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湖南省长沙市宁乡市2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题
一、单选题
1．下列实数中是无理数的是（ ）
A．π B．3.1415 C． D．0
2．的出现为全球领域带来了新的活力和机遇，其日活用户数量在上线仅仅20天就突破了2000万大关，日活增长速度超过了当初爆火的，数据2000万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．下列采用的调查方式中，合理的是（ ）
A．对全国所有中小学生进行健康调查，采用全面调查方式
B．统计湖南师大附中七年级一班学生视力情况，采用抽样调查
C．检查神舟二十号飞船的各零部件，采用抽样调查
D．了解某品牌新能源电动汽车的碰撞测试效果，采用抽样调查
5．下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．若，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．下列命题中错误的是（ ）
A．对顶角相等
B．a，b，c是直线，若，，则
C．等角的补角相等
D．a，b，c是直线，若，则
9．古代农耕赋税问题：唐朝贞观年间，朝廷对农田征税．已知甲农户有上等田5亩，下等田3亩，共交税34斗；乙农户有上等田3亩，下等田5亩，共交税26斗．设上等田每亩交税斗，下等田每亩交税斗，则可列方程组为
A． B．
C． D．
10．若关于x的不等式的解集为，则化简的结果为（ ）
A． B． C．1 D．
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，若点在x轴上，则a的值为 ．
12．若是方程的解，则的值是 ．
13．如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为 ．
14．如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，且与相交于点G，连接，则阴影部分的周长为 ．
15．若是关于x的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则m的取值范围为 ．
16．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，4，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，4，这三个数称为“完美组合数”．若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为6，则m的值为 ．
三、解答题
17．计算：
18．解不等式组，并写出它的整数解．
19．在平面直角坐标系中，已知点．
(1)若点P在y轴上，求点P的坐标；
(2)若点，且轴，点N位于第一象限，求m的值，并确定n的取值范围．
20．如图，直线与相交于点O，、分别是，的平分线．
(1)试判断和的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
21．人工智能（AI）通过智能算法处理数据、自动化办公、客户服务等任务可以帮助人们高效完成工作并优化决策．某学校计划对七年级开展5种AI兴趣项目课程，分别是：A（编程基础）、B（图像识别）、C（语音交互）、D（数据分析）、E（智能系统），为了解学生对不同AI模块的喜爱情况，学校从七年级随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：
根据以上信息，解决下列问题：
(1)本次随机抽取调查的总人数为 ，并补全图①中的条形统计图；
(2)图②中项目E对应的圆心角的度数为 ；
(3)若该校七年级共有400名学生，根据上述调查结果，请估计喜欢D（数据分析）模块的学生人数．
22．“安全骑行齐参与，带好头盔记心中”，随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进种头盔个和种头盔个共需元，种头盔个和种头盔个共需元．
(1)求两种头盔的单价各是多少元；
(2)若该商店计划用不超过元购进两种头盔共个，销售个种头盔可获利元，销售个种头盔可获利元，且购进种头盔的数量不能超过种头盔的倍，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔能全部售出，最大利润是多少元？
23．综合与实践
【课题学行线的“等角转化”．
如图1，A是外一点，连接，，求的度数．
解：如图1，过点A作，
∴________，________
又∵，
∴________
【问题解决】
（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】
（2）如图2，，，，，交于点E，求证：．
（3）如图3，，点P在下方，求证：．
24．定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数x的系数a互换，得到的方程叫“关联方程”，例如：“关联方程”为．
(1)求方程与它的“关联方程”组成的方程组的解；
(2)已知整数m，n，t且t满足，并且是关于x，y的二元一次方程的“关联方程”，求m的值；
(3)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“关联方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值．
25．如图，在平面直角坐标系中，点，且满足，P点从点A出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点Q从点O出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度匀速运动．

(1)点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，点C的坐标是 ．
(2)在点P，Q运动的过程中，连接，使的面积是面积的4倍，求出点P的坐标；
(3)在点P，Q运动的过程中，当时，请探究和的数量关系，并说明理由．
参考答案
1．A
解：A、π是无理数，故此选项符合题意；
B、3.1415是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意
C、，是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．B
解：2000万，
故选：B．
3．B
解：∵，
∴点所在的象限是第二象限，
故选：B．
4．D
解：A、对全国所有中小学生进行健康调查，范围广，不易调查，应采用抽样调查，本选项不符合题意；
B、统计湖南师大附中七年级一班学生视力情况，人数较少，无需抽样，应采用全面调查，本选项不符合题意；
C、检查神舟二十号飞船的各零部件，涉及安全性，事关重大，应采用全面调查，本选项不符合题意；
D、了解某品牌新能源电动汽车的碰撞测试效果，具有破坏性，应采用抽样调查，本选项符合题意；
故选：D．
5．B
选项A，表示9的算术平方根， ，所以该选项不正确，不符合题意；
选项B，表示的立方根，，所以该选项正确，符合题意；
选项C，表示16的平方根，，所以该选项不正确，不符合题意；
选项D，表示的算术平方根，，所以该选项不正确，不符合题意．
故选：B．
6．D
解：由，两边同除以正数2，得．
A、：两边同减2，不等号方向不变，必然成立．
B、：两边同乘负数，不等号方向改变，必然成立．
C、：两边同加3，不等号方向不变，必然成立．
D、：当和符号不同或均为负数时，可能不成立．例如，取，，满足，但，故D不一定成立．
故选D．
7．C
解：过作，
∵，
∴，
，
，
，
∵，
，
，
故选：C．
8．D
解：A、对顶角相等，正确，本选项不符合题意；
B、直线a，b，c，若，，则，正确，本选项不符合题意；
C、等角的补角相等，正确，本选项不符合题意；
D、当直线a，b，c在同一平面内时，若，则，此时原命题错误，本选项符合题意；
故选：D．
9．A
解：设上等田每亩交税斗，下等田每亩交税斗，
根据题意得
故选：A．
10．B
解：原不等式为，解集为，
，即，
，
，
故选：B．
11．5
解：点在x轴上，
，
，
故答案为：5．
12．3
解：∵是方程的解，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
13．/66度
解：∵，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14．12
解：沿方向平移得到，
，，
，
阴影部分的周长为．
故本题答案为：12．
15．
解：∵，
∴．
∵不是不等式的整数解，
∴，
解得．
∵是关于x的不等式的一个整数解，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
16．
解：当时，则
解得：，
则
那么符合题意，
当时，则
解得：不符合题意，
综上，，
故答案为：
17．
解：
．
18．，
解：
由得，解得，
由得，解得，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为．
19．(1)
(2)7，
（1）解：根据题意知，解得：，
∴点的坐标为
（2）解：，，且轴，
解得：，
∵点N在第一象限，
∴，解得：．
20．(1)，理由见详解
(2)
（1）解：，理由：
∵、分别是，的平分线，
∴， ，
∴
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴．
21．(1)60人，图形见解析
(2)
(3)100人
（1）解：本次随机抽取调查的总人数为：（人），
故喜欢D的人数为：（人），
补全图①中的条形统计图如下：
故答案为：60人；
（2）图②中项目E对应的圆心角的度数为，
故答案为：；
（3）（人），
答：估计喜欢D（数据分析）模块的学生人数约100人．
22．(1)种头盔的单价是元，种头盔的单价是元
(2)元
（1）解：设种头盔的单价是元，种头盔的单价是元，
由题意得，，
解得，
答：种头盔的单价是元，种头盔的单价是元；
（2）解：设购进种头盔个，则购进 种头盔 个，
由题意得，，
解得，
∵的值为整数，
∴或，
∴该商店共有种购买方案：
方案一：购进种头盔个，购进 种头盔个，利润为元；
方案二：购进种头盔个，购进 种头盔个，利润为元；
∵，
∴这些头盔能全部售出，最大利润是元．
23．（1）;（2）见解析；（3）见解析．
解：（1）如图1，过点A作，
∴，，
又∵，
∴；
故答案为：．
（2）过点作，
，
，
，，
，
，
，
．
（3）过点作，
，
，
，
，
，
，
．
24．(1)
(2)
(3)2025
（1）解：根据题意，方程的“关联方程”方程为，
联立方程组为，
得：，
解得：，
将代入①，解得：，
则方程组的解为：；
（2）是关于x，y的二元一次方程的“关联方程”，
，
得，，整理得，
把代入①得，，
整理得，，
，
，
解得，
，
，则，
是整数，
，
当时，，符合题意，
．
（3）根据题意，“关联方程”为
联立方程组得，，
解得，
，则，
，即，
是二元一次方程的一个解，
，则 ，
．
25．(1)，，
(2)点的坐标为或
(3)或，见解析
（1）解：∵，
∴，，
解得，，，
则，，，
故答案为：，，；
（2）解：如图1，过点作于点，
设时间经过秒，三角形的面积是三角形面积的4倍，则，，，，
三角形PAB的面积是：，
分以下两种情况：
①如图，当点在点上方时，则，
三角形的面积是：，
，
解得，
，
，
点的坐标为；
②如图，当点在点下方时，则，
三角形的面积是：，
，
解得，
，
，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或；
（3）解：或．理由如下：
过点作，
，
，，
，
分以下两种情况讨论：
①如图，当点在点上方时，有，
；
②如图，当点在点下方时，有，
，
，
综上所述，或．

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