBC= 1∠ABC ，
2 2
180 BGE= EHC GBC= ∠C

1 ABC= 180 ∠C ∠ABC = 1∴∠ ∠ ∠ ∠ ∠A .
2 2 2 2
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章测综合练习
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
1.［2025 福建福州校级期中］有两个角互余的三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
2.［2025 天津宁河区质检］图中以 AB 为边的三角形的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
3.［2025 黑龙江哈尔滨期中］如图，AD，CE 是△ABC 的高，AB=5，BC=4，AD=3，则 CE=
( )
A.20 B.10 C.12 D.6
3 5
4.［2025 山东临沂质检］如图，已知数轴上点 A，B，C，D 对应的数字分别为 1 ，1，x，7，
点 C 在线段 BD 上且不与端点重合，若线段 AB，BC，CD 能围成三角形，则 x 可能是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
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第十三章 三角形 全章综合训练
5.［2025 天津南开区期中］如图，在△ABC 中，D，E，F 分别是边 AC，BD，CE 的中点，且
阴影部分的面积为 7，则△ABC 的面积为( )
A.14 B.21 C.28 D.32
6.［2025 江苏苏州期中］如图，把三角形纸片 ABC 沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCDE 内
部时，∠A 与∠1+∠2 之间有一种数量关系始终保持不变,这种数量关系为( )
A.∠A=∠1+∠2 B.2∠A=∠1+∠2
C.3∠A=2∠1+∠2 D.3∠A=2(∠1+∠2)
7.如图，在△ABC 中，O 是三个内角的平分线的交点，过点 O 作∠ODC=∠AOC，交边 BC 于
点 D 若∠ABC=n ，则∠BOD 的度数为( )
A.90 + 1 n B.45 + 1 n C.90 1 n D.90
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8.［2025 江西赣州期中］平面内 A，B，C，D，E，F 六点构成如图所示的图形，则
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 等于( )
A.180 B.360 C.540 D.720
9.［2025 安徽滁州期中］在下列条件中：①∠A+∠B=∠C ；②∠A:∠B:∠C=1:2:3；
③∠A=90 ∠B；④∠A=∠B=2∠C ；⑤∠A=2∠B=3∠C，能确定△ABC 是直角三角形的
条件有( )
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
10［. 2025 重庆开州区期中］已知点 O 为△ABC 内任意一点，设 OA+OB+OC=S1，AB+BC+AC=S2
，则下列关系正确的是( )
A.S2≥2S1 B.S2>2S1
C.S2<2S1≤2S2 D.S2<2S1<2S2
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）
11.［2025 浙江杭州期中］王师傅用 4 根木条钉成一个四边形木架，如图所示，要使这个木架
不变形，他至少要再钉上木条的根数为___.
12.已知△ABC 的三边长为 a,b,c，化简|a+b c| |b a c| 的结果是________.
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第十三章 三角形 全章综合训练
13.如图，在△ABC 中，∠B=50 ，∠C=40 ，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，点 E 是 AC
边上的一个动点，当△ADE 是钝角三角形时，∠ADE 的取值范围是_____________________
__________________________.
14.如图，在平面直角坐标系中，点 B(0,m)，点 C(n,m)，其中 m>0，n<0 ，点 A 是 x 轴负半轴
上一点，点 P 是在直线 CB 与直线 AO 之间的一点，连接 BP,OP.BN 平分∠CBP，ON 平分∠AOP，
BN 交 ON 于 N，则∠BPO 与∠BNO 之间满足的数量关系为_____________________________
___________.
三、解答题（本大题共 3 小题，共 44 分）
15.［2025 吉林长春期末］图（1）、图（2）、图（3）均是 4×4 的正方形网格，每个小正方形
的边长均为 1，小正方形的顶点称为格点，线段 AB 的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，
在给定的网格中，按下列要求以 AB 为边画△ABC .要求：
（1）在图（1）中画一个直角三角形，在图（2）中画一个锐角三角形，在图（3）中画一个钝
角三角形.
（2）点 C 在格点上.
图（1） 图（2） 图（3）
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第十三章 三角形 全章综合训练
16.［2025 江苏南京建邺区校级期末］如图，在△ABC 中，∠B=35 ，点 D 在 BC 上，
∠BAC=∠ADC，点 E 在 AB 上，连接 AD,DE .
（1）若 DE//AC，求∠ADE 的度数.
（2）当∠BED 的度数是 _________时，△BDE 是直角三角形.
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17.［2025 河北邯郸期末］在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，点 E 是线段 AC 上的
动点（不与点 D 重合），过点 E 作 EF//BC 交射线 BD 于点 F，∠CEF 的平分线所在直线与射
线 BD 交于点 G .
备用图
（1）如图，点 E 在线段 AD 上运动时,
①若∠ABC=40 ，∠C=60 ，则∠A 的度数是____,∠EFB 的度数是____.
②猜想∠BGE 与∠A 之间的数量关系，并说明理由.
（2）若点 E 在线段 DC 上运动时，请直接写出∠BGE 与∠A 之间的数量关系.
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