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广东省清远市连州中学2025年中考一模数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025·连州模拟）中国传统纹饰图案不但蕴含了丰富的文化，而且大多数图案还具有对称美．下列纹饰图案中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形， 故选项错误，不符合题意；
B、不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意；
C、不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意；
D、是中心对称图形，故选项正确，符合题意．
故选：D．
【分析】本题考查了中心对称图形的定义即：把一个图形绕某个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形定义逐项判断即可．
2．（2025·连州模拟）某型号手机作为首款搭载纯鸿蒙系统和自主芯片的手机，在开放预约购买后，引起全民的追捧，截止发布会前，预约购买人数达到334万，那么用科学记数法表示334万为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：334万，
故选：B．
【分析】
本题考查科学记数法表示较大的数，将一个数表示为的形式，其中为整数，n的值比位数少1.这种记数方法叫做科学记数法，关键是确定a、n的值。
3．（2025·连州模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
【分析】
本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方，同底数幂乘除法计算，根据对应的计算法则分别计算出每个选项中式子的结果即可得到答案．
4．（2025·连州模拟）若代数式 在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．且
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，x+1≥0且x≠0，
解得x≥-1且x≠0．
故选：D．
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不等于0，可得到关于x的不等式组，然后解不等式组求出x的取值范围.
5．（2025·连州模拟）根据惠州市教育局的体育中考政策，男子1000米、女子800米是体育中考必考项目，而跳绳是选考项目．九年级（1）班共有40人选考了跳绳，以下是其中10人的模考跳绳成绩，那么成绩的中位数和众数分别是（　　）
跳绳成绩/个 170 176 182 184 200
人数 1 1 3 4 1
A．182，185 B．183，184 C．185，182 D．184，183
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】解：
把10人的跳绳成绩排列如下：170，176，182，182，182，184，184，184，184，200
则其中位数为5、6个数据的平均数，即中位数，
由表可知成绩为184的人数最多，
∴成绩的众数，
故选：B．
【分析】
本题考查了众数和中位数的知识；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两根数的平均数）为中位数，从而完成求解．
6．（2025·连州模拟）将一副三角板如图放置，使点在上，，则的度数为（　　）
A．45° B．50° C．60° D．75°
【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【分析】根据题意得到，，再根据平行线的性质两直线平行，内错角相等得到，最后利用三角形内角和求出，．
7．（2025·连州模拟）如图，电路图上有3个开关A，B，C和一个小灯泡，同时闭合开关A，C或同时闭合开关B，C都可以使小灯泡发光．下列操作中，使“小灯泡发光”的事件是随机事件的是（　　）
A．不闭合开关 B．只闭合1个开关
C．只闭合2个开关 D．闭合3个开关
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】
A：不闭合开关
若不闭合任何开关，则电路中没有电流，小灯泡一定不会发光，属于不可能事件，因此选项A不符合题意。
B：只闭合1个开关
若只闭合一个开关（如A、B或C），此时无法满足同时闭合A和C或同时闭合B和C的条件，小灯泡必然不会发光，属于不可能事件，因此选项B不符合题意。
C：只闭合2个开关
若只闭合2个开关，存在两种情况：
闭合A和C：此时满足条件，小灯泡发光。属于必然事件
闭合B和C：此时也满足条件，小灯泡发光。属于必然事件
闭合A和B：此时不满足条件，小灯泡不发光。属于不可能事件
由于闭合两个开关可能为A和C、B和C或A和B，其中两种情况会发光，一种不会，因此“小灯泡发光”是否发生取决于具体闭合的开关组合，属于随机事件，选项C符合题意。
D：闭合3个开关
若闭合所有三个开关（A、B、C），此时A和C同时闭合、B和C同时闭合均满足条件，小灯泡必然发光，属于必然事件，因此选项D不符合题意。
故答案为：C
【分析】
根据事件的定义，判断各选项操作下小灯泡是否发光的情况，进而确定是否为随机事件。
8．（2025·连州模拟）如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积为（　　）
A． B．6 C． D．
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由图可知：AC=A’C=4，BC=2，
∴，
∴，
线段扫过的图形为扇形，此扇形的半径为，
∴，
故选：D．
【分析】由题意可知，AC扫过的图形为一个扇形，半径为4，需求出圆心角∠BCA’在Rt△BCA’中，BC=2，CA=4，求出利用即可求出CA扫过的面积。
9．（2025·连州模拟）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x，y的二元一次方程组中符合题意的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得：，
故答案为：C.
【分析】由题意“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，可列出二元一次方程组，即可得解.
10．（2025·连州模拟）如图1，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图2所示，则的值为（　　）
A．54 B．52 C．50 D．48
【答案】B
【知识点】勾股定理；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在中，由勾股定理得，，
当点在上时，
，，，
，
，
即，
，
，
，
当时，，
如图，当点在上时，
，，
又，
，
，
即，
，
，
当时，，
．
故选：B．
【分析】
分点在和上两种情况进行讨论，再利用相似三角形求出对应情况下的底和高进而求出面积的表达式，即可求出结果．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025·连州模拟）分解因式3x3-12x=　 　
【答案】3x（x+2）（x-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3x3-12x
=3x（x2-4）--（提取公因式）
=3x（x-2）（x+2）．
【分析】注意将提取公因式与乘法公式综合应用，将整式提取公因式后再次利用公式分
12．（2025·连州模拟）已知点和点关于原点对称，则　 　．
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
则．
故答案为：．
【分析】
此题主要考查了关于原点对称点的定义，关于原点对称点定义：若点 ( ， )关于原点对的点为 '，则 '的坐标为( ， )。 直接利用关于原点对称点的定义得出a，b的值，即可得出答案．
13．（2025·连州模拟）不等式组的解集是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： ，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
故答案为：．
【分析】
本题主要考查了解一元一次不等式组，分别求出两个不等式的解，然后求出其解集即可．求解集的方法遵循“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了”原则。
14．（2025·连州模拟）关于的方程无解，则反比例函数的图象在第　 　象限．
【答案】一、三
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的图象；反比例函数的性质；列一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵关于的方程无解，
，
解得：，
∴反比例函数图象在第一，三象限，
故答案为：一，三．
【分析】
本题考查了一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质．根据一元二次方程根的判别式，求得K的取值范围，再判断反比例函数图象所在象限即可．
15．（2025·连州模拟）如图，正方形的边长为4，动点，分别从点，同时出发，以相同的速度分别沿向移动，当点到达点时，运动停止，过点作的垂线，垂足为，连接，则长的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，连接BD交EF于点O，
根据题意可得DE=BF，
四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠BFO=∠DEO，∠EDO=∠FBO
∴△EOD≌△FOB
∴BO=DO，
即点O是正方形中心，
∴BD=
连接CO，取CO的中点M，连接BM．
∴BO=DO=CO=.OM=
在Rt△OBM中
∴
在Rt△OPC中，M是CO的中点，OM=MC=PM=
当三点B、P、M共线时，BP最小，最小值为BM-PM=．
故答案为：．
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三角形的两边之差小于第三边等定理．
如图，连接BD交EF于点O，连接CO，取CO的中点M，连接BM．利用勾股定理求出BD，然后利用AAS证明△EOD≌△FOB，说明O是正方形的中心，得到BO=CO=DO，在Rt△OPC中，M是CO的中点，OM=MC=PM=，在Rt△OBM中，利用勾股定理求出BM， 当B、P、M三点共线时，BP最小，最小值为BM-PM.
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（2025·连州模拟）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查了特殊角三角函数值、绝对值、二次根式、负整数指数幂的混合运算．先代入特殊角的三角函数值，再利用二次根式、绝对值、的性质化简，再加减即可．
17．（2025·连州模拟）计算：，其中满足方程．
【答案】解：
解方程
．
．
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式有无意义的条件；分式的化简求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】此题考查了解一元二次方程、分式的化简求值和分式有意义的条件．先求一元二次方程的根，再化简分式，结合分式有意义的条件得到x的值，再代入化简计算即可．
18．（2025·连州模拟）如图，在中，，其中．
（1）请用尺规作图在线段上找点，使得；（不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，求的长．
【答案】（1）解：如图所示，作∠B=∠ACD，交AB于点D，点D即为所作点．
（2）解：AD=AB-BD=5-BD
∵△ACD∽△ABC
∴
即，
解得：BD=．
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查了尺规作图和相似三角形的性质.
（1）根据两个对应角分别相等的两个三角形相似，由于∠A=∠A 只要作出∠B=∠ACD即可。具体作法
①以∠B的顶点为圆心，任意半径画弧，交∠B的两边于两点M，N。②以∠C的顶点为圆心以相同半径画弧，交∠C的两边于两点PQ，.③用圆规量取已知角中弧AB的长度，保持圆规张开的宽度不变，将圆规针尖放在点p，画弧交之前的弧于点E，④连接CE并延长交AB于D.如图
（2）AD=AB-BD=5-BD，根据相似列比例式即可求解．
（1）解：如图所示，作，交于点，点即为所作点．
（2）解：，
，
即，
解得：．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025·连州模拟）为了更好地打响惠州品牌的名声，惠州市文体局举办了惠州第一届“乐跑山水惠州，尽享东坡文华”马拉松赛事．作为惠州本地的第一届马拉松赛事，全民都积极踊跃参与，而小明和小强也如愿中签并加入了马拉松赛事．文体局为了举办一场体验感更强的赛事，赛事沿路采取交通管制，对于参加赛事的运动员采取接驳点统一接送的措施．小强和小明家距离接驳上车点较近的都是以下4个停靠点：下埔公交站、滨江公园公交站、花边岭广场公交站、金华悦酒店．
（1）求小强和小明在同一个停靠点上车的概率；
（2）马拉松的“PB”是指刷新自己的最好成绩，赛后随机采访了15人，其中5人表示“PB”了，若本次参加马拉松赛事的有3000人，请估算本次马拉松赛事“PB”的人数．
【答案】（1）解：用分别表示下埔公交站、滨江公园公交站、花边岭广场公交站、金华悦酒店四个停靠点，用树状图表示结果如下：
由树状图可知，出现等可能的结果共有16种，其中小明和小强在同一停靠点上车（事件记为）的结果共有4种，
则
；
（2）解：估计本次马拉松赛事“PB”的人数为人．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体.
（1）用A、B、C、D分别表示下埔公交站、滨江公园公交站、花边岭广场公交站、金华悦酒店四个停靠。点画树状图得出所有等可能的结果数以及小强和小明在同一个停靠点上车的结果数，再利用概率公式可得出答案；
（2）根据“赛后随机采访了15人，其中5人表示“PB”了”先求出样本中“PB”的占比，然后估算本次马拉松赛事“PB”的人数．
（1）解：用分别表示下埔公交站、滨江公园公交站、花边岭广场公交站、金华悦酒店四个停靠点，用树状图表示结果如下：
由树状图可知，出现等可能的结果共有16种，其中小明和小强在同一停靠点上车（事件记为）的结果共有4种，
则；
（2）解：估计本次马拉松赛事“PB”的人数为人．
20．（2025·连州模拟）如图1是一辆高空作业升降车在某次工作时的实景图，图2是它的示意图．已知点A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，四边形为矩形，点B，C在地面l上，，是可以伸缩的起重臂，转动点E到l的距离为2米．当米，米，，时，求操作平台G到l的距离．
【答案】解：如图，过点G作于点H，过点F分别作于点M，交BC于点P，于点N，
则，
在中，，，
∴，
∵点E到地面l的距离为2米，四边形为矩形，点B，C在地面l上，
∴，，四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴操作平台G到l的距离为米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点G作于点H，过点F分别作于点M，交BC于点P，于点N，在中，利用解直角三角形求出FM的长；易证四边形和四边形是矩形，利用矩形的性质可求出MP，NH的长，同时可求出∠GFN的度数，然后在中，利用解直角三角形求出GN的长，根据GH=GN+NH，代入计算求出GH的长即可.
21．（2025·连州模拟）请阅读材料，并完成下列问题．
阿基米德折弦定理
阿基米德，伟大的数学家之一，其与牛顿、高斯并成为三大数学王子．在《阿基米德全集》中记载了阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦，其中是的中点，过点向作交于点，则就是折弦的中点，即．
（1）下面是用“截长法”证明的部分过程．
证明：如图2，在上截取，连接．
是的中点，
．
．
．．．
请根据上面的证明思路，写出证明的剩余部分．
（2）在图1中，若，求的半径．
【答案】（1）证明：
在中，∠A=∠C，（同弧所对的圆周角相等）
在△ABD和△CED，
∠A=∠C
AB=EC
AD=DC，
∴△ABD≌△CED，
∴BD=ED，
又∵DM⊥BC，
∴BM=ME，（等腰三角形三线合一）
∴CM=EC+EM=AB+BM．
（2）解：如图，过点O作OF⊥DM于点F，OG⊥BC于点G，连接DO、CO、MO
由（1）可知
∵OG⊥BC于点G，
∴CG=BG=4，(垂径定理）
MG=MC-CG=1
在△DMO和△CMO 中
DM=CM=5，DO=CO，MO=MO
∴△DMO≌△CMO (SSS)
∴∠OMD=∠OMC=45°，∠MOG=90°-45°=45°
∴MG=OG=1
在Rt△COG中
∴
故圆的半径是．
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握同弧所对弦相等、同弧所对的圆周角相等，垂径定理、全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，合理作出辅助线是关键．
（1）根据题意利用SAS可证△ABD≌△CED，可得BD=ED，得到△BDE是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一，得到BM=ME，由CM=EC+EM=AB+BM即可求证；
（2）如图，过点O作OF⊥DM于点F，OG⊥BC于点G，连接DO、CO、MO，根据问题1的结论和已知条件及垂径定理，可以求出CG、MG.再根据SSS证明△DMO≌△CMO，求出∠OMG=∠GMO=∠=45°
因而得到MG=OG.然后在Rt△COG中利用勾股定理求出OC(半径）的长度。
（1）证明：是的中点，
，
，
在中，，
在和中，
，
，
，
，
，
．
（2）解：如图，过点作于点，于点，连接，，，
由（1）可知，
过圆心且，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（2025·连州模拟）如图，正方形的边长是是边的中点，是边上的一个动点，将沿着折叠，使得点落在点，连接．
（1）点在运动过程中，求的最小值；
（2）点在运动过程中，求面积的最小值；
（3）当是等腰三角形时，请直接写出的长度．
【答案】（1）解：如图1，以点E为圆心、AE长为半径作圆E，则B在圆E上，连接DE与圆E的交点为B，当E、B、D在同一条直线上，此时DB有最小值．
∴DB=DE-EB=
所以DB最小值是
（2）解：当点F运动到点C时，此时点B距离AD最短．此时△ADB的面积最小如图2，过点B作MN∥BC分别交AB，CD于点M，N，四边形AMND和四边形BMNC是矩形，
∴MN=AD=4
∵∠BMN=∠CNM=90°，∠B=∠EB C=90°
∠MBE+∠NBC=90°，∠MBE+∠MEB=90°
∴∠MEB=∠NBC
∴△MEB∽NBC(AA)
设AM=DN=x，则ME=2-x， NC=4-x，
解得．
面积的最小值为．
（3）1或2
【知识点】勾股定理的应用；正方形的判定与性质；圆的相关概念；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】本题考查了正方形的性质与判定，折叠的性质，圆的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，难度较大，属中考压轴题．（1）以点E为圆心、AE长为半径作圆E，则B在圆E上，连接DE与圆E的交点为B，当E、B、D在同一条直线上，此时DB有最小值．在Rt△AED中勾股定理求出DE，而DB=DE-EB即可求解。
（2）当点F运动到点C时，此时点B距离AD最短．此时△ADB的面积最小，如图2，过点B作MN∥BC分别交AB，CD于点M，N. 用一线三直角模型证明△MEB∽NBC得到
设△ADB的高为x，根据比例关系， MB，NB的长度用含有x的代数式表示出来，根据 MB+NB=4，求出x的值，继而求出△ADB面积的最小值。
（3）分①当AD=BD=4时和②当AB=DB时两种情况求解即可．
①当AD=BD=4时，利用SSS证明△ADE≌△BDE，得到∠DAE=∠DBE=90°，有折叠知∠FBE=90°
即可说明D、B，F共线，设BF=x，有含有x的式子表示FC、DF，在直角三角形CDF中利用勾股定理求出x的值，
②当AB=DB时，B在AD的垂直平分线上，证明AEBH、EBFB均为正方形，BF=BE=2
（3） 由AE=EB=2，可知在△AEB中，AB＜AE+EB=4．AD=4，故AB＜4
若△AEB为等腰三角形，则只能为以下两种情况：
①当AD=BD=4时，连接DE，如图
AE=BE=BD，AD=BD ED=ED
∴△ADE≌△BDE．
∠DAE=∠DBE=90°．
由折叠可知∠FBE=90°，
∴∠FBD=∠FBE+∠EBD=180°
∴D、B、D三点共线．
设BF=FB=x，则CF=4-x DF=BF+BD=4+x．
由，得，
解得，
∴BF=1．
②当AB=DB时，B在AD的垂直平分线上，如图
AH=2，
B到AB的距离是2
此时AEBH、EBFB是正方形，B是正方形的中心.
BF=BE=2，
综上，BF的长度为1或2．
（1）如图1，以点为圆心、长为半径作圆，则在圆上，连接与圆的交点为，则此时有最小值．
是中点，
．
，
．
．
的最小值为．
（2）当点运动到点时，此时点距离最短．
如图2，过点作分别交于点，四边形和四边形是矩形，
∴．
由，得．
，
．
．
．
设，则，
．
，
，
解得．
．
面积的最小值为．
（3）由，可知在中，．
而，故．
若为等腰三角形，则只能为以下两种情况：
①当时，连接，
，
．
．
由折叠可知，
．
三点共线．
设，则．
由，得，
解得，
．
②当时，则点在的垂直平分线上，
点到的距离为．
，此时四边形为正方形．
．
综上，的长度为1或2．
23．（2025·连州模拟）在平面直角坐标系中，若一个点到两坐标轴的距离相等，则该点称为“雁点”，如等称为“雁点”．若抛物线过点和，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若是抛物线上的“雁点”，求的面积．
（3）若是轴下方抛物线上一点，连接，以点为直角顶点构造等腰直角三角形，是否存在点，使得刚好为“雁点”？若存在，请直接写出所有点的坐标．
【答案】（1）解：把和代入抛物线得
解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：当时，则，解得
点A的坐标为，点B的坐标为．
．
设，由为抛物线上的“雁点”，
当
解得：
点的坐标为或
或
当
点C坐标或
的值为或或．
（3）存在，点的坐标为或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】
（3）解：存在．
①当点C在点P左侧时，过点P作轴的平行线MN，再作CM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M、N，如图所示．
已知，设，
若，则．
则，，，，
∵∠MCP+∠MPC=∠MPC+∠BPN=90°
∴∠MCP=∠BPN
∠CMP=∠PNB=90°
PC=PD
∴△CMP≌△PNB，
，
即，
解得，
此时．
若，同理可求得或．
②当点在点右侧时
若，同理可求得，不满足点在轴下方，舍去；
若，同理可求得此时，
点的坐标为．
综上，点的坐标为或或．
【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，解二元一次方程组，三角形面积，等腰直角三角形等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
（1）根据待定系数法即可求解，把和代入抛物线求出b、C值即可求出抛物线的解析式。
（2）求出点的坐标为，点的坐标为，设，由为抛物线上的“雁点”，得或，求出点的坐标，再根据求解即可．（3）当点C在点P左侧时，过点P作轴的平行线MN，再作CM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M、N，如图所示．B(2，0)，设
①若C(m，m)，找出M、N的坐标，用含有p、m的式子表示BN、PM、NP、CM。再根据一线三直角证明△CMP≌△PNB，得到BN=PM，PN=CM建立方程组求出p的值，继而求出P点坐标。
②若C(m，-m)，同理求出P的坐标。
当点C在点P右侧时，①若C(m，m)，同理求出P点坐标，②若C(m，-m)，同理求出P点坐标
（1）解：抛物线过点和，
，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：当时，则，
解得，
点的坐标为，点的坐标为．
．
设，由为抛物线上的“雁点”，
得或，
解得：，
点的坐标为或或或．
，
的值为或或．
（3）解：存在．
①当点在点左侧时，过点作轴的平行线，再作，垂足分别为，如图所示．
已知，设，
若，则．
则，，，，
∵，
∴，
，
即，
解得，
此时．
若，同理可求得或．
②当点在点右侧时，
若，同理可求得，不满足点在轴下方，舍去；
若，同理可求得此时，
点的坐标为．
综上，点的坐标为或或．
1 / 1广东省清远市连州中学2025年中考一模数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025·连州模拟）中国传统纹饰图案不但蕴含了丰富的文化，而且大多数图案还具有对称美．下列纹饰图案中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·连州模拟）某型号手机作为首款搭载纯鸿蒙系统和自主芯片的手机，在开放预约购买后，引起全民的追捧，截止发布会前，预约购买人数达到334万，那么用科学记数法表示334万为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·连州模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·连州模拟）若代数式 在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．且
5．（2025·连州模拟）根据惠州市教育局的体育中考政策，男子1000米、女子800米是体育中考必考项目，而跳绳是选考项目．九年级（1）班共有40人选考了跳绳，以下是其中10人的模考跳绳成绩，那么成绩的中位数和众数分别是（　　）
跳绳成绩/个 170 176 182 184 200
人数 1 1 3 4 1
A．182，185 B．183，184 C．185，182 D．184，183
6．（2025·连州模拟）将一副三角板如图放置，使点在上，，则的度数为（　　）
A．45° B．50° C．60° D．75°
7．（2025·连州模拟）如图，电路图上有3个开关A，B，C和一个小灯泡，同时闭合开关A，C或同时闭合开关B，C都可以使小灯泡发光．下列操作中，使“小灯泡发光”的事件是随机事件的是（　　）
A．不闭合开关 B．只闭合1个开关
C．只闭合2个开关 D．闭合3个开关
8．（2025·连州模拟）如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积为（　　）
A． B．6 C． D．
9．（2025·连州模拟）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x，y的二元一次方程组中符合题意的是(　　)
A． B．
C． D．
10．（2025·连州模拟）如图1，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图2所示，则的值为（　　）
A．54 B．52 C．50 D．48
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025·连州模拟）分解因式3x3-12x=　 　
12．（2025·连州模拟）已知点和点关于原点对称，则　 　．
13．（2025·连州模拟）不等式组的解集是　 　．
14．（2025·连州模拟）关于的方程无解，则反比例函数的图象在第　 　象限．
15．（2025·连州模拟）如图，正方形的边长为4，动点，分别从点，同时出发，以相同的速度分别沿向移动，当点到达点时，运动停止，过点作的垂线，垂足为，连接，则长的最小值为　 　．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（2025·连州模拟）计算：．
17．（2025·连州模拟）计算：，其中满足方程．
18．（2025·连州模拟）如图，在中，，其中．
（1）请用尺规作图在线段上找点，使得；（不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，求的长．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025·连州模拟）为了更好地打响惠州品牌的名声，惠州市文体局举办了惠州第一届“乐跑山水惠州，尽享东坡文华”马拉松赛事．作为惠州本地的第一届马拉松赛事，全民都积极踊跃参与，而小明和小强也如愿中签并加入了马拉松赛事．文体局为了举办一场体验感更强的赛事，赛事沿路采取交通管制，对于参加赛事的运动员采取接驳点统一接送的措施．小强和小明家距离接驳上车点较近的都是以下4个停靠点：下埔公交站、滨江公园公交站、花边岭广场公交站、金华悦酒店．
（1）求小强和小明在同一个停靠点上车的概率；
（2）马拉松的“PB”是指刷新自己的最好成绩，赛后随机采访了15人，其中5人表示“PB”了，若本次参加马拉松赛事的有3000人，请估算本次马拉松赛事“PB”的人数．
20．（2025·连州模拟）如图1是一辆高空作业升降车在某次工作时的实景图，图2是它的示意图．已知点A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，四边形为矩形，点B，C在地面l上，，是可以伸缩的起重臂，转动点E到l的距离为2米．当米，米，，时，求操作平台G到l的距离．
21．（2025·连州模拟）请阅读材料，并完成下列问题．
阿基米德折弦定理
阿基米德，伟大的数学家之一，其与牛顿、高斯并成为三大数学王子．在《阿基米德全集》中记载了阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦，其中是的中点，过点向作交于点，则就是折弦的中点，即．
（1）下面是用“截长法”证明的部分过程．
证明：如图2，在上截取，连接．
是的中点，
．
．
．．．
请根据上面的证明思路，写出证明的剩余部分．
（2）在图1中，若，求的半径．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（2025·连州模拟）如图，正方形的边长是是边的中点，是边上的一个动点，将沿着折叠，使得点落在点，连接．
（1）点在运动过程中，求的最小值；
（2）点在运动过程中，求面积的最小值；
（3）当是等腰三角形时，请直接写出的长度．
23．（2025·连州模拟）在平面直角坐标系中，若一个点到两坐标轴的距离相等，则该点称为“雁点”，如等称为“雁点”．若抛物线过点和，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若是抛物线上的“雁点”，求的面积．
（3）若是轴下方抛物线上一点，连接，以点为直角顶点构造等腰直角三角形，是否存在点，使得刚好为“雁点”？若存在，请直接写出所有点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形， 故选项错误，不符合题意；
B、不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意；
C、不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意；
D、是中心对称图形，故选项正确，符合题意．
故选：D．
【分析】本题考查了中心对称图形的定义即：把一个图形绕某个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形定义逐项判断即可．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：334万，
故选：B．
【分析】
本题考查科学记数法表示较大的数，将一个数表示为的形式，其中为整数，n的值比位数少1.这种记数方法叫做科学记数法，关键是确定a、n的值。
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
【分析】
本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方，同底数幂乘除法计算，根据对应的计算法则分别计算出每个选项中式子的结果即可得到答案．
4．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，x+1≥0且x≠0，
解得x≥-1且x≠0．
故选：D．
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不等于0，可得到关于x的不等式组，然后解不等式组求出x的取值范围.
5．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】解：
把10人的跳绳成绩排列如下：170，176，182，182，182，184，184，184，184，200
则其中位数为5、6个数据的平均数，即中位数，
由表可知成绩为184的人数最多，
∴成绩的众数，
故选：B．
【分析】
本题考查了众数和中位数的知识；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两根数的平均数）为中位数，从而完成求解．
6．【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【分析】根据题意得到，，再根据平行线的性质两直线平行，内错角相等得到，最后利用三角形内角和求出，．
7．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】
A：不闭合开关
若不闭合任何开关，则电路中没有电流，小灯泡一定不会发光，属于不可能事件，因此选项A不符合题意。
B：只闭合1个开关
若只闭合一个开关（如A、B或C），此时无法满足同时闭合A和C或同时闭合B和C的条件，小灯泡必然不会发光，属于不可能事件，因此选项B不符合题意。
C：只闭合2个开关
若只闭合2个开关，存在两种情况：
闭合A和C：此时满足条件，小灯泡发光。属于必然事件
闭合B和C：此时也满足条件，小灯泡发光。属于必然事件
闭合A和B：此时不满足条件，小灯泡不发光。属于不可能事件
由于闭合两个开关可能为A和C、B和C或A和B，其中两种情况会发光，一种不会，因此“小灯泡发光”是否发生取决于具体闭合的开关组合，属于随机事件，选项C符合题意。
D：闭合3个开关
若闭合所有三个开关（A、B、C），此时A和C同时闭合、B和C同时闭合均满足条件，小灯泡必然发光，属于必然事件，因此选项D不符合题意。
故答案为：C
【分析】
根据事件的定义，判断各选项操作下小灯泡是否发光的情况，进而确定是否为随机事件。
8．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由图可知：AC=A’C=4，BC=2，
∴，
∴，
线段扫过的图形为扇形，此扇形的半径为，
∴，
故选：D．
【分析】由题意可知，AC扫过的图形为一个扇形，半径为4，需求出圆心角∠BCA’在Rt△BCA’中，BC=2，CA=4，求出利用即可求出CA扫过的面积。
9．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得：，
故答案为：C.
【分析】由题意“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，可列出二元一次方程组，即可得解.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在中，由勾股定理得，，
当点在上时，
，，，
，
，
即，
，
，
，
当时，，
如图，当点在上时，
，，
又，
，
，
即，
，
，
当时，，
．
故选：B．
【分析】
分点在和上两种情况进行讨论，再利用相似三角形求出对应情况下的底和高进而求出面积的表达式，即可求出结果．
11．【答案】3x（x+2）（x-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3x3-12x
=3x（x2-4）--（提取公因式）
=3x（x-2）（x+2）．
【分析】注意将提取公因式与乘法公式综合应用，将整式提取公因式后再次利用公式分
12．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
则．
故答案为：．
【分析】
此题主要考查了关于原点对称点的定义，关于原点对称点定义：若点 ( ， )关于原点对的点为 '，则 '的坐标为( ， )。 直接利用关于原点对称点的定义得出a，b的值，即可得出答案．
13．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： ，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
故答案为：．
【分析】
本题主要考查了解一元一次不等式组，分别求出两个不等式的解，然后求出其解集即可．求解集的方法遵循“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了”原则。
14．【答案】一、三
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的图象；反比例函数的性质；列一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵关于的方程无解，
，
解得：，
∴反比例函数图象在第一，三象限，
故答案为：一，三．
【分析】
本题考查了一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质．根据一元二次方程根的判别式，求得K的取值范围，再判断反比例函数图象所在象限即可．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，连接BD交EF于点O，
根据题意可得DE=BF，
四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠BFO=∠DEO，∠EDO=∠FBO
∴△EOD≌△FOB
∴BO=DO，
即点O是正方形中心，
∴BD=
连接CO，取CO的中点M，连接BM．
∴BO=DO=CO=.OM=
在Rt△OBM中
∴
在Rt△OPC中，M是CO的中点，OM=MC=PM=
当三点B、P、M共线时，BP最小，最小值为BM-PM=．
故答案为：．
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三角形的两边之差小于第三边等定理．
如图，连接BD交EF于点O，连接CO，取CO的中点M，连接BM．利用勾股定理求出BD，然后利用AAS证明△EOD≌△FOB，说明O是正方形的中心，得到BO=CO=DO，在Rt△OPC中，M是CO的中点，OM=MC=PM=，在Rt△OBM中，利用勾股定理求出BM， 当B、P、M三点共线时，BP最小，最小值为BM-PM.
16．【答案】解：原式
．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查了特殊角三角函数值、绝对值、二次根式、负整数指数幂的混合运算．先代入特殊角的三角函数值，再利用二次根式、绝对值、的性质化简，再加减即可．
17．【答案】解：
解方程
．
．
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式有无意义的条件；分式的化简求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】此题考查了解一元二次方程、分式的化简求值和分式有意义的条件．先求一元二次方程的根，再化简分式，结合分式有意义的条件得到x的值，再代入化简计算即可．
18．【答案】（1）解：如图所示，作∠B=∠ACD，交AB于点D，点D即为所作点．
（2）解：AD=AB-BD=5-BD
∵△ACD∽△ABC
∴
即，
解得：BD=．
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查了尺规作图和相似三角形的性质.
（1）根据两个对应角分别相等的两个三角形相似，由于∠A=∠A 只要作出∠B=∠ACD即可。具体作法
①以∠B的顶点为圆心，任意半径画弧，交∠B的两边于两点M，N。②以∠C的顶点为圆心以相同半径画弧，交∠C的两边于两点PQ，.③用圆规量取已知角中弧AB的长度，保持圆规张开的宽度不变，将圆规针尖放在点p，画弧交之前的弧于点E，④连接CE并延长交AB于D.如图
（2）AD=AB-BD=5-BD，根据相似列比例式即可求解．
（1）解：如图所示，作，交于点，点即为所作点．
（2）解：，
，
即，
解得：．
19．【答案】（1）解：用分别表示下埔公交站、滨江公园公交站、花边岭广场公交站、金华悦酒店四个停靠点，用树状图表示结果如下：
由树状图可知，出现等可能的结果共有16种，其中小明和小强在同一停靠点上车（事件记为）的结果共有4种，
则
；
（2）解：估计本次马拉松赛事“PB”的人数为人．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体.
（1）用A、B、C、D分别表示下埔公交站、滨江公园公交站、花边岭广场公交站、金华悦酒店四个停靠。点画树状图得出所有等可能的结果数以及小强和小明在同一个停靠点上车的结果数，再利用概率公式可得出答案；
（2）根据“赛后随机采访了15人，其中5人表示“PB”了”先求出样本中“PB”的占比，然后估算本次马拉松赛事“PB”的人数．
（1）解：用分别表示下埔公交站、滨江公园公交站、花边岭广场公交站、金华悦酒店四个停靠点，用树状图表示结果如下：
由树状图可知，出现等可能的结果共有16种，其中小明和小强在同一停靠点上车（事件记为）的结果共有4种，
则；
（2）解：估计本次马拉松赛事“PB”的人数为人．
20．【答案】解：如图，过点G作于点H，过点F分别作于点M，交BC于点P，于点N，
则，
在中，，，
∴，
∵点E到地面l的距离为2米，四边形为矩形，点B，C在地面l上，
∴，，四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴操作平台G到l的距离为米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点G作于点H，过点F分别作于点M，交BC于点P，于点N，在中，利用解直角三角形求出FM的长；易证四边形和四边形是矩形，利用矩形的性质可求出MP，NH的长，同时可求出∠GFN的度数，然后在中，利用解直角三角形求出GN的长，根据GH=GN+NH，代入计算求出GH的长即可.
21．【答案】（1）证明：
在中，∠A=∠C，（同弧所对的圆周角相等）
在△ABD和△CED，
∠A=∠C
AB=EC
AD=DC，
∴△ABD≌△CED，
∴BD=ED，
又∵DM⊥BC，
∴BM=ME，（等腰三角形三线合一）
∴CM=EC+EM=AB+BM．
（2）解：如图，过点O作OF⊥DM于点F，OG⊥BC于点G，连接DO、CO、MO
由（1）可知
∵OG⊥BC于点G，
∴CG=BG=4，(垂径定理）
MG=MC-CG=1
在△DMO和△CMO 中
DM=CM=5，DO=CO，MO=MO
∴△DMO≌△CMO (SSS)
∴∠OMD=∠OMC=45°，∠MOG=90°-45°=45°
∴MG=OG=1
在Rt△COG中
∴
故圆的半径是．
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握同弧所对弦相等、同弧所对的圆周角相等，垂径定理、全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，合理作出辅助线是关键．
（1）根据题意利用SAS可证△ABD≌△CED，可得BD=ED，得到△BDE是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一，得到BM=ME，由CM=EC+EM=AB+BM即可求证；
（2）如图，过点O作OF⊥DM于点F，OG⊥BC于点G，连接DO、CO、MO，根据问题1的结论和已知条件及垂径定理，可以求出CG、MG.再根据SSS证明△DMO≌△CMO，求出∠OMG=∠GMO=∠=45°
因而得到MG=OG.然后在Rt△COG中利用勾股定理求出OC(半径）的长度。
（1）证明：是的中点，
，
，
在中，，
在和中，
，
，
，
，
，
．
（2）解：如图，过点作于点，于点，连接，，，
由（1）可知，
过圆心且，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
．
22．【答案】（1）解：如图1，以点E为圆心、AE长为半径作圆E，则B在圆E上，连接DE与圆E的交点为B，当E、B、D在同一条直线上，此时DB有最小值．
∴DB=DE-EB=
所以DB最小值是
（2）解：当点F运动到点C时，此时点B距离AD最短．此时△ADB的面积最小如图2，过点B作MN∥BC分别交AB，CD于点M，N，四边形AMND和四边形BMNC是矩形，
∴MN=AD=4
∵∠BMN=∠CNM=90°，∠B=∠EB C=90°
∠MBE+∠NBC=90°，∠MBE+∠MEB=90°
∴∠MEB=∠NBC
∴△MEB∽NBC(AA)
设AM=DN=x，则ME=2-x， NC=4-x，
解得．
面积的最小值为．
（3）1或2
【知识点】勾股定理的应用；正方形的判定与性质；圆的相关概念；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】本题考查了正方形的性质与判定，折叠的性质，圆的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，难度较大，属中考压轴题．（1）以点E为圆心、AE长为半径作圆E，则B在圆E上，连接DE与圆E的交点为B，当E、B、D在同一条直线上，此时DB有最小值．在Rt△AED中勾股定理求出DE，而DB=DE-EB即可求解。
（2）当点F运动到点C时，此时点B距离AD最短．此时△ADB的面积最小，如图2，过点B作MN∥BC分别交AB，CD于点M，N. 用一线三直角模型证明△MEB∽NBC得到
设△ADB的高为x，根据比例关系， MB，NB的长度用含有x的代数式表示出来，根据 MB+NB=4，求出x的值，继而求出△ADB面积的最小值。
（3）分①当AD=BD=4时和②当AB=DB时两种情况求解即可．
①当AD=BD=4时，利用SSS证明△ADE≌△BDE，得到∠DAE=∠DBE=90°，有折叠知∠FBE=90°
即可说明D、B，F共线，设BF=x，有含有x的式子表示FC、DF，在直角三角形CDF中利用勾股定理求出x的值，
②当AB=DB时，B在AD的垂直平分线上，证明AEBH、EBFB均为正方形，BF=BE=2
（3） 由AE=EB=2，可知在△AEB中，AB＜AE+EB=4．AD=4，故AB＜4
若△AEB为等腰三角形，则只能为以下两种情况：
①当AD=BD=4时，连接DE，如图
AE=BE=BD，AD=BD ED=ED
∴△ADE≌△BDE．
∠DAE=∠DBE=90°．
由折叠可知∠FBE=90°，
∴∠FBD=∠FBE+∠EBD=180°
∴D、B、D三点共线．
设BF=FB=x，则CF=4-x DF=BF+BD=4+x．
由，得，
解得，
∴BF=1．
②当AB=DB时，B在AD的垂直平分线上，如图
AH=2，
B到AB的距离是2
此时AEBH、EBFB是正方形，B是正方形的中心.
BF=BE=2，
综上，BF的长度为1或2．
（1）如图1，以点为圆心、长为半径作圆，则在圆上，连接与圆的交点为，则此时有最小值．
是中点，
．
，
．
．
的最小值为．
（2）当点运动到点时，此时点距离最短．
如图2，过点作分别交于点，四边形和四边形是矩形，
∴．
由，得．
，
．
．
．
设，则，
．
，
，
解得．
．
面积的最小值为．
（3）由，可知在中，．
而，故．
若为等腰三角形，则只能为以下两种情况：
①当时，连接，
，
．
．
由折叠可知，
．
三点共线．
设，则．
由，得，
解得，
．
②当时，则点在的垂直平分线上，
点到的距离为．
，此时四边形为正方形．
．
综上，的长度为1或2．
23．【答案】（1）解：把和代入抛物线得
解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：当时，则，解得
点A的坐标为，点B的坐标为．
．
设，由为抛物线上的“雁点”，
当
解得：
点的坐标为或
或
当
点C坐标或
的值为或或．
（3）存在，点的坐标为或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】
（3）解：存在．
①当点C在点P左侧时，过点P作轴的平行线MN，再作CM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M、N，如图所示．
已知，设，
若，则．
则，，，，
∵∠MCP+∠MPC=∠MPC+∠BPN=90°
∴∠MCP=∠BPN
∠CMP=∠PNB=90°
PC=PD
∴△CMP≌△PNB，
，
即，
解得，
此时．
若，同理可求得或．
②当点在点右侧时
若，同理可求得，不满足点在轴下方，舍去；
若，同理可求得此时，
点的坐标为．
综上，点的坐标为或或．
【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，解二元一次方程组，三角形面积，等腰直角三角形等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
（1）根据待定系数法即可求解，把和代入抛物线求出b、C值即可求出抛物线的解析式。
（2）求出点的坐标为，点的坐标为，设，由为抛物线上的“雁点”，得或，求出点的坐标，再根据求解即可．（3）当点C在点P左侧时，过点P作轴的平行线MN，再作CM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M、N，如图所示．B(2，0)，设
①若C(m，m)，找出M、N的坐标，用含有p、m的式子表示BN、PM、NP、CM。再根据一线三直角证明△CMP≌△PNB，得到BN=PM，PN=CM建立方程组求出p的值，继而求出P点坐标。
②若C(m，-m)，同理求出P的坐标。
当点C在点P右侧时，①若C(m，m)，同理求出P点坐标，②若C(m，-m)，同理求出P点坐标
（1）解：抛物线过点和，
，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：当时，则，
解得，
点的坐标为，点的坐标为．
．
设，由为抛物线上的“雁点”，
得或，
解得：，
点的坐标为或或或．
，
的值为或或．
（3）解：存在．
①当点在点左侧时，过点作轴的平行线，再作，垂足分别为，如图所示．
已知，设，
若，则．
则，，，，
∵，
∴，
，
即，
解得，
此时．
若，同理可求得或．
②当点在点右侧时，
若，同理可求得，不满足点在轴下方，舍去；
若，同理可求得此时，
点的坐标为．
综上，点的坐标为或或．
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