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第十五章 轴对称
章测综合练习
一、选择题（本大题共 9 小题，每小题 4 分，共 36 分）
1.如图，下面是三位同学的折纸示意图，则 AD 依次是△ABC 的( )
① ② ③
A.中线、角平分线、高线 B.高线、中线、角平分线
C.角平分线、高线、中线 D.角平分线、中线、高线
2.已知点 A(m 1,3)与点 B(2,n 1)关于 x 轴对称，则(m+n)2 020 的值为( )
A.0 B.1 C. 1 D.32 020
3.［2025 黑龙江哈尔滨质检］如图，在△ABC 中，∠BAC=75 ，∠ACB=35 ，AC=8，∠ABC
的平分线 BD 交边 AC 于点 D，则 AD+BD 的长为( )
A.10 B.8 C.6 D.4
4.［2025 山东临沂期中］根据作图痕迹判断下列图中，BD 不能把△ABC 分成两个等腰三角形
的是( )
A. B. C. D.
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第十五章 轴对称
5.如图，点 A,B 在直线 l 的同侧，点 C 在直线 l 上，且△ABC 是等腰三角形.符合条件的点 C
个数为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
6.［江苏盐城期中］如图，点 E 在等边△ABC 的边 BC 上，BE=4，射线 CD⊥BC，垂足为点 C，
点 P 是射线 CD 上一动点，点 F 是线段 AB 上一动点，当 EP+FP 的值最小时，BF=5，则 AF
的长为( )
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
7.如图，过边长为 4 的等边三角形的边 AB 上一点 P，作 PE⊥AC 于点 E，Q 为 BC 延长线上
一点，当 PA=CQ 时，连接 PQ 交边 AC 于点 D ，则 DE 的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3
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第十五章 轴对称
8.如图，已知正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 M，顶点 A ,B,C 的坐标分别为(1,3),(1,1),
(3,1)，规定“把正方形 ABCD 先沿 x 轴翻折，再向右平移 1 个单位”为一次变换，如此这样，连
续经过 2 020 次变换后，点 M 的坐标变为( )
A.(2 022,2) B.(2 022, 2) C.(2 020,2) D.(2 020, 2)
第 8 题图 第 9 题图
9.［2025 江苏无锡质检］如图，已知等腰△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120 ，AD⊥BC 于点
D，点 P 是 BA 延长线上一点，点 O 是线段 AD 上一点，OP=OC ，下面的结论：
①∠APO+∠DCO=30 ；②△OPC 是等边三角形；③AC=AO+AP ；④S△ABC=S四边形AOCP .其中
正确的有( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
10.［2025 北京西城区期末］如图，在 3×3 的正方形网格中有四个格点 A，B，C，D ，以其
中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴（水平向右为 x 轴正方向，竖直向上为 y 轴正方
向），建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是
点___.
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第十五章 轴对称
11.小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，则“？”处的条件可以是_________________.
（填一个即可）
12.若(a 3)2+ b 5=0，则以 a，b 为边长的等腰三角形的周长为________.
13.如图，∠BOC=60 ，点 A 是 OB 反向延长线上的一点，OA=10 cm，动点 P 从点 A 出发沿
AB 以 2 cm/s 的速度移动，动点 Q 从点 O 出发沿 OC 以 1 cm/s 的速度移动，如果 P，Q 同时
出发，用 t s 表示移动的时间，当 t=_______时，△POQ 是等腰三角形.
三、解答题（本大题共 3 小题，共 44 分）
14.［2025 山西吕梁期中］如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36 .
（1）尺规作图：作线段 AB 的垂直平分线，交 AB 于点 E，交 AC 于点 D，连接 BD .
（不必写作图步骤，保留作图痕迹）
（2）求证：BD=BC .
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第十五章 轴对称
15.［2025 江苏无锡质检］在如图所示的由小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知
△ABC 的顶点都在小正方形的顶点上.
（1）△ABC 三个顶点的坐标分别为 A______，B _____，C ______.
（2）借助网格，请只用直尺（不含刻度）在 x 轴上找一点 Q，使得△QAB 的周长最小（在图
中标出点 Q），此时点 Q 的坐标为______.
16. 如图，点 O 是等边△ABC 内一点，D 是△ABC 外的一点，∠AOB=110 ，∠BOC=α ，
△BOC≌△ADC，∠OCD=60 ，连接 OD .
（1）求证：△OCD 是等边三角形.
（2）当α=150 时，试判断△AOD 的形状，并说明理由.
（3）探究：当α 为多少度时，△AOD 是等腰三角形
28/44第十五章 轴对称
章测综合练习
一、选择题（本大题共 9 小题，每小题 4 分，共 36 分）
1.如图，下面是三位同学的折纸示意图，则 AD 依次是△ABC 的( )
① ② ③
A.中线、角平分线、高线 B.高线、中线、角平分线
C.角平分线、高线、中线 D.角平分线、中线、高线
解析：由①的折叠方式可知，∠ = ∠ ，所以 是△ 的角平分线.由②的折叠方式
可知，∠ = ∠ ′.又因为∠ + ∠ ′ = 180 ，所以∠ = ∠ ′ = 90 ，
即 ⊥ ，所以 是△ 的高线.由③的折叠方式可知， = ，所以 是△ 的
中线.故选 C.
2.已知点 A(m 1,3)与点 B(2,n 1)关于 x 轴对称，则(m+n)2 020 的值为( )
A.0 B.1 C. 1 D.32 020
解析：∵ 点 A(m 1,3)与点 B(2,n 1)关于 x 轴对称,∴m 1=2,n 1= 3 ,∴m=3,n= 2，
∴(m+n)2 020=1 .故选 B.
3.［2025 黑龙江哈尔滨质检］如图，在△ABC 中，∠BAC=75 ，∠ACB=35 ，AC=8，∠ABC
的平分线 BD 交边 AC 于点 D，则 AD+BD 的长为( )
A.10 B.8 C.6 D.4
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第十五章 轴对称
解析：在△ABC 中，∠BAC=75 ，∠ACB=35 ∴∠ABC=180 ∠BAC ∠ACB=70 .
∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBC= 1∠ABC=35 ，∴∠DBC=∠ACB，∴BD=CD ，
2
∴AD+BD=AD+CD=AC=8 ，故选 B.
4.［2025 山东临沂期中］根据作图痕迹判断下列图中，BD 不能把△ABC 分成两个等腰三角形
的是( )
A. B. C. D.
解析：A 选项，∵∠C=72 ,∠A=36 ，∴∠ABC=180 72 36 =72 .
∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBC=∠DBA=∠A=36 ，∴∠BDC=∠C=72 ，AD=BD,∴BC=BD ，
∴△ABD 和△BCD 都为等腰三角形，∴BD 能把△ABC 分成两个等腰三角形，故 A 不符合题
意.B 选项，∵BD 是线段 AC 的垂直平分线，∠C=∠A=45 ， ∴∠CDB=∠ADB=90 ，
∴∠ABD=∠CBD=∠C=∠A=45 ，∴AD=BD , DC=BD，∴△ABD 和△BCD 都为等腰三角形，
∴BD 能把△ABC 分成两个等腰三角形，故 B 不符合题意.C 选项，∵∠A=30 ，∠ABC=90
，∴BC= 1AC ，∠C=60 .∵CD=BC= 1AC，∴BC=CD=AD，△BCD 是等边三角形，
2 2
∴AD=BD=CD,∴△ABD 和△BCD 都为等腰三角形，∴BD 能把△ABC 分成两个等腰三角形，
故 C 不符合题意.D 选项，∵∠A=∠C=30 ，AB=AD ，∴∠ABD=∠ADB=75 ,∠ABC=120
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第十五章 轴对称
,∴∠BDC=105 ,∠DBC=45 , ∴△BDC 不是等腰三角形，∴BD 不能把△ABC 分成两个
等腰三角形，故 D 符合题意. 故选 D.
5.如图，点 A,B 在直线 l 的同侧，点 C 在直线 l 上，且△ABC 是等腰三角形.符合条件的点 C
个数为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
解析：如图，点C1，C2，C3，C4，C5即为符合条件的点 C ，故选 A.
6.［江苏盐城期中］如图，点 E 在等边△ABC 的边 BC 上，BE=4，射线 CD⊥BC，垂足为点 C，
点 P 是射线 CD 上一动点，点 F 是线段 AB 上一动点，当 EP+FP 的值最小时，BF=5，则 AF
的长为( )
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
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第十五章 轴对称
解析：如图 作 E 点关于 CD 的对称点 E'，过 E'作 E'F⊥AB 于点 F ，
交 CD 于点 P，连接 PE，则 PE=PE' ，∴EP+FP=PE'+PF=E'F，此时 EP+FP 的值最小.
∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=60 .∵E'F⊥AB ，∴∠FE'B=30 ，
∴BE'=2BF=2×5=10.∵BE=4，CE=CE' ，∴10=2CE+BE=2CE+4，∴CE=3，∴BC=BE+CE=4+3=7，
∴AB=BC=7, ∴AF=AB BF=7 5=2 ,故选 B.
7.如图，过边长为 4 的等边三角形的边 AB 上一点 P，作 PE⊥AC 于点 E，Q 为 BC 延长线上
一点，当 PA=CQ 时，连接 PQ 交边 AC 于点 D ，则 DE 的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3
解析：过 P 作 BC 的平行线交 AC 于 F ，如图，
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第十五章 轴对称
∴∠Q=∠FPD.∵△ABC 是等边三角形，PF//BC,∴∠APF=∠B=60 ，
∠AFP=∠ACB=60 ，∴△APF 是等边三角形，∴AP=PF.∵AP=CQ ，
∠FPD=∠Q,
∴PF=CQ.在△PFD 和△QCD 中， ∠PDF=∠QDC,∴△PFD≌△QCD(AAS) ，
PF=CQ,
∴FD=CD.∵PE⊥AC 于 E，△APF 是等边三角形，∴AE=EF ，
∴AE+DC=EF+FD， DE= 1∴ AC.∵AC=4，∴DE=2 .故选 A.
2
8.如图，已知正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 M，顶点 A ,B,C 的坐标分别为(1,3),(1,1),
(3,1)，规定“把正方形 ABCD 先沿 x 轴翻折，再向右平移 1 个单位”为一次变换，如此这样，连
续经过 2 020 次变换后，点 M 的坐标变为( )
A.(2 022,2) B.(2 022, 2) C.(2 020,2) D.(2 020, 2)
解析：∵ 正方形 ABCD 顶点 A(1,3),B(1,1),C(3,1),∴ 对角线交点 M 的坐标为(2,2).根据题意得
第 1 次变换后点 M 的对应点的坐标为(2+1, 2),即(3, 2) ;第 2 次变换后点 M 的对应点的坐标为
(2+2,2),即(4,2);第 3次变换后点M 的对应点的坐标为(2+3, 2),即(5, 2); ,∴ 第 n 次变换后的
点M 的对应点的坐标:当n 为奇数时坐标为(2+n, 2),当n 为偶数时坐标为(2+n,2),∴ 连续经过
2 020 次变换后,正方形 ABCD 对角线的交点 M 的坐标变为(2 022,2) .故选 A.
9.［2025 江苏无锡质检］如图，已知等腰△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120 ，AD⊥BC 于点
D，点 P 是 BA 延长线上一点，点 O 是线段 AD 上一点，OP=OC ，下面的结论：
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第十五章 轴对称
①∠APO+∠DCO=30 ；②△OPC 是等边三角形；③AC=AO+AP ；④S△ABC=S四边形AOCP .其中
正确的有( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④
解析：如图（1），
连接 OB.∵∠BAC=120 ,AB=AC，AD⊥BC，∴∠ABC=∠ACB=30 , BD=CD，
∠BAD= 1 1∠CAD= ∠BAC= ×120 =60 ，∴AD 垂直平分 BC ，∴OB=OC.∵OP=OC，
2 2
∴OB=OC=OP，∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO ，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30 ，故①正确.
∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180 ，∴∠APC+∠DCP=150 .∵∠APO+∠DCO=30 ，
∴∠OPC+∠OCP=120 ，∴∠POC=180 (∠OPC+∠OCP)=60 .∵OP=OC，∴△OPC 是
等边三角形，故②正确.∵△OPC 是等边三角形，∴OP=OC=PC,∠OPC=60 .
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第十五章 轴对称
如图（2），
在 AC 上截取 AE=PA.∵∠PAE=180 ∠BAC=60 ，∴△APE 是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60 ，PE=PA ，
∴∠APO+∠OPE=60 .∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60 ，
PA=PE,
∴∠APO=∠CPE.在△OPA 和△CPE 中， ∠APO=∠EPC,∴△OPA≌△CPE(SAS)，
OP=CP,
∴AO=CE ，∴AC=CE+AE=AO+AP ，故③正确.
如图（3）
过点 C 作 CH⊥AP 于 H.∵∠PAC=∠DAC=60 ，AD 1⊥BC，∴CH=CD .∵S△ABC= AB CH2
1 1 1 1
S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC= AP CH+ OA CD= AP CH+ OA CH2 2 2 2
= 1CH (AP+OA)= 1CH AC= 1CH AB，∴S△ABC=S四边形AOCP ，故④正确.故选 D.2 2 2
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
10.［2025 北京西城区期末］如图，在 3×3 的正方形网格中有四个格点 A，B，C，D ，以其
中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴（水平向右为 x 轴正方向，竖直向上为 y 轴正方
向），建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是
点___.
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第十五章 轴对称
解析：如图所示，点 A 与点 B 关于 x 轴对称，原点是点 D.故答案为 D .
11.小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，则“？”处的条件可以是_________________.
（填一个即可）
解析：添加∠A=60 .理由如下：
180 ∠A
∵△ABC 为等腰三角形，∠A=60 ,∴∠B=∠C= =60 ，
2
∴△ABC 为等边三角形，故答案为∠A=60 （答案不唯一）.
12.若(a 3)2+ b 5=0，则以 a，b 为边长的等腰三角形的周长为________.
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第十五章 轴对称
解析：∵(a 3)2+ b 5=0，∴a=3，b=5.当 a=3 为腰时，三角形周长为 2a+b=6+5=11；当 b=5
为腰时，三角形的周长为 a+2b=3+10=13 ，故答案为 11 或 13.
13.如图，∠BOC=60 ，点 A 是 OB 反向延长线上的一点，OA=10 cm，动点 P 从点 A 出发沿
AB 以 2 cm/s 的速度移动，动点 Q 从点 O 出发沿 OC 以 1 cm/s 的速度移动，如果 P，Q 同时
出发，用 t s 表示移动的时间，当 t=_______时，△POQ 是等腰三角形.
解析：当 P 在 OA 上，PO=QO 时，△POQ 是等腰三角形，
如图（1）所示. ∵PO=AO AP=(10 2t)cm，OQ=t cm，
∴ 当 PO=QO 时，10 2t=t ，解得 t= 10.
3
当 P 在 OB 上，PO=QO 时，△POQ 是等腰三角形,
如图（2）所示.
∵PO=AP AO=(2t 10)cm，OQ=t cm，∴ 当 PO=QO 时，2t 10=t ,解得 t=10.
故当 t= 10或 10 时，△POQ 是等腰三角形.
3
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第十五章 轴对称
三、解答题（本大题共 3 小题，共 44 分）
14.［2025 山西吕梁期中］如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36 .
（1）尺规作图：作线段 AB 的垂直平分线，交 AB 于点 E，交 AC 于点 D，连接 BD .
（不必写作图步骤，保留作图痕迹）
解析：如图.
（2）求证：BD=BC .
证明：∵AB=AC，∠A=36 ，∴∠ABC=∠C= 1 (180 ∠A)=72 .∵DE 是 AB 的垂直平分线，
2
∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=36 ，∴∠BDC=∠A+∠ABD=36 +36 =72 =∠C，∴BD=BC .
15.［2025 江苏无锡质检］在如图所示的由小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知
△ABC 的顶点都在小正方形的顶点上.
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第十五章 轴对称
（1）△ABC 三个顶点的坐标分别为 A______，B _____，C ______.
解析：根据题图得 A(1,1)，B(4,2)，C(2,4) ，故答案为(1,1)，(4,2)，(2,4) .
（2）借助网格，请只用直尺（不含刻度）在 x 轴上找一点 Q，使得△QAB 的周长最小（在图
中标出点 Q），此时点 Q 的坐标为______.
解析：如图， 作点 B 关于 x 轴对称的点 B'，连接 AB' ，
交 x 轴于 Q，则点 Q 即为所求，点 Q 的坐标为(2,0) .故答案为(2,0) .
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第十五章 轴对称
16. 如图，点 O 是等边△ABC 内一点，D 是△ABC 外的一点，∠AOB=110 ，∠BOC=α ，
△BOC≌△ADC，∠OCD=60 ，连接 OD .
（1）求证：△OCD 是等边三角形.
证明：∵△BOC≌△ADC，∴OC=DC.∵∠OCD=60 ，∴△OCD 是等边三角形.
（2）当α=150 时，试判断△AOD 的形状，并说明理由.
解析：△AOD 是直角三角形.理由如下：∵△OCD 是等边三角形，∴∠ODC=60 .
∵△BOC≌△ADC，α=150 ，∴∠ADC=∠BOC=α=150 ，
∴∠ADO=∠ADC ∠ODC=150 60 =90 ，∴△AOD 是直角三角形.
（3）探究：当α 为多少度时，△AOD 是等腰三角形
解析：∵△OCD 是等边三角形，∴∠COD=∠ODC=60 .
∵∠AOB=110 ，∠ADC=∠BOC=α ，
∴∠AOD=360 ∠AOB ∠BOC ∠COD=360 110 α 60 =190 α，
∠ADO=∠ADC ∠ODC=α 60 ，
∴∠OAD=180 ∠AOD ∠ADO=180 (190 α) (α 60 )=50 .
分三种情况:①当∠AOD=∠ADO 时，190 α=α 60 ，∴α=125 .
②当∠AOD=∠OAD 时，190 α=50 ，∴α=140 .
③当∠ADO=∠OAD 时，α 60 =50 ，∴α=110 .
综上所述,当α=110 或125 或140 时，△AOD 是等腰三角形.
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