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第十八章 分式
章测综合练习
一、选择题（本大题共 9 小题，每小题 4 分，共 36 分）
+
1.［2025 吉林长春质检］将分式 2 2中 与 的值同时扩大 2倍，则分式的值 ( ) +
A.扩大 2倍 B.缩小为原来的1 C.不变 D.无法确定
2
2.［2025 山东威海中考］据央视网 2023 年 10 月 11 日消息，中国科学技术大学中国科学院量
子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了 255 个光
子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世
界纪录.“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万
分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的
时间.将“百万分之一”用科学记数法表示为( )
A.1 × 10 5 B.1 × 10 6 C.1 × 10 7 D.1 × 10 8
+1
3.［2025 山东东营期中］下列结论：①无论 为何值， 2 都有意义；②当 = 1 时，分式 +1 2 1
2+1 +1 +1
的值为 0；③若 的值为负数，则 的取值范围是 < 1 ；④若 ÷ 有意义，则 的取值
1 +2
范围是 ≠ 2且 ≠ 0 .其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2 2 +1
4.［2025 河北邯郸调研］根据分式的基本性质，可以将分式 = 2 （ 为整数）进行如 1
2 = 2 +1 = 1 = ( +1) 2下变形： 2 = 1
2
，其中 为整数.有以下结论：
1 +1 +1 +1
结论Ⅰ：依据变形结果可知， 的值可以为 0；
结论Ⅱ：若使 的值为整数，则 的值有 3个.
下列说法正确的是( )
A.Ⅰ和Ⅱ都正确 B.Ⅰ和Ⅱ都错误 C.Ⅰ错误,Ⅱ正确 D.Ⅰ正确,Ⅱ错误
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第十八章 分式
5.［2025 安徽合肥期末，中］对于两个不相等的实数 ， ，规定：max( , ) 表示 ， 中的较
大值，如 max(2,4) = 4 1 1 2.按照这个规定，方程 max( ， ) = 的解为 ( )
3
A. = 3 B. = 3 C. = 1 或 = 3 D. = 1或 = 3
2 +3 16.［2025 黑龙江哈尔滨质检］如图，若 为正整数，则表示 ( 1 1) ÷ ( 1 + 1)
3 3+
的值的点落在( )
A.段① B.段② C.段③ D.段④

7.［2025 福建泉州期中］已知 是一个整数的平方，则满足要求的正整数 的个数为( )
20
A.1 B.2 C.3 D.4
1+ 1+ 1+
8.已知一列均不为 1的数 1， ， ， ， 满足如下关系： = 1 2 32 3 2 ， 1 3 = ， = ，1 1 42 1 3
= 1+ , +1 ，若 1 = 2，则 1 2 023 的值是( )
A. 1 B.1 C. 3 D.2
2 3
9.［2025 河南洛阳期中］实数 , , , 满足 < ， 1 < < = + + .若 ， = ，则
1+ 1+
与 的大小关系是( )
A. > B. = C. < D.无法确定
二、填空题（本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分）
10.［2025 山东青岛质检］青岛市某校为落实中小学生“十个一”项目行动计划，举办以“强
体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加了 3 000 米比赛项目，经过一段时间训练后，
比赛时小亮的平均速度比训练前提高了 25% ，少用 3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速
度为 米/分，那么 满足的分式方程为 ____________________.
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第十八章 分式
11.［2025 河北沧州期中］
2 3
（1）当 =_______时，关于 的方程 + 2 = 有增根； 2 4 +2
5 7
（2）若 2 = + ，则 2 的立方根为___. 4 5 +1 5
5 5
12.［2025 四川凉山州期末］已知三个实数 ， ， 满足 = 2， = ， = ，
+ + 3 + 3

则 = ____.
+ +
三、解答题（本大题共 4 小题，共 52 分）
13.（1）［2025 湖南永州校级期中］计算：(π 3.15)0 × ( 1)2 023 ( 1 ) 2 .
3
1 2 1
（2）解分式方程: = .
3 2 1 6 3
14.［2025 浙江义乌质检］
= 3
2+ 2
（1）若 ，求 的值.

1 2
（2）先化简分式(1 + ) ÷ 1，再从 1 ，0，1，2四个数中选一个恰当的数作为 的值，代

入求值.
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3 6
15.［2025 海南海口期中］已知关于 的方程 + = .
+1 1 ( +1)( 1)
（1）若方程有增根，求 的值；
（2）若方程无解，求 的值；
（3）若方程的解为整数，求整数 的值.
16.［2025 黄石期末］一辆汽车开往距离出发地 180 km的目的地,出发后 1 h 内按原计划的
速度匀速行驶，1 h 后以原来速度的 1.5 倍匀速行驶，并比原计划提前 40 min 到达目的地.
（1）求汽车实际走完全程所花的时间.
（2）汽车按原路返回时，若司机一半路程以 km/h 的速度行驶，另一半路程以 km/h的速
度行驶( ≠ )，则用时 1 h;若司机一半时间以 km/h 的速度行驶，另一半时间以 km/h的
速度行驶，则用时 2 h，请比较 1， 2 的大小，并说明理由.
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章测综合练习
一、选择题（本大题共 9 小题，每小题 4 分，共 36 分）
+
1.［2025 吉林长春质检］将分式 2 2中 与 的值同时扩大 2倍，则分式的值 ( ) +
A.扩大 2倍 B.缩小为原来的1 C.不变 D.无法确定
2
+
解析：将分式 2 2中 与 的值同时扩大 2倍可得 +
2 +2 2( + ) + 1
(2 )2+(2 )2
= 2 2 = 2 2 ，即分式的值缩小为原来的 .故选 B.4( + ) 2( + ) 2
2.［2025 山东威海中考］据央视网 2023 年 10 月 11 日消息，中国科学技术大学中国科学院量
子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了 255 个光
子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世
界纪录.“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万
分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的
时间.将“百万分之一”用科学记数法表示为( )
A.1 × 10 5 B.1 × 10 6 C.1 × 10 7 D.1 × 10 8
1
解析：百万分之一= = 0.000 001 = 1 × 10 6 .故选 B.
1 000 000
+1
3.［2025 山东东营期中］下列结论：①无论 为何值，
2
都有意义；②当 = 1 时，分式
+1 2 1
2+1 +1 +1的值为 0；③若 的值为负数，则 的取值范围是 < 1 ；④若 ÷ 有意义，则 的取值
1 +2
范围是 ≠ 2且 ≠ 0 .其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：① ∵ 2 ≥ 0，∴ 2 + 1 ≥ 1 ≠ 0，∴ 无论 为何值, 2 都有意义，故①正确；② ∵ 当 = 1 +1
2
时， 2 1 = 1 1 = 0，∴ ∵ +1此时分式无意义，故②错误；③ 的值为负数，且 2 + 1 > 0,
1
+ 2 ≠ 0,
∴ 1 < 0,∴ < 1 +1 +1，故③正确；④ ∵ ÷ 有意义，∴ ≠ 0, 解得 ≠ 2且 ≠ 0且
+2 + 1 ≠ 0,
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第十八章 分式
≠ 1 ，故④错误.综上所述，其中正确的个数是 2.故选 B.
2 2 +1
4.［2025 河北邯郸调研］根据分式的基本性质，可以将分式 = 2 （ 为整数）进行如 1
2 2 +1
下变形： = 2 =
1 = ( +1) 2 = 1 2 ，其中 为整数.有以下结论：
1 +1 +1 +1
结论Ⅰ：依据变形结果可知， 的值可以为 0；
结论Ⅱ：若使 的值为整数，则 的值有 3个.
下列说法正确的是( )
A.Ⅰ和Ⅱ都正确 B.Ⅰ和Ⅱ都错误 C.Ⅰ错误,Ⅱ正确 D.Ⅰ正确,Ⅱ错误
解析：∵ 2 1 ≠ 0，∴ ≠± 1 2，∴ = 1 ≠ 0 ，故结论Ⅰ错误.由题意可知，若使
+1
的值为整数，则 + 1 = 1，2， 1， 2,∴ = 0，1， 2， 3 .又∵ ≠± 1,∴ = 0， 2，
3 ，共 3个，故结论Ⅱ正确.故选 C.
5.［2025 安徽合肥期末，中］对于两个不相等的实数 ， ，规定：max( , ) 表示 ， 中的较
1 1 2
大值，如 max(2,4) = 4.按照这个规定，方程 max( ， ) = 的解为 ( )
3
A. = 3 B. = 3 C. = 1 或 = 3 D. = 1或 = 3
1 1
解析：当 > 0时，max( ， ) = 1 = 2 ∴ 1 = 2， ，去分母得 3 = 2 ，解得 = 1，
3 3
= 1 < 0 max( 1 1 ) = 1 = 2 1 2经检验， 是分式方程的解，且满足题意；当 时， ， ，∴ = ，
3 3
去分母得 (3 ) = 2 ，解得 = 3 ，经检验， = 3是分式方程的解，且满足题意，∴ = 3
或 = 1 .故选 C.
2+3 1
6.［2025 黑龙江哈尔滨质检］如图，若 为正整数，则表示 13 ( 1) ÷ ( 1 + 1) 3+
的值的点落在( )
A.段① B.段② C.段③ D.段④
2+3 1 2+3 1 1 1+ ( +3) 1 1
解析： ( 1 13 1) ÷ ( + 1) = 3 ÷ = = 3+ 3+ ( 1)( +1) 3+ 1+
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第十八章 分式
1 1 =
2
.∵ 1 为正整数，∴ 1 ≤ < + 1 ，∴ ≤ < 1 ∴ +3 1， 表示 ( 1 1) ÷
+1 1+ +1 2 +1 3 3+
( 1 + 1) 的值的点落在段②.故选 B.

7.［2025 福建泉州期中］已知 是一个整数的平方，则满足要求的正整数 的个数为( )
20
A.1 B.2 C.3 D.4
> 0,
∵ 解析： 为正整数且 是一个整数的平方，∴ ≥ 20 , ∴ 10 ≤ < 20 ，
20 20 > 0,
0 < 20 ≤ 10，∴ 1 ≤ < 16,∴ = 12或22或32，∴ = 10 或 16 或 18.故选 C.
20 20
1+ 1+ 1+
8.已知一列均不为 1的数 1， 2， 3， ， 1 2 3 满足如下关系： 2 = ， = ， = ，1 31 1 42 1 3
= 1+ , +1 ，若 1 = 2，则 2 023 的值是( )1
A. 1 B.1 C. 3 D.2
2 3
∵ = 2 ∴ = 1+ 1 = 1+2 = 3 = 1+ 2 = 1+( 3) = 1解析： 1 ， 2 ， ，1 1 1 2 3 1 2 1 ( 3) 2
1+ 3 1+(
1) 1
= = 2 = 1 = 1+
1+
4 ，
4 = 3 = 2 1 1， ，∴ 这列数按照 2， 3， ， 的循环规律
1 3 1 ( 1 3 5 1 1 2 32) 4 1 3
出现.∵ 2 023 ÷ 4 = 505 3，∴ 12 023的值是 ，故选 A.2
+ +
9.［2025 河南洛阳期中］实数 , , , 满足 < ， 1 < < .若 = ， = ，则
1+ 1+
与 的大小关系是( )
A. > B. = C. < D.无法确定
+
解析：∵ = = 1 + = + = 1 + ， ，
1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+
∴ = ( 1 1 ) + ( ) = + = ( )( ).
1+ 1+ 1+ 1+ (1+ )(1+ ) (1+ )(1+ ) (1+ )(1+ )
∵ < ， 1 < < ，∴ > 0，1 + > 0，1 + > 0 ， > 0 ∴ ( )( ), > 0,
(1+ )(1+ )
∴ > 0,∴ > .故选 A.
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第十八章 分式
二、填空题（本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分）
10.［2025 山东青岛质检］青岛市某校为落实中小学生“十个一”项目行动计划，举办以“强
体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加了 3 000 米比赛项目，经过一段时间训练后，
比赛时小亮的平均速度比训练前提高了 25% ，少用 3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速
度为 米/分，那么 满足的分式方程为 ____________________.
3 000 3 000解析：依题意有 = 3 3 000 3 000.故答案为 = 3 .
(1+25%) (1+25%)
11.［2025 河北沧州期中］
2 3
（1）当 =_______时，关于 的方程 + 2 = 有增根； 2 4 +2
解析：去分母，得 2( + 2) + = 3( 2)，( 1) = 10. ∵ 分式方程有增根，∴ =± 2，
≠ 1.当 = 2 时，代入( 1) = 10，得 2( 1) = 10 ，解得 = 4;当 = 2时，
代入( 1) = 10,得 2( 1) = 10 ，解得 = 6，∴ 当 = 4或 6时，关于 的方程
2 + 2 =
3
有增根.故答案为 4 或 6.
2 4 +2
5 7
（2）若 2 = + ，则 2 的立方根为___. 4 5 +1 5
∵ + = ( 5)+ ( +1) = ( + ) 5 + 5 7 = 5 7解析： ， ，
+1 5 ( +1)( 5) ( +1)( 5) 2 4 5 ( +1)( 5)
∴ 5 7 = ( + ) 5 + ，∴ + = 5， 5 + = 7，解得 = 2 ， = 3，
∴ 2 = 4 3 = 1，∴ 2 的立方根为 1.故答案为 1.
5 5
12.［2025 四川凉山州期末］已知三个实数 ， ， 满足 = 2， = ， = ，
+ + 3 + 3

则 = ____.
+ +

解析：∵ = 2 = 5 = 5 ∴ + 1 + 3 + 3， ， ， = ，① = ，② = ，③
+ + 3 + 3 2 5 5
+ + + + + + + 由① ② ③可得 = 1+ 3 3 = 1，∴ 2( + + ) = 1 ，
2 5 5 2 2
∴ + + = 1 ∴ ， = 4.故答案为 4 .
4 + +
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第十八章 分式
三、解答题（本大题共 4 小题，共 52 分）
1
13.（1）［2025 湖南永州校级期中］计算：(π 3.15)0 × ( 1)2 023 ( ) 2 .
3
解：原式= 1 × ( 1) 9 = 1 9 = 10 .
1 2 1
（2）解分式方程: = .
3 2 1 6 3
解：去分母得 2 1 6 = 1,解得 = 4 .经检验, = 4 是原分式方程的解.
14.［2025 浙江义乌质检］
2+ 2
（1）若 = 3，求 的值.

∵
2 2 2 2 2 2
= 3 ∴ = 3 ∴ + = (3 ) + = 9 + = 10
2
= 10解： ， ， .
3 3 2 3 2 3
1 2 1
（2）先化简分式(1 + ) ÷ ，再从 1 ，0，1，2四个数中选一个恰当的数作为 的值，代

入求值.
2
(1 + 1 ) ÷ 1 = +1 解： = 1 .∵ 当 = 0，±1 时，原分式无意义，
( +1)( 1) 1
∴ = 2.当 = 2 时，原式= 1 = 1 .
2 1
315.［2025 海南海口期中］已知关于 的方程 + 6 = .
+1 1 ( +1)( 1)
（1）若方程有增根，求 的值；
解：去分母得 3( 1) + 6( + 1) = ，去括号，得 3 3 + 6 + 6 = ，移项、合并同
类项，得( 9) = 3 .若分式方程有增根，则 =± 1且 ≠ 9 .
当 = 1时,代入( 9) = 3,得 9 = 3，解得 = 6；
当 = 1 时，代入( 9) = 3,得 9 = 3，解得 = 12. ∴ 的值为 6或 12.
（2）若方程无解，求 的值；
解：∵ ( 9) = 3，∴ 当 9 = 0时，原分式方程无解，此时 = 9 ；由（1）
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第十八章 分式
知当 = 6或 12 时，原分式方程有增根，则原分式方程无解.∴ 的值为 6或 9或 12.
（3）若方程的解为整数，求整数 的值.
3
解：∵ ( 9) = 3，且分式方程有解，∴ = ,且 ≠± 1,∴ 9 ≠± 3 .又
9
∵ 方程的解为整数， 为整数，∴ 9 =± 1.当 9 = 1时， = 10 ；
当 9 = 1时， = 8，∴ = 8 或 10.
16.［2025 黄石期末］一辆汽车开往距离出发地 180 km的目的地,出发后 1 h 内按原计划的
速度匀速行驶，1 h 后以原来速度的 1.5 倍匀速行驶，并比原计划提前 40 min 到达目的地.
（1）求汽车实际走完全程所花的时间.
解：设出发后 1 h内行驶的速度为 km/h，则 1 h后行驶的速度为 1.5 km/h .根据题意得
180 180 = 40，解得 = 60，经检验, = 60 是所列方程的解，且符合题意，
1.5 60
∴ 180 40 = 3 2 = 7 .
60 3 3
7
答:汽车实际走完全程所花的时间为 h .
3
（2）汽车按原路返回时，若司机一半路程以 km/h 的速度行驶，另一半路程以 km/h的速
度行驶( ≠ )，则用时 1 h;若司机一半时间以 km/h 的速度行驶，另一半时间以 km/h的
速度行驶，则用时 2 h，请比较 1， 2 的大小，并说明理由.
解： 1 >
90 90 90( + ) 180 360
2.理由如下：由题意得， 1 = + = ， = 2 × = ， 2 + +
= 90( + ) 360 = 90( + )
2 360 = 90( )
2
则 1 2 .∵ ， 均为正数，且 ≠ ， + ( + ) ( + )
2
∴ ( )2 > 0， ( + ) > 0，∴ 90( ) > 0 90( + ) 360，即 > 0，∴ > .
( + ) + 1 2
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