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第十八章 分式
第十八章 分式 素养检测卷
时间：90 min 满分：120 分
一、选择题（每小题 3 分）
1.对于 取任何实数都有意义的分式为( )
A. 3 B. 3 C. 3 D. 3
2+1 2 1 ( +1)2 ( 1)2
解析：A 选项，∵ 2 + 1 ≥ 1，∴ 分式 32 对于 取任何实数都有意义，符合题意； +1
B 选项，当 =± 1 时， 2 1 = 0，分式 32 此时无意义，不符合题意；C 选项， 1
当 = 1 时，( + 1)2 = 0，分式 3 2 此时无意义，不符合题意；D 选项，( +1)
当 = 1 时，( 1)2 = 0，分式 3 2 此时无意义，不符合题意.故选 A.( 1)
2.若4 + 4 = 1，则 的值为( )
2
A. 1 B. 2 C.0 D.1
解析：∵ 4 + 4 = 2 × 4 = 2 × 22 = 22 +1 = 1 = 2 1，∴ 2 + 1 = 1 ，
2
∴ = 1 ，故选 A.
3.把分式2 3 中 ， 的值都扩大为原来的 4 倍，则分式的值( )
+
A.扩大为原来的 4 倍 B.扩大为原来的 8 倍
C.缩小为原来的1 D.不变
4
解析：把分式2 3 中 ， 的值都扩大为原来的 4 倍可得
+
2×4 3×4 = 4(2 3 ) = 2 3 ，故该分式的值不变，故选 D.
4 +4 4( + ) +
4.计算| 2| + |2 | 的结果是( )
2 2
A.0 B.2 C. 2 D.2 或 2
解析：原式= | 2|+|2 |.当 > 2 时，原式= 2+ 2 = 2；
2 2
当 < 2 时，原式= +2+2 = 2 .故选 D.
2
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第十八章 分式
5.若1 1 = 4，则 的值为( )

A.1 B. 1 C.4 D. 4
4 4
解析：∵ 1 1 = 4，∴ ≠ 0， ≠ 0，整理得 = 4 ，∴ = 4 ，

∴ = = 1 ，故选 B.
4 4
6.纳米(nm) 是一种长度单位，常用于度量物质原子的大小，1 nm = 10 9 m.已知某种植物孢
子的直径为 45 000 nm ，用科学记数法表示该孢子的直径为( )
A.4.5 × 10 6m B.4.5 × 10 5 m C.45 × 10 5 m D.0.45 × 10 7m
解析：45 000 nm = 45 000 × 10 9 m = 4.5 × 104 × 10 9m = 4.5 × 10 5m .故选 B.
7.如下是学习分式方程的实际应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程.下列判断正确的
是( )
甲、乙两个工程队，甲队修路 400 米与乙队修路 600 米所
嘉嘉：600 400 = 20 ；

用的时间相等，乙队每天比甲队多修 20 米，求甲队每天
洪洪：400 = 600
+20
修路的长度
A.嘉嘉设的未知量是甲队每天修路的长度
B.洪洪设的未知量是乙队每天修路的长度
C.甲队每天修路的长度是 40 米
D.乙队每天修路的长度是 40 米
解析：∵ 洪洪是根据时间相等列出的分式方程，∴ 表示甲队每天修路的长度，故选项 B 错
误，不符合题意；解分式方程400 = 600 ，得 = 40.经检验， = 40 为分式方程的解，∴ 甲
+20
队每天修路的长度是 40 米，故选项 C 正确，符合题意，选项 D 错误，不符合题意；∵ 嘉嘉是
根据乙队每天比甲队多修 20 米列出的分式方程，∴ 表示甲队修路 400 米所需时间或乙队修
路 600 米所需时间，选项 A 错误，不符合题意. 故选 C.
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第十八章 分式
8.如图，若 = 6 ， > 0，则 1 2
2
( ) 的值在( )

A.第①段 B.第②段 C.第③段 D.第④段
2 2 2 2
解析：∵ = 6 , > 0 ,∴ 1 ( 2 ) = 1 2 + = 1 ( ) = = 6 = 5 = 5 .
6 6 6
∵ 5 = 10，1 = 3 ，1 = 6 ，3 = 9 ， 9 < 5 < 1，∴ 1 ( 2
2
) 的值在第④段.故选 D.
6 12 4 12 2 12 4 12 12 6
9.对于两个不相等的实数 ， ，我们规定符号 Max{ ， }表示 ， 中的较大的值，如 Max{2，
4} = 4.按照这个规定，方程 Max{ 1 ， 3 } = 3 2 的解为( )
2 2 2
A.0 B. 2 C.0 或 2 D.无解
解析：根据题意，若 3 > 1 ，则 3 = 3 2 ，去分母得 3 = 3 2( 2)，去括号得 3 =
2 2 2 2
3 2 + 4，解得 = 2 .经检验， = 2 是原分式方程的解.此时， 1 = 1， 3 = 3，
2 4 2 4
3 < 1，与 3 > 1 不符.若 1 > 3 ，则有 1 = 3 2，解得 = 0.经检验， = 0 符合
4 4 2 2 2 2 2 2
题意.故选 A.
2 ≤ 2+ ,
10.若实数 使关于 的不等式组 3 有解且至多有 3 个整数解，使关于 的分式方程 <
3
2 + 3 = 2 有整数解，则满足条件的整数 有( )
1 1
A.1 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个
2 ≤ 2+ ,①
解析： 3 解不等式①得 ≥ 1. ∵ 不等式组有解且至多有 3 个整数解，∴ 1 ≤ < ,②
3
< ,∴ 1 < ≤ 2，∴ 3 < ≤ 6.分式方程两边都乘 1 得 2 3 = 2( 1)，解得
3 3
= 3 .∵ 1 ≠ 0，∴ ≠ 1，∴ 3 ≠ 1 ，∴ ≠ 5. ∵ 分式方程有整数解，∴ 2 =± 1，
2 2
±3，解得 = 3 或 1 或 5 或 1. ∵ ≠ 5， 3 < ≤ 6，∴ 满足条件的整数 为 3，1， 1 ，
共 3 个，故选 C.
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第十八章 分式
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
11.若分式| | 3的值为 0，则 = ____.
3
解析：∵ 分式| | 3的值为 0，∴ ∣ ∣ 3 = 0, 3 ≠ 0, ∴ = 3.故答案为 3 . 3
点拨 分式的值为 0
分式值为 0 的前提是分母不等于 0.
12.当 = 2， = 1 时，( 3)2 × ( 32 ) ÷ (
)4 = ____.

3 2 3 4 2 3 4 3 4解析：( ) × ( 2 ) ÷ ( ) = 6 × (

6 ) ÷ = 2 6 ×
× = 5 .
4 6 4
当 = 2， = 1 时，原式= 1.故答案为 1 .
13.甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距 km.若一艘游轮在静水中航行的速度为 km/h，
水流速度为 km/h( < ) ，则该游轮往返两港口所需时间相差______h .
解析：由题意得，该游轮往返两港口所需的时间差为 = 2
+ 2 2
(h) .
故答案为 2 2 2 .
14.若关于 的分式方程 + 1 = 有增根，则 的值为____.
1 1
解析： + 1 = ，解得 = 1 .
1 1 2
∵ 关于 的分式方程 + 1 = 有增根，∴ 1 1 = 0，∴ = 1，故答案为 1 .
1 1 2
15.下面的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，
则被污染的 的值是___.先化简，再求值：3 + 1,其中 =
4
解：原式= 3 ( 4) + ( 4) ①
4
= 3 + 4
= 1 .
解析：3 + 1 = 3 + 4 = 1 .由题意得 1 = 1，
4 4 4 4 4
解得 = 5 ，故答案为 5.
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16.一次数学活动课上，聪聪发现“在周长一定的长方形中，正方形的面积最大”，那么当长方
形周长为 16 时，其面积最大值是____；之后又发现“在面积一定的长方形中，正方形的周长最
2
小”，进而推导出式子“ +9 ( > 0) ”的最小值，则这个最小值是___.

解析：∵ 在周长一定的长方形中，正方形的面积最大，∴ 当长方形周长为 16 时，其面积最
大值是( 16 )2 = 16.当长方形的面积为 9 时，设一边长为 ，则另一边长为9. ∵ 在面积一定的
4
长方形中，正方形的周长最小，
∴ 当长方形面积为 9 时，其周长的最小值为 2( + 9 ) = 3 × 4 = 12，

2+9 9 2∴ = + ≥ 6，∴ +9 ( > 0) 的最小值是 6.故答案为 16，6.

三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分）
17.（8 分）计算：
2
（1） + +
2 2
+ 2 +2 .
( )2 ( + )2
2+ + 2解：原式= ( ) + 2 +2
( )2 2+2 + 2
2+ + 2= ( ) + 2 +2 （2 分）
( )2 2+ + 2
= + 2 +2

= 3 +2 .（4 分）

2（2） 8 +16÷ ( 2 12 ) .
2+2 +2
2
解：原式= ( 4) ÷ [ ( 2)( +2) 12 ]
( +2) +2 +2
( 4)2 2= ÷ 4 12 （6 分）
( +2) +2
= ( 4)
2
+2
( +2) ( +4)( 4)
= 4
( +4)
= 4
2
.（8 分）
+4
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第十八章 分式
18.（10 分）解方程：
（1） 2 + 3 = 2 ；
2 1 1 2
解：去分母，得 2 3 = 2(2 1).去括号，得 2 3 = 4 2 .移项、合并同类项，得 2 =
1. ∴ = 1 .（3 分）
2
经检验， = 1 是原分式方程的解.（4 分）
2
∴ 原分式方程的解为 = 1 .（5 分）
2
（2） 72 +
3 = 6 .
+ 2 2 1
解：去分母，得 7( 1) + 3( + 1) = 6 .去括号，得 7 7 + 3 + 3 = 6 .移项、合并同类
项，得 4 = 4.系数化为 1，得 = 1 .（8 分）
经检验， = 1 是原分式方程的增根.（9 分）
故原分式方程无解.（10 分）
19.（10 分）已知 = +1， = +3 .
+2 +4
（1）若 = 1 ，求 的值.
+2
解：由 = 1 ，得 +1 = 1 = +2 ，∴ 2 = 1 ，（2 分）
+2 +2 +2 +2
解得 = 1 .（3 分）
（2）当 取哪些整数时，分式 的值为整数
解：∵ = +4 1 = 1 1 ， 为整数，∴ 当 + 4 =± 1 时，分式 的值为整数,
+4 +4
∴ = 3 或 = 5 .（7 分）
（3）若 > 0，比较 与 的大小关系.
解：当 > 0 时， = +1 +3 = 2 < 0，∴ < .（10 分）
+2 +4 ( +2)( +4)
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第十八章 分式
20.（12 分）如图（1），在一张长方形纸片的四个角分别剪去一个边长相等的正方形，可折叠
成如图（2）所示的一个无盖长方体纸盒.
图（1） 图（21）
（1）若图（1）中原长方形纸片的长为 20 cm、宽为 16 cm ，被剪掉的正方形的边长为 cm，
折叠得到的图（2）的无盖长方体纸盒的长、宽、高之和为 24 cm ，求 的值；
解：由题意得(20 2 ) + (16 2 ) + = 24，解得 = 4 .
答： 的值为 4.（5 分）
（2）现有 60 张同样规格的长方形纸片，可制作成 60 个无盖长方体纸盒，剪下来的正方形恰
好全部制作成正方体（每个正方体需要 6 个正方形）.现把 20 名同学分为甲、乙两组，甲组制
作无盖长方体纸盒，乙组制作正方体，若甲组平均每人制作的无盖长方体纸盒个数是乙组平均
每人制作的正方体个数的一半，求甲组有多少名同学.
解：设甲组有 名同学，则乙组有(20 ) 名同学.
60×4
根据题意得60 = 6 × 1 ，（9 分）
20 2
解得 = 15 .（10 分）
经检验， = 15 是原分式方程的解且符合题意.
答：甲组有 15 名同学.（12 分）
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第十八章 分式
21.（12 分）阅读下列材料：消元求值是解决代数式求值时的一种常用方法，在实际解题过程
中应用非常广泛，常见的消元方法有代入消元法、加减消元法、比值消元法等，下面介绍一种
倒数消元法.
例：已知 + 1 = 1， + 1 = 1，求 + 1 的值.

解：由 + 1 = 1 得1 = 1 ；由 + 1 = 1 得 = 1 1 = 1 .

∴ 1 = 1 (1 ) = 1，整理得 = + 1，则 + 1 = +1 = 1 .

根据上述材料内容，解答下列问题：
（1）已知 + 1 = 1， + 1 = 1，则 + 1 = _____ ；

解：由题意，得1 = 1 ， = 1 1，∴ 1 = ( 1 1 )( 1 ) = 1 + + 1 + = 1，

∴ = +1 ，

∴ = +1，∴ + 1 = 1 + 1 = = 1.故答案为 1 .（4 分）

（2）已知 = 3 9， = 3 9，求证： = 3 9 ；

【证明】∵ = 3 9，∴ 9 = 3 ，∴ 1 = 3 ，∴ 1 = (3 9 ) 3 = 1，
9 9
∴ 3 9 = 9 ，∴ 1 3 = 3 ，∴ 3 = 1 3 ，∴ = 3 9 .（8 分）
3 3 3
（3）已知 + 2 = + 2 = + 2 = （其中 ， ， 互不相等），求 的值.

解：∵ + 2 = + 2 = + 2 = ，∴ 2 = ， = 2， + 2 = ，

∴ 2 = 2 = ( )( 2 ) ，（10 分）

∴ 2 2 + 2 = 2，∴ 2 2 + 2 = 2 ，

∴ 2 (2 + ) = 2( ). ∵ + 2 = ，∴ 2 2 = 2( ) ，
∴ ( ) 2 = 2( ). ∵ ≠ 0，∴ 2 = 2，∴ =± 2 .（12 分）
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第十八章 分式
22.项目式学习（14 分）根据以下素材，完成相应任务.
怎样计算七、八年级两支志愿者队伍的人数和人均植树数
素材 为改善生态环境，某校七年级、八年级两支志愿者队伍分别参加了当地的
调 1 植树活动
查 小明同学对这次植树活动进行调查，收集到如下信息：
活 素材 ①七年级、八年级两支志愿者队伍各种植 720 棵树苗；
动 2 ②八年级比七年级人均植树多 2 棵；
③八年级的志愿者人数比七年级的志愿者人数少 20%
小明同学把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，
交流质疑 认为小明同学没有收集到七年级、八年级两支志愿者队伍的“人数”“人均植
树数”等重要信息，没法进行系统研究
问题解决
任务 1 请你根据上述信息，就七年级、八年级两支志愿者队伍的“人数”和“人均植树数”分别提
出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程：
解：提出问题 1：分别求出七、八年级志愿者队伍的人数.（1 分）
解决问题：设七年级的志愿者队伍有 人，则八年级的志愿者队伍有(1 20%) 人.
根据题意，得 720 720 = 2，解得 = 90 .（3 分）
(1 20%)
经检验， = 90 是所列方程的解，且符合题意，
∴ (1 20%) = (1 20%) × 90 = 72 .
答：七年级的志愿者有 90 人，八年级的志愿者有 72 人.（5 分）
提出问题 2：分别求出七、八年级志愿者人均植树数.（6 分）
解决问题：设七年级志愿者人均植树 棵，则八年级志愿者人均植树( + 2) 棵.
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第十八章 分式
根据题意，得720 × (1 20%) = 720，解得 = 8 .（8 分）
+2
经检验， = 8 是所列方程的解，且符合题意，∴ + 2 = 8 + 2 = 10 .
答：七年级志愿者人均植树 8 棵，八年级志愿者人均植树 10 棵.（10 分）
问题拓展
任务 2 小明同学还想知道参与此次活动的八年级（1）班志愿者的人数和植树数.已知如果每人
植树 9 棵，那么还剩下 12 棵树苗；如果每人植树 12 棵，那么缺少 24 棵树苗，求八年级（1）
班志愿者的人数和需种植的树苗数
解：：设八年级（1）班志愿者有 人.根据题意得 9 + 12 = 12 24 ，
解得 = 12 .（12 分）
∴ 9 + 12 = 9 × 12 + 12 = 120 .
答：八年级（1）班志愿者有 12 人，需种植 120 棵树苗.（14 分）
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第十八章 分式 素养检测卷
时间：90 min 满分：120 分
一、选择题（每小题 3 分）
1.对于 取任何实数都有意义的分式为( )
A. 3 B. 3 C. 3 D. 3
2+1 2 1 ( +1)2 ( 1)2
2.若4 + 4
1
= ，则 的值为( )
2
A. 1 B. 2 C.0 D.1
2 3
3.把分式 中 ， 的值都扩大为原来的 4 倍，则分式的值( )
+
A.扩大为原来的 4 倍 B.扩大为原来的 8 倍
C.缩小为原来的1 D.不变
4
| 2| |2 |
4.计算 + 的结果是( )
2 2
A.0 B.2 C. 2 D.2 或 2
1 1
5.若 = 4，则 的值为( )

A.1 B. 1 C.4 D. 4
4 4
6.纳米(nm) 是一种长度单位，常用于度量物质原子的大小，1 nm = 10 9 m.已知某种植物孢
子的直径为45 000 nm ，用科学记数法表示该孢子的直径为( )
A.4.5 × 10 6 m B.4.5 × 10 5 m C.45 × 10 5 m D.0.45 × 10 7 m
7.如下是学习分式方程的实际应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程.下列判断正确的
是( )
甲、乙两个工程队，甲队修路 400 米与乙队修路 600 米所
600 400
嘉嘉： = 20 ；

用的时间相等，乙队每天比甲队多修 20 米，求甲队每天
400 600
洪洪： =
+20
修路的长度
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第十八章 分式
A.嘉嘉设的未知量是甲队每天修路的长度
B.洪洪设的未知量是乙队每天修路的长度
C.甲队每天修路的长度是 40 米
D.乙队每天修路的长度是 40 米
1 2 2
8.如图，若 = 6 ， > 0，则 ( ) 的值在( )

A.第①段 B.第②段 C.第③段 D.第④段
9.对于两个不相等的实数 ， ，我们规定符号Max{ ， }表示 ， 中的较大的值，如Max{2，
1 3 3
4} = 4.按照这个规定，方程Max{ ， } = 2 的解为( )
2 2 2
A.0 B. 2 C.0 或 2 D.无解
2
≤ 2 + ,
10.若实数 使关于 的不等式组{ 3 有解且至多有 3 个整数解，使关于 的分式方程
<
3
2 3
+ = 2 有整数解，则满足条件的整数 有( )
1 1
A.1 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
| | 3
11.若分式 的值为 0，则 = ____.
3

12.当 = 2， = 1时，( 3)2 × ( )3 ÷ ( )42 = ____.
13.甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距 km.若一艘游轮在静水中航行的速度为 km
/h，水流速度为 km/h( < ) ，则该游轮往返两港口所需时间相差______h .

14.若关于 的分式方程 + 1 = 有增根，则 的值为____.
1 1
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第十八章 分式
15.下面的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，
3
则被污染的 的值是___.先化简，再求值： + 1,其中 =
4
3
解：原式= ( 4) + ( 4) ①
4
= 3 + 4
= 1 .
16.一次数学活动课上，聪聪发现“在周长一定的长方形中，正方形的面积最大，” 那么当长方形
周长为 16 时，其面积最大值是____；之后又发现“在面积一定的长方形中，正方形的周长最小，”
2+9
进而推导出式子“ ( > 0) ”的最小值，则这个最小值是___.

三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分）
17.（8 分）计算：
2+ + 2 2 2 +2
（1） 2 + . ( ) ( + )2
2 8 +16 12
（2） 2 ÷ ( 2 ) . +2 +2
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第十八章 分式
18.（10 分）解方程：
2 3
（1） + = 2 ；
2 1 1 2
7 3 6
（2） + = .
2+ 2 2 1
+1 +3
19.（10 分）已知 = ， = .
+2 +4

（1）若 = 1 ，求 的值.
+2
（2）当 取哪些整数时，分式 的值为整数
（3）若 > 0，比较 与 的大小关系.
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第十八章 分式
20.（12 分）如图（1），在一张长方形纸片的四个角分别剪去一个边长相等的正方形，可折叠
成如图（2）所示的一个无盖长方体纸盒.
图（1） 图（21）
（1）若图（1）中原长方形纸片的长为20 cm、宽为16 cm ，被剪掉的正方形的边长为 cm，
折叠得到的图（2）的无盖长方体纸盒的长、宽、高之和为24 cm ，求 的值；
（2）现有 60 张同样规格的长方形纸片，可制作成 60 个无盖长方体纸盒，剪下来的正方形恰
好全部制作成正方体（每个正方体需要 6 个正方形）.现把 20 名同学分为甲、乙两组，甲组制
作无盖长方体纸盒，乙组制作正方体，若甲组平均每人制作的无盖长方体纸盒个数是乙组平均
每人制作的正方体个数的一半，求甲组有多少名同学.
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第十八章 分式
21.（12 分）阅读下列材料：消元求值是解决代数式求值时的一种常用方法，在实际解题过程
中应用非常广泛，常见的消元方法有代入消元法、加减消元法、比值消元法等，下面介绍一种
倒数消元法.
1 1 1
例：已知 + = 1， + = 1，求 + 的值.

1 1 1 1 1
解：由 + = 1得 = 1 ；由 + = 1得 = 1 = .

1 1 1 +1
∴ = (1 ) = 1，整理得 = + 1，则 + = = 1 .

根据上述材料内容，解答下列问题：
1 1 1
（1）已知 + = 1， + = 1，则 + = _____ ；

9 9 9
（2）已知 = 3 ， = 3 ，求证： = 3 ；

2 2 2
（3）已知 + = + = + = （其中 ， ， 互不相等），求 的值.

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第十八章 分式
22.项目式学习（14 分）根据以下素材，完成相应任务.
怎样计算七、八年级两支志愿者队伍的人数和人均植树数
素 为改善生态环境，某校七年级、八年级两支志愿者队伍分别参加了当地的植
调 材 1 树活动
查 小明同学对这次植树活动进行调查，收集到如下信息：
活 素 ①七年级、八年级两支志愿者队伍各种植 720 棵树苗；
动 材 2 ②八年级比七年级人均植树多 2 棵；
③八年级的志愿者人数比七年级的志愿者人数少 20%
小明同学把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，
交流质疑 认为小明同学没有收集到七年级、八年级两支志愿者队伍的“人数”“人均植
树数”等重要信息，没法进行系统研究
问题解决
任务 1 请你根据上述信息，就七年级、八年级两支志愿者队伍的“人数”和“人均植树数”分别提
出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程：
问题拓展
任务 2 小明同学还想知道参与此次活动的八年级（1）班志愿者的人数和植树数.已知如果每人
植树 9 棵，那么还剩下 12 棵树苗；如果每人植树 12 棵，那么缺少 24 棵树苗，求八年级（1）
班志愿者的人数和需种植的树苗数。
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