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第十六章 整式的乘法
章测综合练习
一、选择题
1.［2025 河北石家庄质检］ 8 可以表示为( )
A. 3 + 5 B.( 2)6 C. 10 2 D. 4 4
解析：A 选项， 3与 5 不是同类项，不能合并，不符合题意；B选项，( 2)6 = 12， 12 ≠ 8，
不符合题意；C选项， 10与 2 不是同类项，不能合并，不符合题意；D选项， 4 4 = 8 ，
符合题意.故选 D.
2.［2025 河南信阳三模］下列计算正确的是( )
A.2 2 = 2 2 B.( 3 2)3 = 9 6
C.7 5 = 2 D.(8 2 ) ÷ (2 ) = 4
解析：2 2 = 2 3，故选项 A错误；( 3 2)3 = 27 6 ，故选项 B错误；7 5 不能合
并，故选项 C错误；(8 2 ) ÷ (2 ) = 4 ，故选项 D正确.故选 D.
3.［2025 山西大同质检］若( 2 + 9)( + 3)( 3) = 81，则 = ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
解析：( 2 + 9)( + 3)( 3) = ( 2 + 9) ( 2 9) = 4 92 = 81 ，则 = 4 .故选 B.
4.［2025 黑龙江哈尔滨期末］若 + 与 + 4的乘积中不含 的一次项，则 的值为( )
A. 4 B.4 C.0 D.1
解析：( + )( + 4) = 2 + ( + 4) + 4 .因为 + 与 + 4的乘积中不含 的一次项，
所以 + 4 = 0，所以 = 4 .故选 A.
5.对于等式( + )2 = 2 + 2 ，甲、乙、丙三人有不同看法，则下列说法正确的是( )
甲：无论 和 取何值，等 乙：只有当 =0 时，等 丙：当 =0或 =0 时，
式均不能成立 式才能成立 等式成立
A.只有甲正确 B.只有乙正确
C.只有丙正确 D.三人说法均不正确
解析：因为( + )2 = 2 + 2 + 2 ，所以若( + )2 = 2 + 2 ，则
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第十六章 整式的乘法
2 + 2 + 2 = 2 + 2，所以 2 = 0,所以 = 0或 = 0 .故选 C.
6.已知 = 5， 2 + = 50，则 的值为( )
A.10 B.5 C.2 D.40
解析：因为 = 5， 2 + = 50，所以 2 + = 2 = ( )2 = 50 ，所以52 = 50，
所以 = 50 ÷ 52 = 2 .故选 C.
7.若 = ( 2)( 3)， = ( 1)( 4)，则 与 的大小关系是( )
A.由 的取值而定 B. = C. < D. >
解析：∵ = ( 2)( 3) = 2 5 + 6 ， = ( 1)( 4) = 2 5 + 4，∴ =
2 > 0，∴ > ，故选 D.
8.［2025 浙江绍兴期末］若 ， ， 均为整式，且 = ，则称 (或 ) 能整除 ．例如，
由( + 3)( 2) = 2 + 6，可知 + 3(或 2) 能整除 2 + 6．已知 2能整除 2 +
7，则 的值为( )
A.3 B.5 C.7 D.13
2 2 2 2
7 3 3
解析：根据题意可知( + )( 2) = 2 + 7 ，即 2 + 7 = 2 + 7，所以 =
2 2 2
.故选 A.
9.我们知道，同底数幂的乘法法则为 = + （其中 ≠ 0， ， 为正整数）.类似地，
我们规定关于任意正整数 ， 的一种新运算： ( + ) = ( ) ( )，比如 (2) = 3，
则 (4) = (2 + 2) = 3 × 3 = 9 .若 (2) = ( ≠ 0)，则 (2 ) (2 020) 的结果是( )
A.2 + 2 021 B.2 +2 022 C. +1 010 D.2 022
解析：因为 (2) = ( ≠ 0)， ( + ) = ( ) ( ) ，所以 (2 ) (2 020) =
(2+2+ +2 个) (2+2+ +21010个) = (2) (2) (2) 个
(2) (2) (2)1 010个 = 1 010 = +1 010 ，故选 C.
二、填空题
10.［2025 山东聊城期末］计算：2 0242 2 025 × 2 023 = ___．
解析：20242 2025 × 2023 = 20242 2024 + 1 × 2024 1
= 20242 (20242 1) = 20242 2 0242 + 1 = 1 .故答案为 1.
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第十六章 整式的乘法
11.［2025 河南南阳质检］卫星绕地球表面做圆周运动的速度（即第一宇宙速度）约为 7.9 × 103
米/秒，则卫星运行 6 × 102 秒所走的路程约为___________米．（结果用科学记数法表示）
解析：卫星运行6 × 102 秒所走的路程为7.9 × 103 × 6 × 102 = 47.4 × 105 = 4.74 × 10（6 米）.
故答案为 4.74 × 106 .
12.［2025 常德质检］若(2 024 )( 2 021) + 10 = 0，则 4 045 2 的值为____．
解析：设 = 2024 ， = 2 021，则 + 10 = 0， + = 3 ，所以 = 10，所
以( )2 = ( + )2 4 = 32 4 × ( 10) = 49 ，所以 4045 2 = 2 024 (
2021) = =± 7.故答案为±7 .
13.1261 年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们
将这个数表称为“杨辉三角”.观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，
( + )7 展开的多项式中各项系数之和为_____.
解析：因为( + )1展开的多项式中各项系数之和是 2 = 21；( + )2 展开的多项式中各项
系数之和是 4 = 22；( + )3 展开的多项式中各项系数之和为 8 = 23;…,所以( + ) 展开的
多项式中各项系数之和是2 ，所以( + )7 展开的多项式中各项系数之和为27 = 128 .故答案
为 128.
三、解答题
14.计算：
（1） 3 ( 2 2)3 ÷ ( 1 ) ；
2
解：原式= 3 ( 8 6) ÷ ( 1 ) = 8 9 ÷ ( 1 ) = 16 8 .
2 2
（2）( + 3 )(7 2 ) ；
解：原式= 7 2 + 2 + 21 6 2 = 7 2 + 23 6 2 .
（3） ( + )( + ) ( )2 .
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第十六章 整式的乘法
解：原式= ( 2 2) ( 2 2 + 2) = 2 + 2 2 + 2 2 = 2 2 + 2 .
15.［2025 江西抚州期末］先化简，再求值：
[( 2 )2 + ( + 2 )( 2 )] ÷ (2 )，其中 ， 满足| 2| + ( + 3)2 = 0 .
解：原式= ( 2 4 + 4 2 + 2 4 2) ÷ (2 ) = (2 2 4 ) ÷ (2 ) = 2 .
由| 2| + ( + 3)2 = 0，得 = 2， = 3，所以原式= 2 2 × ( 3) = 8 .
16.［2025 河南开封祥符区期末］
（1）阅读下面的材料并填空：
(1 1 ) × (1 + 1 ) = 1 1① 2，反过来，得 1
1
2 = (1
1 ) × (1 + 1 ) = 1 × 3 ；
2 2 2 2 2 2 2 2
②(1 1 ) × (1 + 1 ) = 1 1 12，反过来，得 1 2 = (1
1 ) × (1 + 1 ) = __×__；
3 3 3 3 3 3
1
③(1 ) × (1 + 1 ) = 1 1 1 3 52，反过来，得 1 2 =________________= × .4 4 4 4 4 4
（2）利用上面材料中的方法和结论计算下题：
(1 1 1 12 ) × (1 2 ) × (1 2 ) × × (1
1
2 ) × (1
1 1
2 3 4 2 021 2 0222
) × (1 ) .
2 0232
1 1
解：根据材料中的方法和结论，得原式= (1 ) × (1 + ) × (1 1 ) × (1 + 1 ) × (1 1 ) ×
2 2 3 3 4
(1 + 1 ) × × (1 1 ) × (1 + 1 ) × (1 1 ) × (1 + 1 ) × (1 1 ) × (1 + 1 )
4 2 021 2 021 2 022 2 022 2 023 2 023
= 1 × 3 × 2 × 4 × 3 × 5 × × 2 020 × 2 022 × 2 021 × 2 023 × 2 022 × 2 024
2 2 3 3 4 4 2 021 2 021 2 022 2 022 2 023 2 023
= 1 × 2 024
2 2 023
= 1 012 .
2 023
17.［2025 江西南昌期末］
【知识生成】数形结合是数学学习中的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助解决
数学问题.
（1）图（1）是一个边长为 + 的正方形，用两条分割线将其分为两个小正方形和两个长方
形，两个小正方形的边长分别为 和 ；图（2）是一个边长为 的正方形，用两条分割线将其
分为两个小正方形和两个长方形，两个小正方形的边长分别为 和 ，请分别写出两个图
中阴影部分的面积所蕴含的乘法公式：
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第十六章 整式的乘法
图（1） 图（2）
图（1）：________________________；
图（2）：________________________.
解：由题图（1）的阴影部分的面积可得( + )2 = 2 + 2 + 2 ；由题图（2）的阴影部分
的面积可得( )2 = 2 2 + 2 .故答案为
( + )2 = 2 + 2 + 2，( )2 = 2 2 + 2 .
【拓展探究】（2）如图（3），用 4个长和宽分别为 ， 的长方形拼成一个正方形，请你根
据阴影部分的面积，直接写出( + )2，( )2， 之间的等量关系.
图（3）
解：( )2 = ( + )2 4 .
【解决问题】（3）如图（4）， 是线段 上的一点，分别以 ， 为边向两侧作正方形
和正方形 ，若 = 6 ，两正方形的面积和为 20，求△ 的面积.
图（4）
解：设 = , = ，则 = + = 6 ，∴ ( + )2 = 2 + 2 + 2 = 36.
∵ 两正方形的面积和为 20，∴ 2 + 2 = 20，∴ 2 = 36 ( 2 + 2) = 16，∴ = 8，
∴ 1△ = = 4 .2
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章测综合练习
一、选择题
1.［2025 河北石家庄质检］ 8 可以表示为( )
A. 3 + 5 B.( 2)6 C. 10 2 D. 4 4
2.［2025 河南信阳三模］下列计算正确的是( )
A.2 2 = 2 2 B.( 3 2)3 = 9 6
C.7 5 = 2 D.(8 2 ) ÷ (2 ) = 4
3.［2025 山西大同质检］若( 2 + 9)( + 3)( 3) = 81，则 = ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
4.［2025 黑龙江哈尔滨期末］若 + 与 + 4的乘积中不含 的一次项，则 的值为( )
A. 4 B.4 C.0 D.1
5.对于等式( + )2 = 2 + 2 ，甲、乙、丙三人有不同看法，则下列说法正确的是( )
甲：无论 和 取何值，等 乙：只有当 =0 时，等 丙：当 =0或 =0 时，
式均不能成立 式才能成立 等式成立
A.只有甲正确 B.只有乙正确
C.只有丙正确 D.三人说法均不正确
6.已知 = 5， 2 + = 50，则 的值为( )
A.10 B.5 C.2 D.40
7.若 = ( 2)( 3)， = ( 1)( 4)，则 与 的大小关系是( )
A.由 的取值而定 B. =
C. < D. >
8.［2025 浙江绍兴期末］若 ， ， 均为整式，且 = ，则称 (或 ) 能整除 ．例如，
由( + 3)( 2) = 2 + 6，可知 + 3(或 2) 能整除 2 + 6．已知 2能整除 2 +
7，则 的值为( )
A.3 B.5 C.7 D.13
2 2 2 2
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第十六章 整式的乘法
9.我们知道，同底数幂的乘法法则为 = + （其中 ≠ 0， ， 为正整数）.类似地，
我们规定关于任意正整数 ， 的一种新运算： ( + ) = ( ) ( )，比如 (2) = 3，
则 (4) = (2 + 2) = 3 × 3 = 9 .若 (2) = ( ≠ 0)，则 (2 ) (2 020) 的结果是( )
A.2 + 2 021 B.2 +2 022 C. +1 010 D.2 022
二、填空题
10.［2025 山东聊城期末］计算：2 0242 2 025 × 2 023 = ___．
11.［2025 河南南阳质检］卫星绕地球表面做圆周运动的速度（即第一宇宙速度）约为 7.9 × 103
米/秒，则卫星运行 6 × 102 秒所走的路程约为___________米．（结果用科学记数法表示）
12.［2025 常德质检］若(2 024 )( 2 021) + 10 = 0，则 4 045 2 的值为____．
13.1261 年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们
将这个数表称为“杨辉三角”.观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，
( + )7 展开的多项式中各项系数之和为_____.
三、解答题
14.计算：
（1） 3 ( 2 2)3 ÷ ( 1 ) ；
2
（2）( + 3 )(7 2 ) ；
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第十六章 整式的乘法
（3） ( + )( + ) ( )2 .
15.［2025 江西抚州期末］先化简，再求值：
[( 2 )2 + ( + 2 )( 2 )] ÷ (2 )，其中 ， 满足| 2| + ( + 3)2 = 0 .
16.［2025 河南开封祥符区期末］
（1）阅读下面的材料并填空：
1
①(1 ) × (1 + 1 ) = 1 12，反过来，得 1
1 = (1 1 ) × (1 + 1 ) = 1 × 3 ；
2 2 2 22 2 2 2 2
②(1 1 ) × (1 + 1 ) = 1 1 1 1 12，反过来，得 1 2 = (1 ) × (1 + ) = __×__；3 3 3 3 3 3
(1 1 ) × (1 + 1 ) = 1 1 1 1 = 3 5③ 2，反过来，得 2 ________________= × .4 4 4 4 4 4
（2）利用上面材料中的方法和结论计算下题：
(1 12 ) × (1
1
2 ) × (1
1
2 ) × × (1
1
2 ) × (1
1
2 ) × (1
1 ) .
2 3 4 2 021 2 022 2 0232
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第十六章 整式的乘法
17.［2025 江西南昌期末］【知识生成】数形结合是数学学习中的一种重要的思想方法，借助
图的直观性，可以帮助解决数学问题.
（1）图（1）是一个边长为 + 的正方形，用两条分割线将其分为两个小正方形和两个长方
形，两个小正方形的边长分别为 和 ；图（2）是一个边长为 的正方形，用两条分割线将其
分为两个小正方形和两个长方形，两个小正方形的边长分别为 和 ，请分别写出两个图
中阴影部分的面积所蕴含的乘法公式：
图（1） 图（2）
图（1）：________________________；
图（2）：________________________.
【拓展探究】（2）如图（3），用 4个长和宽分别为 ， 的长方形拼成一个正方形，请你根
据阴影部分的面积，直接写出( + )2，( )2， 之间的等量关系.
图（3）
【解决问题】（3）如图（4）， 是线段 上的一点，分别以 ， 为边向两侧作正方形
和正方形 ，若 = 6 ，两正方形的面积和为 20，求△ 的面积.
图（4）
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