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广东省深圳市15校2025年九年级第一次模拟考试数学试卷（5月）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025·深圳一模）在，0，5中，负数的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2025·深圳一模）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·深圳一模）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：，由公式的提供信息，则下列说法正确的是（　　）
A．样本的平均数是3.5 B．样本的众数是3
C．样本的中位数是3 D．样本的容量是4
4．（2025·深圳一模）如图，已知，，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为（　　）
A．102° B．118° C．122° D．62°
5．（2025·深圳一模）如图，在△ABC中AD平分∠BAC，按以下步骤作图：第一步分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF，若BD=6，CD=3，CF=2，则AE的长是（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
6．（2025·深圳一模）如图，在矩形ABCD中，AD>AB，AB=5cm，AC，BD交于点O，∠AOD=2∠AOB=120°，则BC=（　　）
A．5cm B．cm C．cm D．cm
7．（2025·深圳一模）某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点，当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF//BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（　　）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A． B．
C． D．
8．（2025·深圳一模）如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点C沿折线CD-DE-EB运动到点B时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s.若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）.已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（　　）
A． B．当时，是等腰三角形
C．当时， D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9．（2025·深圳一模）定义运算“*”，规定x*y＝ax2+by，其中a、b为常数，且1*2＝5，2*1＝6，则3*8＝　 　．
10．（2025·深圳一模）如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=　 　。
11．（2025·深圳一模）如图，等边三角形ABC是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往△ABC内投一粒米，这粒米落在阴影区域的概率为　 　.
12．（2025·深圳一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2，点D是AB边上的中点，以点D为圆心，BD的长为半径作弧BC.则图中阴影部分的面积为　 　.
13．（2025·深圳一模）如图，正方形ABCD的边长为2，点B与原点O重合，与反比例函数的图象交于E、F两点，若的面积为，则k的值　 　
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14．（2025·深圳一模）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2-4ac>0的情况，她是这样做的：
由于，方程变形为： ，.............................第一步 ，............第二步 ，...................第三步 ，...........第四步 ............................第五步
（1）嘉淇的解法从第　 　步开始出现错误；事实上，当b2-4ac>0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是　 　.
（2）用配方法解方程：x2-2x-24=0.
15．（2025·深圳一模）某大学举行了百科知识竞赛，为了解此次竞赛成绩的情况，随机抽取部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下不完整的统计表和统计图，请根据图表信息解答以下问题：
组别 成绩x/分 频数
A组 90≤x<100 a
B组 80≤x<90 12
C组 70≤x<80 8
D组 160≤x<70 6
（1）表中a=　 　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）计算扇形统计图中“C”对应的圆心角度数；
（4）该大学共有240人参加竞赛，若成绩在70分以上（包括70分）的为“优”等，根据抽样结果，估计该校参赛学生成绩达到“优”等的人数？
16．（2025·深圳一模）临近六一，某商店分别用300元，800元购进一批数量相同的水弹玩具枪和软蛋玩具枪，每个水弹玩具枪的进价比每个软蛋玩具枪的进价高5元．
（1）求水弹玩具枪和软蛋玩具枪的进价分别是多少元？
（2）这批水弹玩具枪和软蛋玩具枪很快被一抢而空，该商店计划再购进一批水弹玩具枪和软蛋玩具枪，此时每张水弹玩具枪的进价上涨了m元，购进水弹玩具枪字的数量在第一次的基础上减少了8m张；软蛋玩具枪的进价不变，购进水弹玩具枪的数量在第一次的基础上减少了m副，总花费1100元，求m的值．
17．（2025·深圳一模）如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于点A（1，8）、B（-4，m）.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）若，直接写出x的取值范围.
18．（2025·深圳一模）如图，在中，，以AB为直径的交BC于点D，点P在BC的延长线上，且.
（1）求证：直线AP是的切线；
（2）若，，求的半径及的值.
19．（2025·深圳一模）【知识生成】我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+b）（a+b）=a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式　 　.
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z=　 　.
（4）【知识迁移】事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个数学等式：　 　.
20．（2025·深圳一模）综合与实践
【新知定义】在平面内，两个面积相等的三角形，若有公共顶点，且公共顶点所在的角相等，则称这两个三角形关于这个顶点成“友谊三角形”.例如：如图1，在△ABC和△ADE中，若∠BAC＝∠DAE，S△ABC=S△ADE，则△ABC和△ADE关于点A成“友谊三角形”.
（1）【特例初探】数学社团的小智同学发现：如图2，∠BAC=∠DAE=90°，S△ABC=S△ADE，连接BD、CE，可得到△BAD∽△EAC.理由如下：
即：① ▲ ∵ ∴② ▲ 又 .
根据小智的思路，请完成填空：①　 　②　 　
（2）【变式归纳】小慧思考：如果∠BAC=∠DAE≠90°，△BAD∽△EAC是否还成立？于是她作了进一步探究：如图3，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，△ADE和△ABC关于点A成“友谊三角形”，连接CE，请你完成以下问题：
①AE= ▲ ；
②试判断AC与CE的位置关系，并说明理由；
（3）【迁移应用】如图4，在△ABC中，∠B=90°，点P是BC边上一点，请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在图4中作△APQ，使△APQ和△ABC关于点A成“友谊三角形”，且AQ=AC；
（4）【综合提升】如图5，在平面直角坐标系中，已知A（0，3）、B（2，0）.C是x轴上的一动点，以AC为一边在AC的右侧构造矩形ACDE，且矩形的面积始终是6，连接OE、BE.F是线段OE上一点，且满足∠OFB+∠AOE=∠OEB+90°，连接BF，则BF·OE的最小值为　 　.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】正数、负数的概念与分类；化简含绝对值有理数；有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解：分别计算各数的值，是正数化简后为2，是正数；=-1，是负数；0既不是正数也不是负数；5是正数。
所以负数只有1个
故答案为：D.
【分析】 本题主要考查绝对值、乘方的运算以及正负数的判断。需要先根据相关数学规则分别计算出每个数的值，再依据正负数的定义来确定负数的个数
2．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，，两者不相等，所以 A 选项错误。
B：根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，，所以 B 选项正确。
C：根据合并同类项法则，，所以 C 选项错误。
D：根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，，所以 D 选项错误。
故选：B
【分析】 本题主要考查完全平方公式、同底数幂的除法、合并同类项以及幂的乘方等运算规则，需要逐一分析每个选项是否正确运用了相应的运算规则
3．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：根据方差计算公式，结合本题中的方差公式可得，数据为2、3、4，
∴平均数x=，没有众数，中位数是3，样本容量是3，
因此正确的选项是C。
故答案为：C.
【分析】根据方差公式，其中n为样本容量数，为平均数，对比小华列出的方差计算公式得出，n=3、就是x=3，然后结合众数、中位数的定义分析计算即可。
4．【答案】B
【知识点】角的运算；余角
【解析】【解答】解：因为，，所以，又因为点B、O、D在同一条直线上，所以
故选：B.
【分析】 本题主要考查角的计算，涉及到直角和平角的概念，需要根据已知角的度数和角之间的关系来计算所求角的度数
5．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；相似三角形的判定；全等三角形的概念
【解析】【解答】解：由作图步骤可知，MN是AD的垂直平分线
所以AE = DE，AF = DF
因为AD平分∠BAC，
所以EAD=CAD，
又因为AE = DE，
所以 EAD=EDA，
进而CAD=EDA，所以DEAC，
同理DF AB，所以四边形AEDF是菱形，AE = AF
因为DEAC，所以，则
已知BD = 6，CD = 3，所以BC=BD + CD=9，
设AE = AF = x，则AC=x + 2，DE = x，可得，
解得x = 4，即AE = 4
故选：A.
【分析】 本题主要考查垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质，需要根据作图步骤得出相关线段和角的关系，再通过相似三角形的比例关系来求解.
6．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：首先，因为四边形ABCD是矩形：矩形的对角线相等且互相平分，
所以OA = OB = OC = OD，
已知 ∠AOB=60° ， ∠AOD=120（因为AOD = 2AOB)
又因为OA = OB且AOB = 60°，所以 AOB是等边三角形
则OA = OB = AB = 5cm，所以AC = 2OA = 10cm
然后，在RtABC中：根据勾股定理BC=
已知AB = 5cm，AC = 10cm，
代入可得：BC=
故选：C.
【分析】本题围绕矩形性质（对角线相等且平分）、等边三角形判定（有一个角为60 ° 的等腰三角形是等边三角形 ）以及勾股定理展开，利用矩形对角线关系得出等边三角形，进而结合勾股定理求边.
7．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：过点E作于点G，延长FE交BC于点H
因为，所以（邻补角性质）
在中，AE = 1.2米， sin37°≈0.60 ，
由sin，可得EG = AE= 1.20.60 = 0.72米
又因为AB = 1.2米，
所以车辆限高为AB + EG = 1.2 + 0.72 = 1.92米
故选：C.
【分析】本题考查解三角形的实际应用核心是通过构造直角三角形，利用三角函数求解线段长度。
辅助线作用：作，将分散的线段和角度关系集中到中，把 限高转化为AB与EG的和，简化问题
角度推导：利用AEF与 AEG的邻补角关系（ AEF + AEG = 180），求出 AEG = 37，为三角函数计算提供条件
三角函数应用：在中，根据正弦函数定义，用AE和sin37计算EG，最终得出限高.
8．【答案】B
【知识点】分段函数；矩形的性质；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象；已知某个三角函数值求其他三角函数值
【解析】【解答】解：通过图象信息确定点P和点Q的运动时间和对应的边长
首先，观察图象可知点P在CD上运动的时间 为6s，在DE上运 动的时间为4s，点Q在BC上 运动的时间为12s。因此，我们可以得出CD=6cm， DE=4cm， BC=12cm
A：利用矩形对边相等的性质确定AE的长度
由于AD=BC，所以AD=12cm，从而得出AE=AD-DE=12cm-4cm=8cm，故选项A错.
B：利用三角函数和已知边长计算BM和QM的长度，并判断PBQ是 否为等腰三角形
当t=12s时，点Q与点C重合，点P在BE上，此时BP=20-12-8cm
过点P作PMBC于点M，
在直角三角形BPM中，cosPBM=
又因PBM=AEB，
在直角三角形ABE中，
，所以，解 得BM=6.4cm
因此，QM=BC-BM=12cm-6.4cm=5.6cm.
由于BPBC所以不是等腰三角形
故选项B 正确
C：利用三角形面积公式和正弦的定义计算三角形BPQ的面积y
当10≤t≤12时，点P在BE上，BP=20-(t-10)=20-t.
此时，三角形BPQ的面积 ，故选项C错误 .
D：利用勾股定理计算BE的长度，并利用正弦的定义计算sinEBP的值
在直角三角形ABE中，AE=8cm， AB=CD=6cm，
根据勾股定理计算B的长度，得到BE==10cm
因此，sinEBP=sinAEB=，故选项D错误
故选：B.
【分析】本题考查函数图象与几何运动综合，需结合矩形性质、三角形面积公式、勾股定理、三角函数等知识：
1.阶段划分：根据P、Q运动路径，将t分为（P在CD，Q在BC ）、 （P在DE，Q在C ）、（P在EB，Q在BC ）三个阶段，结合图象转折点分析边长。
2.关键计算：利用时的面积公式求CD；
结合运动时间求DE、AE、BC等边长；
对t = 12时的PBQ，通过边长计算判断是否等腰；
推导时的面积函数解析式；
用勾股定理求EB，结合三角函数定义求sinEBC.
9．【答案】25
【知识点】解二元一次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
解得： ，
即x*y＝ax2+by＝x2+2y
∴3*8＝32+2×8＝25，
故答案为：25．
【分析】将已知的两个等式按照新定义运算的规定分别代入，从而得到关于a、b的二元一次方程组，解此方程组得出a、b的值，然后将a、b的值代回到规定的代数式中，再将3*8按规定的运算求值即可。
10．【答案】180°
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：对图中的点进行标注，如图所示，设正方形网格的单位长度为1.
∵ 如图是一个3×3的正方形网格
∴
∵正方形网格的单位长度为1
∴BC=AE=1，AB=ED=MN=3，BF=AN=2
∵BC=AE=1，，AB=ED
∴ABC≌DEA（SAS）
∴
∵在AED中，
∴
∴
同理可得：
∴∠1+∠2+∠3+∠4= 180°
故答案为：180°.
【分析】根据全等三角形的判定可以得到ABC≌DEA，从而得知，结合直角三角形的性质得到，继而得到了，同理可以得到，即可以求出∠1+∠2+∠3+∠4= 180°
11．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；概率的简单应用
【解析】【解答】解：因为等边三角形ABC由9个大小相等的等边三角形构成，阴影部分有5个小等边三角形，根据概率公式，可得概率为
故填：.
【分析】 本题考查几何概率，利用 概率 = 阴影区域面积与总面积的比值 求解。由于所有小等边三角形面积相等，只需数出阴影小三角形个数和总个数，其比值就是米落在阴影区域的概率，体现了 用频率估计概率中面积比与概率的关系.
12．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；直角三角形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：先求AB和BC的长度：在 Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2 ，
则，AB = 2AC = 4.
由勾股定理得BC=
因为D是AB中点，所以BD = AD = CD=AB = 2（直角三角形斜边中线等于斜边的一半
BDC = 120（∠A=60°，CD = AD，所以ACD = 60，则 BCD = 30 ， BDC = 120 ）
计算扇形BDC和的面积：
扇形BDC的面积
的面积（D是AB中点 ），
，
所以
阴影部分面积，
故填：.
【分析】本题考查直角三角形与扇形面积综合，需结合直角三角形性质（斜边中线、角度关系 ）、扇形面积公式求解。通过求出扇形BDC和BDC的面积，用扇形面积减去三角形面积得到阴影部分面积，体现 割补法求不规则图形面积的思路.
13．【答案】1
【知识点】反比例函数的实际应用；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设E(2，)，F(2)，为直角三角形，面积
由，解得k = 1，
故填：1.
【分析】本题考查正方形图像与反比例函数综合，利用正方形边长表示E、F坐标，结合三角形面积公式列方程求解k。通过坐标关系确定的直角边长度，建立方程体现函数与几何图形的融合，核心是用代数方法解决几何面积问题.
14．【答案】（1）四；
（2）解：∵，
∴，即，
则，
∴，.
【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】（1）在配方法推导求根公式的第四步，对开方时，应得到，嘉淇只取了正号，所以从第四步开始出错；根据完整推导，求根公式为
.
【分析】(1)配方法推导求根公式需严格遵循开方的双重性，体现数学运算的严谨性；求根公式是解一元二次方程的重要工具，其推导过程融合了转化思想（将二次方程转化为完全平方式 ）与分类讨论思想（考虑开方的正负情况 ），是后续学习二次函数与方程关系的基础
(2)解 x2-2x-24=0 ，先通过移项将常数项移到等号右边得，再在等式两边加上一次项系数一半的平方()进行配方，得到，然后对等式两边开平方，得到，最后分别求解得到.
15．【答案】（1）14
（2）解：补全频数分布直方图如图所示
（3）解：，
答：扇形统计图中“C”对应的圆心角度数为；
（4）解：人，
答：该校240人参加竞赛成绩达到“优”等的人数为204人.
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】（1）总人数为12÷30% = 40
A组人数频数为：a=40-12-8-6=14
【分析】（1）由B组频数12及占比30%，用 总人数 = B组频数 ÷B组频率 算出总人数为12÷30% = 40；再用 A组频数a =总人数 - 其他组频数和，即a = 40 - 6 - 8 - 12 = 14
（2）已知A组频数14，在直方图 90≤x<100 区间，画出高度对应14的矩形，使直方图完整呈现各组频数分布，直方图通过矩形高度直观展示频数，补全时需精准对应频数与成绩区间，是数据可视化的体现，帮助直观理解数据分布特征
（3）扇形圆心角 = 360该组频率，先求C组频率（C组频数8÷ 总人数40 = 0.2），再代入得，扇形统计图用圆心角反映组别的比例，频率是连接频数与圆心角的桥梁，体现 比例与角度 的转化，核心是理解扇形统计图的本质（用角度表示比例 ）
（4）先算样本中 70分以上B、C、A组 频数和为12 + 8 + 14 = 34，其频率为34÷40；再用 总体人数240×该频率，即人，估计全校 优 等人数，运用 样本估计总体 思想，通过样本中 优等的频率，推断总体中 优 等人数，是统计推断的核心应用，体现样本对总体的代表性价值.
16．【答案】（1）解：设一个软蛋玩具枪进价为x元，一个水弹玩具枪的进价为元，，解得，
经检验是方程的解且符合题意，
所以一个软蛋玩具枪进价为3元，一个水蛋玩具枪的进价为8元，
答：一个软弹玩具枪进价为3元，一个水蛋玩具枪的进价为8元；
（2）解：第一次购进软弹玩具枪（张）
第一次购进水蛋玩具枪（副）
根据题意可得，，
解得，
答：m的值为2.
【知识点】分式方程的解及检验；列分式方程；一元二次方程的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设水弹玩具枪进价为x+5元，软蛋玩具枪进价为x元，根据 数量相同 列方程，解得x = 3，则水弹进价3元，软蛋进价8元，利用 数量 = 总价 ÷ 单价，结合 数量相同 建立分式方程，体现方程思想，注意进价关系的正确设定，分式方程需检验，保证解的合理性，是商业情境中成本与数量关系的典型应用
（2）先算第一次购进数量（水弹：300÷3 = 100；软蛋：800÷8 = 100 ），再根据 新进价、新数量、总花费列方程，解得m = 2，以 第一次购进数据 为基础，结合 进价上涨、数量变化、总花费 构建一元二次方程，体现动态变化中的数量关系；关键是准确表示新进价、新数量，通过方程求解参数，是商业采购中 成本 - 数量 - 总价 关系的延伸应用，需注意运算准确性.
17．【答案】（1）解：点A(1，8)在反比例函数上，
∵，
∴.
点B(-4，m)在反比例函数上，
∴，
∴，
∴B(-4，-2).
点A(1，8)、B(-4，-2)在一次函数的图象上，
∴，
解得：，
∴.
答：一次函数表达式为，反比例函数表达式为.
（2）解：设直线AB与y轴交于点C，如图，
由直线AB：，
令，则，
∴.
∴.
过点作轴于点，过点作轴于点，
∵，，
∴，.
∴
=
=，
=15，
答：的面积是15.
（3）解：x的取值范围为：或.
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】（3）观察函数图象，反比例函数与一次函数的交点为A(1，8)、B(-4，-2)，当时，一次函数图象在反比例函数图象上方，对应的x取值范围是或
【分析】（1）利用 函数图象上的点满足函数解析式，先通过A点坐标求反比例函数的，再用反比例函数求B点坐标，最后用A、B两点坐标列方程组求一次函数的和b
（2）利用 分割法，将AOB分为AOC和BOC，以OC为公共底，AF、BE为高，根据三角形面积公式计算；关键是找到直线与y轴交点C，确定底和高的长度
（3）依据 函数图象的上下位置关系对应函数值的大小关系，交点是函数值相等的分界点，观察图象中一次函数在反比例函数上方的区间，确定x的范围.
18．【答案】（1）证明：如图，连接 D
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵∠ABC=∠ACB，
∴AC=AB，
∴AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD=∠BAC，
∵∠BAC=2∠P，
∴∠BAD=∠P，
∵∠BAD+∠B=90°，
∴∠P+∠B=90°，
∴∠BAP=180°-90°=90°，即AB⊥AP，
∵OA是⊙O的半径，
∴PA是⊙O的切线.
（2）解：过点C作，垂足为E，
由(1)可得，
∵，
，
，即的半径为5.
∵，，
∴，
∴，
，
，
，
，，
【知识点】等腰三角形的性质；切线的判定；圆的综合题；解直角三角形；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）本题需综合运用等腰三角形性质、圆周角定理、切线判定定理。关键步骤是通过等腰三角形三线合一 和 角度等量代换，证明AB⊥AP，从而满足切线判定条件；核心逻辑是利用已知角度关系∠BAD=∠P和直角三角形的性质∠BAD+∠B=90°推导垂直关系
（2）本题需结合三角函数、勾股定理、相似三角形求解.
关键步骤：利用（1）的结论AD⊥BC、∠BAD=∠P，通过三角函数求出AD，进而用勾股定理求AB（即直径 ），得半径；构造直角三角形，通过作辅助线，利用 平行线分线段成比例或相似三角形，求出AE和CE的长度，最终计算.
19．【答案】（1）解：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）解：∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，
∴112=a2+b2+c2+2×38，
∴a2+b2+c2=121-76=45，
∴a2+b2+c2的值为45；
（3）9
（4）解：x3-x=x(x-1)(x+1).
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】（1）大正方形边长为a + b + c，面积为；
大正方形可分割为边长为a、b、c的小正方形，以及长、宽分别为(a，b)、(a，c)、(b，c)的长方形，面积和为a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
因此，等式为 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc .
（3）长方形面积(2a + b)(a + 2b)展开：(2a + b)(a + 2b) = 2a + 4ab + ab + 2b = 2a + 5ab + 2b
因为x张边长为a的正方形（面积a)、y张边长为b的正方形（面积b）、z张长a宽b的长方形（面积ab）拼成该长方形，
所以：x = 2(a 的系数 ），y = 2（b的系数 ），z = 5（ab的系数 ），
因此x + y + z = 2 + 2 + 5 = 9
（4）原正方体体积为，挖去的小长方体体积为1×1×x = x，剩余体积为 - x；
重新拼成的新长方体，长、宽、高分别为x、x + 1、x - 1（根据图形变化 ），体积为x(x + 1)(x - 1)
【分析】（1） 利用 大正方形面积 = 各小图形面积和，通过对图形的分割与拼接，将几何面积转化为代数表达式；核心是识别大正方形的边长与小图形的边长、形状关系，体现 数形结合 思想
（2） 直接运用（1）中推导的代数恒等式，将已知条件代入变形后的公式，通过 整体代入 计算；核心是对恒等式的灵活变形，体现代数运算的简洁性
（3）先将长方形面积(2a + b)(a + 2b)展开，与 x个a、y个b 、z个ab 的面积和对比，通过 系数对应 确定x、y、z的值；核心是多项式乘法与图形面积的关联
（4） 利用 体积不变性，分别计算原几何体（挖去小长方体后的体积 ）和新几何体（重新拼成的长方体体积 ），通过 体积相等 建立代数恒等式；核心是识别图形变化前后的体积关系.
20．【答案】（1）解：；
（2）解：①②AC⊥CE，理由如下：
∵△ADE和△ABC关于点A成“友谊三角形”，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，即∠BAD=∠EAC，
∴AB=5，AE=，AD=4，AC=5，
，
，
又∵∠BAD=∠EAC，
∴△BAD∽△EAC，
∴∠ADB=∠ACE，
∵∠ADB=90°，
∴∠ACE=90°，
∴AC⊥CE；
（3）解：作法：①延长AB，在AB的延长线上截取BD=AB；②以A为圆心，以AD的长为半径画弧交BC于P；③在AP的上方作∠PAE，使∠PAE=∠BAC；④作AC的垂直平分线交AC于M，③在射线AE上截取AQ=AM=AC，连接PQ，则△APQ即为所求作的三角形，如图所示.
（4）
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的实际应用；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的性质-对应角；函数几何问题中的最值
【解析】【解答】（2）①在 △ABC 中，AB = AC = 5，BC = 6，，则BD =BC = 3（等腰三角形三线合一 ）
由勾股定理，AD == 4
因为 △ADE和△ABC 是 友谊三角形，所以∠BAC=∠DAE，且，
，
由，得，解得AE =
（4）A(0，3)、B(2，0)，C在x轴运动，矩形ACDE面积恒为6
F在OE上，满足 ∠OFB+∠AOE=∠OEB+90° ，求 BF·OE 最小值
通过角度转化（利用矩形垂直、三角形内角和 ）
证（两角对应相等 ）
由相似得：，交叉相乘
OB = 2（B(2，0)到原点距离 ），故
矩形ACDE面积固定，E点轨迹受、约束，可简化为：E在与A关联的直线 / 曲线上
根据几何最值，点B到E的最短距离为垂线段长度
结合坐标与矩形性质，算得
【分析】（1）利用角度的 和差关系 推导，体现角度运算的基本逻辑；通过面积相等得到线段乘积关系，再转化为比例式，为相似三角形判定（两边对应成比例且夹角相等 ）做铺垫，是相似三角形判定的 条件准备
（2）①先利用等腰三角形性质求AD，再根据 友谊三角形 的面积相等（ S△ABC=S△ADE ），结合三角形面积公式列方程求解AE；核心是 友谊三角形 定义中 面积相等 的应用，体现面积公式与线段长度的关联
②先利用 友谊三角形 的角度相等，推导∠BAD=∠EAC；再通过线段长度计算比例，证明△BAD∽△EAC；最后利用相似三角形的 对应角相等，结合已知∠ADB=90°，推导∠ACE=90°，体现 相似三角形判定与性质 的综合应用
（3）利用 友谊三角形 的定义（角度相等、面积相等 ），通过延长线段构造等长（保证面积相关线段 ）、作等角（保证角度相等 ）、截取线段（保证AQ=AC ），逐步满足 友谊三角形 的条件，体现 尺规作图与几何定义的结合
（4）涉及 矩形面积定值 角度条件转化 几何最值求解，需综合运用坐标几何、角度关系、最值模型（如胡不归、阿氏圆 ）；核心是将\ BF·OE 转化为线段长度的乘积最值，通过几何变换找到最小值的条件.
1 / 1广东省深圳市15校2025年九年级第一次模拟考试数学试卷（5月）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025·深圳一模）在，0，5中，负数的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【知识点】正数、负数的概念与分类；化简含绝对值有理数；有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解：分别计算各数的值，是正数化简后为2，是正数；=-1，是负数；0既不是正数也不是负数；5是正数。
所以负数只有1个
故答案为：D.
【分析】 本题主要考查绝对值、乘方的运算以及正负数的判断。需要先根据相关数学规则分别计算出每个数的值，再依据正负数的定义来确定负数的个数
2．（2025·深圳一模）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，，两者不相等，所以 A 选项错误。
B：根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，，所以 B 选项正确。
C：根据合并同类项法则，，所以 C 选项错误。
D：根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，，所以 D 选项错误。
故选：B
【分析】 本题主要考查完全平方公式、同底数幂的除法、合并同类项以及幂的乘方等运算规则，需要逐一分析每个选项是否正确运用了相应的运算规则
3．（2025·深圳一模）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：，由公式的提供信息，则下列说法正确的是（　　）
A．样本的平均数是3.5 B．样本的众数是3
C．样本的中位数是3 D．样本的容量是4
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：根据方差计算公式，结合本题中的方差公式可得，数据为2、3、4，
∴平均数x=，没有众数，中位数是3，样本容量是3，
因此正确的选项是C。
故答案为：C.
【分析】根据方差公式，其中n为样本容量数，为平均数，对比小华列出的方差计算公式得出，n=3、就是x=3，然后结合众数、中位数的定义分析计算即可。
4．（2025·深圳一模）如图，已知，，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为（　　）
A．102° B．118° C．122° D．62°
【答案】B
【知识点】角的运算；余角
【解析】【解答】解：因为，，所以，又因为点B、O、D在同一条直线上，所以
故选：B.
【分析】 本题主要考查角的计算，涉及到直角和平角的概念，需要根据已知角的度数和角之间的关系来计算所求角的度数
5．（2025·深圳一模）如图，在△ABC中AD平分∠BAC，按以下步骤作图：第一步分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF，若BD=6，CD=3，CF=2，则AE的长是（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；相似三角形的判定；全等三角形的概念
【解析】【解答】解：由作图步骤可知，MN是AD的垂直平分线
所以AE = DE，AF = DF
因为AD平分∠BAC，
所以EAD=CAD，
又因为AE = DE，
所以 EAD=EDA，
进而CAD=EDA，所以DEAC，
同理DF AB，所以四边形AEDF是菱形，AE = AF
因为DEAC，所以，则
已知BD = 6，CD = 3，所以BC=BD + CD=9，
设AE = AF = x，则AC=x + 2，DE = x，可得，
解得x = 4，即AE = 4
故选：A.
【分析】 本题主要考查垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质，需要根据作图步骤得出相关线段和角的关系，再通过相似三角形的比例关系来求解.
6．（2025·深圳一模）如图，在矩形ABCD中，AD>AB，AB=5cm，AC，BD交于点O，∠AOD=2∠AOB=120°，则BC=（　　）
A．5cm B．cm C．cm D．cm
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：首先，因为四边形ABCD是矩形：矩形的对角线相等且互相平分，
所以OA = OB = OC = OD，
已知 ∠AOB=60° ， ∠AOD=120（因为AOD = 2AOB)
又因为OA = OB且AOB = 60°，所以 AOB是等边三角形
则OA = OB = AB = 5cm，所以AC = 2OA = 10cm
然后，在RtABC中：根据勾股定理BC=
已知AB = 5cm，AC = 10cm，
代入可得：BC=
故选：C.
【分析】本题围绕矩形性质（对角线相等且平分）、等边三角形判定（有一个角为60 ° 的等腰三角形是等边三角形 ）以及勾股定理展开，利用矩形对角线关系得出等边三角形，进而结合勾股定理求边.
7．（2025·深圳一模）某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点，当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF//BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（　　）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：过点E作于点G，延长FE交BC于点H
因为，所以（邻补角性质）
在中，AE = 1.2米， sin37°≈0.60 ，
由sin，可得EG = AE= 1.20.60 = 0.72米
又因为AB = 1.2米，
所以车辆限高为AB + EG = 1.2 + 0.72 = 1.92米
故选：C.
【分析】本题考查解三角形的实际应用核心是通过构造直角三角形，利用三角函数求解线段长度。
辅助线作用：作，将分散的线段和角度关系集中到中，把 限高转化为AB与EG的和，简化问题
角度推导：利用AEF与 AEG的邻补角关系（ AEF + AEG = 180），求出 AEG = 37，为三角函数计算提供条件
三角函数应用：在中，根据正弦函数定义，用AE和sin37计算EG，最终得出限高.
8．（2025·深圳一模）如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点C沿折线CD-DE-EB运动到点B时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s.若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）.已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（　　）
A． B．当时，是等腰三角形
C．当时， D．
【答案】B
【知识点】分段函数；矩形的性质；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象；已知某个三角函数值求其他三角函数值
【解析】【解答】解：通过图象信息确定点P和点Q的运动时间和对应的边长
首先，观察图象可知点P在CD上运动的时间 为6s，在DE上运 动的时间为4s，点Q在BC上 运动的时间为12s。因此，我们可以得出CD=6cm， DE=4cm， BC=12cm
A：利用矩形对边相等的性质确定AE的长度
由于AD=BC，所以AD=12cm，从而得出AE=AD-DE=12cm-4cm=8cm，故选项A错.
B：利用三角函数和已知边长计算BM和QM的长度，并判断PBQ是 否为等腰三角形
当t=12s时，点Q与点C重合，点P在BE上，此时BP=20-12-8cm
过点P作PMBC于点M，
在直角三角形BPM中，cosPBM=
又因PBM=AEB，
在直角三角形ABE中，
，所以，解 得BM=6.4cm
因此，QM=BC-BM=12cm-6.4cm=5.6cm.
由于BPBC所以不是等腰三角形
故选项B 正确
C：利用三角形面积公式和正弦的定义计算三角形BPQ的面积y
当10≤t≤12时，点P在BE上，BP=20-(t-10)=20-t.
此时，三角形BPQ的面积 ，故选项C错误 .
D：利用勾股定理计算BE的长度，并利用正弦的定义计算sinEBP的值
在直角三角形ABE中，AE=8cm， AB=CD=6cm，
根据勾股定理计算B的长度，得到BE==10cm
因此，sinEBP=sinAEB=，故选项D错误
故选：B.
【分析】本题考查函数图象与几何运动综合，需结合矩形性质、三角形面积公式、勾股定理、三角函数等知识：
1.阶段划分：根据P、Q运动路径，将t分为（P在CD，Q在BC ）、 （P在DE，Q在C ）、（P在EB，Q在BC ）三个阶段，结合图象转折点分析边长。
2.关键计算：利用时的面积公式求CD；
结合运动时间求DE、AE、BC等边长；
对t = 12时的PBQ，通过边长计算判断是否等腰；
推导时的面积函数解析式；
用勾股定理求EB，结合三角函数定义求sinEBC.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9．（2025·深圳一模）定义运算“*”，规定x*y＝ax2+by，其中a、b为常数，且1*2＝5，2*1＝6，则3*8＝　 　．
【答案】25
【知识点】解二元一次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
解得： ，
即x*y＝ax2+by＝x2+2y
∴3*8＝32+2×8＝25，
故答案为：25．
【分析】将已知的两个等式按照新定义运算的规定分别代入，从而得到关于a、b的二元一次方程组，解此方程组得出a、b的值，然后将a、b的值代回到规定的代数式中，再将3*8按规定的运算求值即可。
10．（2025·深圳一模）如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=　 　。
【答案】180°
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：对图中的点进行标注，如图所示，设正方形网格的单位长度为1.
∵ 如图是一个3×3的正方形网格
∴
∵正方形网格的单位长度为1
∴BC=AE=1，AB=ED=MN=3，BF=AN=2
∵BC=AE=1，，AB=ED
∴ABC≌DEA（SAS）
∴
∵在AED中，
∴
∴
同理可得：
∴∠1+∠2+∠3+∠4= 180°
故答案为：180°.
【分析】根据全等三角形的判定可以得到ABC≌DEA，从而得知，结合直角三角形的性质得到，继而得到了，同理可以得到，即可以求出∠1+∠2+∠3+∠4= 180°
11．（2025·深圳一模）如图，等边三角形ABC是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往△ABC内投一粒米，这粒米落在阴影区域的概率为　 　.
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；概率的简单应用
【解析】【解答】解：因为等边三角形ABC由9个大小相等的等边三角形构成，阴影部分有5个小等边三角形，根据概率公式，可得概率为
故填：.
【分析】 本题考查几何概率，利用 概率 = 阴影区域面积与总面积的比值 求解。由于所有小等边三角形面积相等，只需数出阴影小三角形个数和总个数，其比值就是米落在阴影区域的概率，体现了 用频率估计概率中面积比与概率的关系.
12．（2025·深圳一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2，点D是AB边上的中点，以点D为圆心，BD的长为半径作弧BC.则图中阴影部分的面积为　 　.
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；直角三角形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：先求AB和BC的长度：在 Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2 ，
则，AB = 2AC = 4.
由勾股定理得BC=
因为D是AB中点，所以BD = AD = CD=AB = 2（直角三角形斜边中线等于斜边的一半
BDC = 120（∠A=60°，CD = AD，所以ACD = 60，则 BCD = 30 ， BDC = 120 ）
计算扇形BDC和的面积：
扇形BDC的面积
的面积（D是AB中点 ），
，
所以
阴影部分面积，
故填：.
【分析】本题考查直角三角形与扇形面积综合，需结合直角三角形性质（斜边中线、角度关系 ）、扇形面积公式求解。通过求出扇形BDC和BDC的面积，用扇形面积减去三角形面积得到阴影部分面积，体现 割补法求不规则图形面积的思路.
13．（2025·深圳一模）如图，正方形ABCD的边长为2，点B与原点O重合，与反比例函数的图象交于E、F两点，若的面积为，则k的值　 　
【答案】1
【知识点】反比例函数的实际应用；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设E(2，)，F(2)，为直角三角形，面积
由，解得k = 1，
故填：1.
【分析】本题考查正方形图像与反比例函数综合，利用正方形边长表示E、F坐标，结合三角形面积公式列方程求解k。通过坐标关系确定的直角边长度，建立方程体现函数与几何图形的融合，核心是用代数方法解决几何面积问题.
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14．（2025·深圳一模）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2-4ac>0的情况，她是这样做的：
由于，方程变形为： ，.............................第一步 ，............第二步 ，...................第三步 ，...........第四步 ............................第五步
（1）嘉淇的解法从第　 　步开始出现错误；事实上，当b2-4ac>0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是　 　.
（2）用配方法解方程：x2-2x-24=0.
【答案】（1）四；
（2）解：∵，
∴，即，
则，
∴，.
【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】（1）在配方法推导求根公式的第四步，对开方时，应得到，嘉淇只取了正号，所以从第四步开始出错；根据完整推导，求根公式为
.
【分析】(1)配方法推导求根公式需严格遵循开方的双重性，体现数学运算的严谨性；求根公式是解一元二次方程的重要工具，其推导过程融合了转化思想（将二次方程转化为完全平方式 ）与分类讨论思想（考虑开方的正负情况 ），是后续学习二次函数与方程关系的基础
(2)解 x2-2x-24=0 ，先通过移项将常数项移到等号右边得，再在等式两边加上一次项系数一半的平方()进行配方，得到，然后对等式两边开平方，得到，最后分别求解得到.
15．（2025·深圳一模）某大学举行了百科知识竞赛，为了解此次竞赛成绩的情况，随机抽取部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下不完整的统计表和统计图，请根据图表信息解答以下问题：
组别 成绩x/分 频数
A组 90≤x<100 a
B组 80≤x<90 12
C组 70≤x<80 8
D组 160≤x<70 6
（1）表中a=　 　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）计算扇形统计图中“C”对应的圆心角度数；
（4）该大学共有240人参加竞赛，若成绩在70分以上（包括70分）的为“优”等，根据抽样结果，估计该校参赛学生成绩达到“优”等的人数？
【答案】（1）14
（2）解：补全频数分布直方图如图所示
（3）解：，
答：扇形统计图中“C”对应的圆心角度数为；
（4）解：人，
答：该校240人参加竞赛成绩达到“优”等的人数为204人.
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】（1）总人数为12÷30% = 40
A组人数频数为：a=40-12-8-6=14
【分析】（1）由B组频数12及占比30%，用 总人数 = B组频数 ÷B组频率 算出总人数为12÷30% = 40；再用 A组频数a =总人数 - 其他组频数和，即a = 40 - 6 - 8 - 12 = 14
（2）已知A组频数14，在直方图 90≤x<100 区间，画出高度对应14的矩形，使直方图完整呈现各组频数分布，直方图通过矩形高度直观展示频数，补全时需精准对应频数与成绩区间，是数据可视化的体现，帮助直观理解数据分布特征
（3）扇形圆心角 = 360该组频率，先求C组频率（C组频数8÷ 总人数40 = 0.2），再代入得，扇形统计图用圆心角反映组别的比例，频率是连接频数与圆心角的桥梁，体现 比例与角度 的转化，核心是理解扇形统计图的本质（用角度表示比例 ）
（4）先算样本中 70分以上B、C、A组 频数和为12 + 8 + 14 = 34，其频率为34÷40；再用 总体人数240×该频率，即人，估计全校 优 等人数，运用 样本估计总体 思想，通过样本中 优等的频率，推断总体中 优 等人数，是统计推断的核心应用，体现样本对总体的代表性价值.
16．（2025·深圳一模）临近六一，某商店分别用300元，800元购进一批数量相同的水弹玩具枪和软蛋玩具枪，每个水弹玩具枪的进价比每个软蛋玩具枪的进价高5元．
（1）求水弹玩具枪和软蛋玩具枪的进价分别是多少元？
（2）这批水弹玩具枪和软蛋玩具枪很快被一抢而空，该商店计划再购进一批水弹玩具枪和软蛋玩具枪，此时每张水弹玩具枪的进价上涨了m元，购进水弹玩具枪字的数量在第一次的基础上减少了8m张；软蛋玩具枪的进价不变，购进水弹玩具枪的数量在第一次的基础上减少了m副，总花费1100元，求m的值．
【答案】（1）解：设一个软蛋玩具枪进价为x元，一个水弹玩具枪的进价为元，，解得，
经检验是方程的解且符合题意，
所以一个软蛋玩具枪进价为3元，一个水蛋玩具枪的进价为8元，
答：一个软弹玩具枪进价为3元，一个水蛋玩具枪的进价为8元；
（2）解：第一次购进软弹玩具枪（张）
第一次购进水蛋玩具枪（副）
根据题意可得，，
解得，
答：m的值为2.
【知识点】分式方程的解及检验；列分式方程；一元二次方程的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设水弹玩具枪进价为x+5元，软蛋玩具枪进价为x元，根据 数量相同 列方程，解得x = 3，则水弹进价3元，软蛋进价8元，利用 数量 = 总价 ÷ 单价，结合 数量相同 建立分式方程，体现方程思想，注意进价关系的正确设定，分式方程需检验，保证解的合理性，是商业情境中成本与数量关系的典型应用
（2）先算第一次购进数量（水弹：300÷3 = 100；软蛋：800÷8 = 100 ），再根据 新进价、新数量、总花费列方程，解得m = 2，以 第一次购进数据 为基础，结合 进价上涨、数量变化、总花费 构建一元二次方程，体现动态变化中的数量关系；关键是准确表示新进价、新数量，通过方程求解参数，是商业采购中 成本 - 数量 - 总价 关系的延伸应用，需注意运算准确性.
17．（2025·深圳一模）如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于点A（1，8）、B（-4，m）.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）若，直接写出x的取值范围.
【答案】（1）解：点A(1，8)在反比例函数上，
∵，
∴.
点B(-4，m)在反比例函数上，
∴，
∴，
∴B(-4，-2).
点A(1，8)、B(-4，-2)在一次函数的图象上，
∴，
解得：，
∴.
答：一次函数表达式为，反比例函数表达式为.
（2）解：设直线AB与y轴交于点C，如图，
由直线AB：，
令，则，
∴.
∴.
过点作轴于点，过点作轴于点，
∵，，
∴，.
∴
=
=，
=15，
答：的面积是15.
（3）解：x的取值范围为：或.
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】（3）观察函数图象，反比例函数与一次函数的交点为A(1，8)、B(-4，-2)，当时，一次函数图象在反比例函数图象上方，对应的x取值范围是或
【分析】（1）利用 函数图象上的点满足函数解析式，先通过A点坐标求反比例函数的，再用反比例函数求B点坐标，最后用A、B两点坐标列方程组求一次函数的和b
（2）利用 分割法，将AOB分为AOC和BOC，以OC为公共底，AF、BE为高，根据三角形面积公式计算；关键是找到直线与y轴交点C，确定底和高的长度
（3）依据 函数图象的上下位置关系对应函数值的大小关系，交点是函数值相等的分界点，观察图象中一次函数在反比例函数上方的区间，确定x的范围.
18．（2025·深圳一模）如图，在中，，以AB为直径的交BC于点D，点P在BC的延长线上，且.
（1）求证：直线AP是的切线；
（2）若，，求的半径及的值.
【答案】（1）证明：如图，连接 D
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵∠ABC=∠ACB，
∴AC=AB，
∴AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD=∠BAC，
∵∠BAC=2∠P，
∴∠BAD=∠P，
∵∠BAD+∠B=90°，
∴∠P+∠B=90°，
∴∠BAP=180°-90°=90°，即AB⊥AP，
∵OA是⊙O的半径，
∴PA是⊙O的切线.
（2）解：过点C作，垂足为E，
由(1)可得，
∵，
，
，即的半径为5.
∵，，
∴，
∴，
，
，
，
，，
【知识点】等腰三角形的性质；切线的判定；圆的综合题；解直角三角形；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）本题需综合运用等腰三角形性质、圆周角定理、切线判定定理。关键步骤是通过等腰三角形三线合一 和 角度等量代换，证明AB⊥AP，从而满足切线判定条件；核心逻辑是利用已知角度关系∠BAD=∠P和直角三角形的性质∠BAD+∠B=90°推导垂直关系
（2）本题需结合三角函数、勾股定理、相似三角形求解.
关键步骤：利用（1）的结论AD⊥BC、∠BAD=∠P，通过三角函数求出AD，进而用勾股定理求AB（即直径 ），得半径；构造直角三角形，通过作辅助线，利用 平行线分线段成比例或相似三角形，求出AE和CE的长度，最终计算.
19．（2025·深圳一模）【知识生成】我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+b）（a+b）=a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式　 　.
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z=　 　.
（4）【知识迁移】事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个数学等式：　 　.
【答案】（1）解：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）解：∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，
∴112=a2+b2+c2+2×38，
∴a2+b2+c2=121-76=45，
∴a2+b2+c2的值为45；
（3）9
（4）解：x3-x=x(x-1)(x+1).
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】（1）大正方形边长为a + b + c，面积为；
大正方形可分割为边长为a、b、c的小正方形，以及长、宽分别为(a，b)、(a，c)、(b，c)的长方形，面积和为a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
因此，等式为 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc .
（3）长方形面积(2a + b)(a + 2b)展开：(2a + b)(a + 2b) = 2a + 4ab + ab + 2b = 2a + 5ab + 2b
因为x张边长为a的正方形（面积a)、y张边长为b的正方形（面积b）、z张长a宽b的长方形（面积ab）拼成该长方形，
所以：x = 2(a 的系数 ），y = 2（b的系数 ），z = 5（ab的系数 ），
因此x + y + z = 2 + 2 + 5 = 9
（4）原正方体体积为，挖去的小长方体体积为1×1×x = x，剩余体积为 - x；
重新拼成的新长方体，长、宽、高分别为x、x + 1、x - 1（根据图形变化 ），体积为x(x + 1)(x - 1)
【分析】（1） 利用 大正方形面积 = 各小图形面积和，通过对图形的分割与拼接，将几何面积转化为代数表达式；核心是识别大正方形的边长与小图形的边长、形状关系，体现 数形结合 思想
（2） 直接运用（1）中推导的代数恒等式，将已知条件代入变形后的公式，通过 整体代入 计算；核心是对恒等式的灵活变形，体现代数运算的简洁性
（3）先将长方形面积(2a + b)(a + 2b)展开，与 x个a、y个b 、z个ab 的面积和对比，通过 系数对应 确定x、y、z的值；核心是多项式乘法与图形面积的关联
（4） 利用 体积不变性，分别计算原几何体（挖去小长方体后的体积 ）和新几何体（重新拼成的长方体体积 ），通过 体积相等 建立代数恒等式；核心是识别图形变化前后的体积关系.
20．（2025·深圳一模）综合与实践
【新知定义】在平面内，两个面积相等的三角形，若有公共顶点，且公共顶点所在的角相等，则称这两个三角形关于这个顶点成“友谊三角形”.例如：如图1，在△ABC和△ADE中，若∠BAC＝∠DAE，S△ABC=S△ADE，则△ABC和△ADE关于点A成“友谊三角形”.
（1）【特例初探】数学社团的小智同学发现：如图2，∠BAC=∠DAE=90°，S△ABC=S△ADE，连接BD、CE，可得到△BAD∽△EAC.理由如下：
即：① ▲ ∵ ∴② ▲ 又 .
根据小智的思路，请完成填空：①　 　②　 　
（2）【变式归纳】小慧思考：如果∠BAC=∠DAE≠90°，△BAD∽△EAC是否还成立？于是她作了进一步探究：如图3，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，△ADE和△ABC关于点A成“友谊三角形”，连接CE，请你完成以下问题：
①AE= ▲ ；
②试判断AC与CE的位置关系，并说明理由；
（3）【迁移应用】如图4，在△ABC中，∠B=90°，点P是BC边上一点，请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在图4中作△APQ，使△APQ和△ABC关于点A成“友谊三角形”，且AQ=AC；
（4）【综合提升】如图5，在平面直角坐标系中，已知A（0，3）、B（2，0）.C是x轴上的一动点，以AC为一边在AC的右侧构造矩形ACDE，且矩形的面积始终是6，连接OE、BE.F是线段OE上一点，且满足∠OFB+∠AOE=∠OEB+90°，连接BF，则BF·OE的最小值为　 　.
【答案】（1）解：；
（2）解：①②AC⊥CE，理由如下：
∵△ADE和△ABC关于点A成“友谊三角形”，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，即∠BAD=∠EAC，
∴AB=5，AE=，AD=4，AC=5，
，
，
又∵∠BAD=∠EAC，
∴△BAD∽△EAC，
∴∠ADB=∠ACE，
∵∠ADB=90°，
∴∠ACE=90°，
∴AC⊥CE；
（3）解：作法：①延长AB，在AB的延长线上截取BD=AB；②以A为圆心，以AD的长为半径画弧交BC于P；③在AP的上方作∠PAE，使∠PAE=∠BAC；④作AC的垂直平分线交AC于M，③在射线AE上截取AQ=AM=AC，连接PQ，则△APQ即为所求作的三角形，如图所示.
（4）
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的实际应用；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的性质-对应角；函数几何问题中的最值
【解析】【解答】（2）①在 △ABC 中，AB = AC = 5，BC = 6，，则BD =BC = 3（等腰三角形三线合一 ）
由勾股定理，AD == 4
因为 △ADE和△ABC 是 友谊三角形，所以∠BAC=∠DAE，且，
，
由，得，解得AE =
（4）A(0，3)、B(2，0)，C在x轴运动，矩形ACDE面积恒为6
F在OE上，满足 ∠OFB+∠AOE=∠OEB+90° ，求 BF·OE 最小值
通过角度转化（利用矩形垂直、三角形内角和 ）
证（两角对应相等 ）
由相似得：，交叉相乘
OB = 2（B(2，0)到原点距离 ），故
矩形ACDE面积固定，E点轨迹受、约束，可简化为：E在与A关联的直线 / 曲线上
根据几何最值，点B到E的最短距离为垂线段长度
结合坐标与矩形性质，算得
【分析】（1）利用角度的 和差关系 推导，体现角度运算的基本逻辑；通过面积相等得到线段乘积关系，再转化为比例式，为相似三角形判定（两边对应成比例且夹角相等 ）做铺垫，是相似三角形判定的 条件准备
（2）①先利用等腰三角形性质求AD，再根据 友谊三角形 的面积相等（ S△ABC=S△ADE ），结合三角形面积公式列方程求解AE；核心是 友谊三角形 定义中 面积相等 的应用，体现面积公式与线段长度的关联
②先利用 友谊三角形 的角度相等，推导∠BAD=∠EAC；再通过线段长度计算比例，证明△BAD∽△EAC；最后利用相似三角形的 对应角相等，结合已知∠ADB=90°，推导∠ACE=90°，体现 相似三角形判定与性质 的综合应用
（3）利用 友谊三角形 的定义（角度相等、面积相等 ），通过延长线段构造等长（保证面积相关线段 ）、作等角（保证角度相等 ）、截取线段（保证AQ=AC ），逐步满足 友谊三角形 的条件，体现 尺规作图与几何定义的结合
（4）涉及 矩形面积定值 角度条件转化 几何最值求解，需综合运用坐标几何、角度关系、最值模型（如胡不归、阿氏圆 ）；核心是将\ BF·OE 转化为线段长度的乘积最值，通过几何变换找到最小值的条件.
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