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山西晋中市平遥县2024-2025学年下学期期末测试七年级数学试卷
一、单选题
1．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000839米，则数据0.00000839用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，三角板的直角顶点落在直尺的一边上．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．明天将下雨
B．买一张电影票，座位号是奇数号
C．小丽到达公交汽车站台时，901路公交车正在驶来
D．一只袋子中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中有红球
6．如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是( )
A．甲 B．乙 C．甲或乙 D．甲或乙均不可以
7．小文去水果店买西瓜，如图是称西瓜所用的电子秤显示屏上的数据，则常量是（ ）
A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量
8．如图，根据下列图形折叠后的情况，可以判定是的角平分线的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，已知，小明利用如图所示的作图痕迹作出，由此他说，请你说明小明作图的根据是（ ）
A． B． C． D．
10．如图1所示，长方形中，动点P从点B出发，以的速度沿着B—C—D—A运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x的关系如图2所示，那么下列说法正确的是（ ）
A． B．长方形的面积为
C．当秒时， D．若时，x可能是3秒或10秒
二、填空题
11．如图所示，若，，请你添加一个条件后，就能证得，你添加的条件是 ．
12．一个不透明口袋中装有8个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其余均相同，在不允许将球倒出来的前提下，为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出1个球记下颜色后放回摇匀，不断重复上述过程多次，发现摸到黑球的频率稳定在0.6，根据上述数据，可估计口袋中大约有 个黑球．
13．如图，在边长为1的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上．若向正方形网格中投针，则针落在内部的概率是 ．
14．如图，ABC的周长为30cm，把ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE=4cm，则ABD的周长是 ．
15．漏刻是我国古代的一种计时工具．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现了水位（单位：）和时间（单位：）两个变量之间的关系．下表是小明记录的部分数据，当为时，对应的时间为 ．
… …
… …
三、解答题
16．计算
(1)
(2)
17．先化简，再求值：．其中．
18．如图，在中，是的角平分线，点在上，且，求的度数．
19．我国航天事业发展是日新月异，我们走进“天宫课堂”，在中国空间站航天员王亚平、叶光富、翟志刚为学生们上了一堂豪华的太空课，引发了学生了解太空的兴趣和对科学知识的探索热情，七（1）班社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系：
温度t/℃ 0 5 10 15 20 25
声音在空气中的传播速度V/（m/s） 331 334 337 340 343 346
(1)在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量；
(2)从表中数据可知、气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高______．
(3)某日气温为，小乐看到烟花燃放后才听到声响，小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？
20．春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景：“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”．我们研究的四边形中有一种叫筝形，如图1所示．
【筝形的定义】：两组邻边分别相等的四边形．即：若四边形满足且，则四边形为筝形．
【任务1】如图2是由小正方形组成的网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在格点的筝形；
【任务2】探究筝形的性质：结合图1请对筝形的角、对角线分别写出一条性质，并选其中一条性质进行证明．
21．阅读与思考
下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题
在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题．
例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．

该问题的解答过程如下：
解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点，
平分，
．
，
．
在和中，，
（依据1）
（依据2），，
，．
……
任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________；
任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整；
应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长．

22．综合与探究
如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意．
该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的，向此简易“公道杯”中匀速注入清水，一段时间后停止，再等水完全排尽，再次注入……．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下：
时间（t/s） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …
水位高度（h/cm） 0 3 6 3 0 …
根据以上信息，解决下列问题：
(1)完善表中的数据，并根据水位和时间的关系在上图中描出反映水位高度随时间的变化而变化的部分大致图象；
(2)结合表格或图象，当______时，杯中水位第一次最高，是______；
(3)在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为______；当时，水位高度是______；
(4)请你探究写出第二次水位最高时t的值为______；请你简要描述水位高度随时间的变化情况；
(5)开始注水时，小明有事离开，那么他五分钟后回来观察水位应该是______．他接着观察到水位是上升还是下降？
参考答案
1．D
解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
2．B
解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算正确，符合题意；
C、与不能合并，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：B．
3．B
解：；
故选：B．
4．C
解：如图，
∵三角板的直角顶点落在直尺的一边上，，
∴，
∵直尺的两边平行，
∴．
故选：C．
5．D
解：明天将下雨、买一张电影票，座位号是奇数号、小丽到达公交汽车站台时，901路公交车正在驶来，都是随机事件，
一个口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中有红球是必然事件，
故选：D．
6．B
解：假设剪开乙小棒，设乙小棒长度为，剪成两段长度分别为、，甲小棒长度为．
∵乙小棒的长度大于甲小棒，即
∴
∴剪开乙小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形；
假设剪开甲小棒，
∵乙小棒的长度大于甲小棒，
∴同理可得，甲小棒减成的两根小棒的和小于乙小棒，故围不成三角形，不符合题意．
综上所述，剪开的小棒是乙．
故选：B．
7．B
解：由题意可得，金额单价数量，单价不变，数量与金额是变化的量，
∴单价常量，数量与金额是变量，
故选：B．
8．B
解：由图形可知，若是的角平分线，根据折叠关系可得 ，选项中符合这一条件只有B．
故选：B．
9．D
解∶由作图知∶，，，
∴，
故选：D．
10．D
解：A、根据题意，动点P在边上时，的面积y值不变，
∴，故A选项说法不正确，不符合题意；
B、由图象知，动点P在边上运动时间为4秒，
∴，
∴长方形的面积为，
故选项B说法不正确，不符合题意；
C、当秒时，动点P在边上，此时，
故选项C说法不正确，不符合题意；
D、当时，有两种情况：
当动点P在边上时，由得；
当动点P在边上时，由得，
综上，当时，秒或3秒，
故选项D说法正确，符合题意，
故选：D．
11．（不唯一）
解：∵，，
∴由可知，添加可证明；
由可知：添加可证明；
由可知：添加可证明．
故答案为： （不唯一）．
12．12
解：∵摸到黑球的频率稳定在0.6，
∴摸到黑球的概率为0.6，
设黑球有个，则：，
解得：；
故答案为：12．
13．/0.375
，，
所以针落在内部的概率是．
故答案为：．
14．22cm
根据折叠方法可得AE=CE，AD=CD，
∵AE=4cm，
∴CE=4cm，
∵△ABC的周长为30cm，
∴AB+CB=30-8=22（cm），
△ABD的周长是：AB+BD+AD=AB+BC=22cm，
故答案为：22cm
15．
解：由表得：增加，增加，
则，
将，代入得，，
，
时，，
解得，
当为时，对应的时间为．
故答案为：．
16．(1)4
(2)
（1）解：
；
（2）解：
．
17．；
解：
；
当时，原式．
18．
解：，
．
是的角平分线，
．
在中，，
．
19．(1)气温，声音在空气中的传播速度
(2)
(3)
（1）解：根据题意可知，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量.
故答案为：气温，声音在空气中的传播速度．
（2）解：由表中数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高.
故答案为：．
（3）解：由表格中两个变量对应值的变化规律可得，，
当时，，
所以小乐与燃放烟花所在地大约相距．
答：小乐与燃放烟花所在地大约相距．
20．见解析
解：【任务1】如图，筝形即为所求．（答案不唯一，只要符合定义都得分）
【任务2】
1、角的性质：筝形有一组对角相等．
2、对角线的性质：筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线．
角的性质证明如下：连接，
在和中，
∵，
∴
∴．
故筝形有一组对角相等得证．
对角线的性质证明如下：连接，交点为O
在和中，
∵，
∴
∴，即是的角平分线．
又∵，
∴是的垂直平分线，即
21．任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或），全等三角形的对应边相等；任务二：见解析；应用：12
解：任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或ASA），全等三角形的对应边相等；
任务二：……
，
，
；
应用：延长、交于点，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
．
22．(1)如表
时间（t/s） 1 2 3 4 5 6 7 8 …
水位高度（h/cm） 3 6 3 0 …
如图
(2)4，6
(3)，3
(4)12，如：在，水位高度随时间逐渐上升，在，水位高度随时间逐渐下降
(5)6，下降
（1）解：完善数据后，在直角坐标系中描出表中各组已知对应值为坐标的点如下：
时间（t/s） 1 2 3 4 5 6 7 8 …
水位高度（h/cm） 3 6 3 0 …
根据表格作图如下：
（2）解：由表格可知：
当时，杯中水位最高，最高水位为．
故答案为：4，6；
（3）解：由表格可知：
自动排水前，每经过1秒钟，水位上升，即杯中水位上升的速度为；
由函数图象可得：当时，开始注水，经过2分钟，即当时，水位高度是______
故答案为：，3．
（4）解：由函数图象可知：从开始注水，当时，水位最高，然后开始放水；当时，水位为0，然后开始注水；当时，第二次水位最高．则在，水位高度随时间逐渐上升，在，水位高度随时间逐渐下降．
故答案为：12，在，水位高度随时间逐渐上升，在，水位高度随时间逐渐下降．
（5）解：，
，
所以此时水位在最高处，即，紧接着水位下降．
故答案为：6，下降．

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