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第十七章 因式分解
同步中考 考点训练
考点 1 因式分解
1.［2025 云南中考］分解因式： 3 9 = ( )
A. ( 3)( + 3) B. ( 2 + 9) C.( 3)( + 3) D. 2( 9)
2.［2025 山东枣庄中考］因式分解： 2 + 2 = __________.
1
3.［2025 甘肃临夏州中考］因式分解： 2 = ______________．
4
4.［2025 内蒙古赤峰中考］因式分解：3 2 3 = ________________．
5.［2025 山东威海中考］因式分解：( + 2)( + 4) + 1 = _________．
考点 2 因式分解的应用
6.［2025 江苏徐州中考］若 = 2， = 1，则代数式 2 2 的值等于___.
7.［2025 四川凉山州中考］已知 2 2 = 12，且 = 2，则 + = ____．
8.［2025 山东淄博中考］若多项式 4 2 + 9 2 能用完全平方公式因式分解，则 的值
是_____.
9.［2025 安徽中考］数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数 能否表示为 2 2( ,
均为自然数)”的问题.
（1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下( 为正整数):
N 奇数 4的倍数
表示 1 = 12 023 = 22 125 = 32 227 = 4 = 22 028 = 32 1212 = 42
结果 42 329 = 52 42 2216 = 52 3220 = 62 42
一般
2 1 = 2 ( 1)2 4 = ____
结论
按上表规律，完成下列问题：
(i)24 = (_____)2 (_____)2
(ii)4 = __________________;
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第十七章 因式分解
（2）兴趣小组还猜测：像 2,6,10,14, 这些形如 4 2( 为正整数)的正整数 不能表示为
2 2( , 均为自然数).师生一起研讨，分析过程如下：
假设 4 2 = 2 2,其中 , 均为自然数.分下列三种情形分析：
①若 , 均为偶数，设 = 2 , = 2 ,其中 , 均为自然数，则
2 2 = (2 )2 (2 )2 = 4( 2 2)为 4的倍数.而 4 2 不是 4的倍数，矛盾.故 , 不
可能均为偶数.
②若 , 均为奇数，设 = 2 + 1, = 2 + 1,其中 , 均为自然数，则
2 2 = (2 + 1)2 (2 + 1)2 =___________________为 4的倍数.而 4 2 不是4的倍数，
矛盾.故 , 不可能均为奇数.
③若 , 一个是奇数一个是偶数，则 2 2为奇数.而 4 2是偶数，矛盾.故 , 不可能一
个是奇数一个是偶数.由①②③可知，猜测正确.
阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容.
10.［2025 浙江嘉兴中考］观察下面的等式：32 12 = 8 × 1，52 32 = 8 × 2 ，
72 52 = 8 × 3，92 72 = 8 × 4， .
（1）写出192 172 的结果；
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含 的等式表示， 为正整数）；
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的.
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同步中考 考点训练
考点 1 因式分解
1.［2025 云南中考］分解因式： 3 9 = ( )
A. ( 3)( + 3) B. ( 2 + 9) C.( 3)( + 3) D. 2( 9)
解析：原式= ( 2 9) = ( 3)( + 3) ，故选 A.
2.［2025 山东枣庄中考］因式分解： 2 + 2 = __________.
解析： 2 + 2 = ( + 2)，故答案为 ( + 2) .
1
3.［2025 甘肃临夏州中考］因式分解： 2 = ______________．
4
1
解析：原式= ( + ) ( 1 ) 1.故答案为( + )( 1 ) .
2 2 2 2
4.［2025 内蒙古赤峰中考］因式分解：3 2 3 = ________________．
解析：3 2 3 = 3 ( 2 1) = 3 ( + 1)( 1).故答案为 3 ( + 1)( 1) .
5.［2025 山东威海中考］因式分解：( + 2)( + 4) + 1 = _________．
解析：原式= 2 + 4 + 2 + 8 + 1 = 2 + 6 + 9 = ( + 3)2.故答案为( + 3)2 .
考点 2 因式分解的应用
6.［2025 江苏徐州中考］若 = 2， = 1，则代数式 2 2 的值等于___.
解析：∵ = 2， = 1，∴ 2 2 = ( ) = 2 × 1 = 2 ，故答案为 2.
7.［2025 四川凉山州中考］已知 2 2 = 12，且 = 2，则 + = ____．
解析：∵ 2 2 = 12，∴ ( + )( ) = 12. ∵ = 2，∴ + = 6 .故答案为 6 .
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第十七章 因式分解
8.［2025 山东淄博中考］若多项式 4 2 + 9 2 能用完全平方公式因式分解，则 的值
是_____.
解析：∵ 多项式 4 2 + 9 2 能用完全平方公式因式分解，
∴ 4 2 + 9 2 = (2 )2 + (3 )2 = (2 ± 3 )2 ，
∴ =± 2 × 2 × 3 =± 12，故答案为±12 .
9.［2025 安徽中考］数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数 能否表示为 2 2( ,
均为自然数)”的问题.
（1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下( 为正整数):
N 奇数 4的倍数
表示 1 = 12 023 = 22 125 = 32 227 = 4 = 22 028 = 32 1212 = 42
结果 42 329 = 52 42 2216 = 52 3220 = 62 42
一般
2 1 = 2 ( 1)2 4 = ____
结论
按上表规律，完成下列问题：
(i)24 = (_____)2 (_____)2
解：4 = 4 × 1 = (1 + 1)2 (1 1)2，8 = 4 × 2 = (2 + 1)2 (2 1)2 ，
12 = 4 × 3 = (3 + 1)2 (3 1)2，16 = 4 × 4 = (4 + 1)2 (4 1)2 ，
20 = 4 × 5 = (5 + 1)2 (5 1)2 ，
24 = 4 × 6 = (6 + 1)2 (6 1)2 = 72 52 .
故答案为 7，5.
(ii)4 = __________________;
解析：由(i)推导的规律可知 4 = 4 = ( + 1)2 ( 1)2 .故答案( + 1)2 ( 1)2 .
（2）兴趣小组还猜测：像 2,6,10,14, 这些形如 4 2( 为正整数)的正整数 不能表示为
2 2( , 均为自然数).师生一起研讨，分析过程如下：
假设 4 2 = 2 2,其中 , 均为自然数.分下列三种情形分析：
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第十七章 因式分解
①若 , 均为偶数，设 = 2 , = 2 ,其中 , 均为自然数，则
2 2 = (2 )2 (2 )2 = 4( 2 2)为 4的倍数.而 4 2 不是 4的倍数，矛盾.故 , 不
可能均为偶数.
②若 , 均为奇数，设 = 2 + 1, = 2 + 1,其中 , 均为自然数，则
2 2 = (2 + 1)2 (2 + 1)2 =___________________为 4的倍数.而 4 2 不是4的倍数，
矛盾.故 , 不可能均为奇数.
③若 , 一个是奇数一个是偶数，则 2 2为奇数.而 4 2是偶数，矛盾.故 , 不可能一
个是奇数一个是偶数.由①②③可知，猜测正确.
阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容.
答案：4( 2 2 + )
解析：(2 + 1)2 (2 + 1)2 = (2 + 1 + 2 + 1) (2 + 1 2 1) = 4( 2 2 + ) .故答案为
4( 2 2 + ) .
10.［2025 浙江嘉兴中考］观察下面的等式：32 12 = 8 × 1，52 32 = 8 × 2 ，
72 52 = 8 × 3，92 72 = 8 × 4， .
（1）写出192 172 的结果；
解：192 172 = 8 × 9 .
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含 的等式表示， 为正整数）；
解：由题意可得，(2 + 1)2 (2 1)2 = 8 .
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的.
解：∵ (2 + 1)2 (2 1)2 = [(2 + 1) + (2 1)][(2 + 1) (2 1)] = (2 + 1 + 2
1) (2 + 1 2 + 1) = 4 × 2 = 8 ，
∴ (2 + 1)2 (2 1)2 = 8 正确.
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