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第十三章 三角形
第十三章 三角形 基础诊断卷
时间：90 min 满分：120 分
一、选择题（每小题 3 分）
1.如图，窗户打开后，用窗钩 可将其固定，其所运用的几何原理是( )
A.三角形具有稳定性 B.两点确定一条直线
C.垂线段最短 D.两点之间，线段最短
2.如图，在△ 中，∠ = 60 ，∠ = 50 ， // ，则∠1 的度数为( )
A.50 B.60 C.70 D.80
3.如图是某同学的折纸示意图，则 是△ 的( )
A.高线 B.角平分线 C.中线 D.垂直平分线
第 3 题图 第 4 题图
4.如图， ⊥ 交 的延长线于点 ， ⊥ 交 的延长线于点 ， ⊥ 于点 ，则
在△ 中， 边上的高是( )
A. B. C. D.
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第十三章 三角形
5.如图， ⊥ ，∠1 = ∠2，∠ = 45 ，则∠ 的度数是( )
A.85 B.90 C.95 D.100
6.将一副三角板按照如图所示的方式摆放，点 在线段 的延长线上，若∠ = 63 ，则
∠ 的度数为( )
A.12 B.15 C.18 D.22
7.在探究证明“三角形的内角和是180 ”时，综合实践小组的同学作了如图所示四种辅助线，
其中不能证明“三角形的内角和是180 ”的是( )
A.过 作 // B.延长 到 过 作 //
C.过 上一点 作 // , //
D.作 ⊥ 于点
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第十三章 三角形
8.如图，点 为△ 内一点，∠ = 10 ，∠ = 60 ， ⊥ ，则∠ 的度数是(
)
A.15 B.20 C.25 D.30
9. 健康骑行逐渐受到人们喜欢，如图是便携式折叠自行车的示意图，已知 // ， // ，
平分∠ .若∠ = 70 ，∠ = 60 ，则∠ = ( )
A.80 B.90 C.100 D.110
10.如图，△ 和△ 是由△ 分别沿着 ， 边翻折得到的.若∠ = 82 ，则∠1 的
度数是( )
A.132 B.149 C.129 D.139
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第十三章 三角形
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
11.如图是应用DeepSeek 公司研发的一个AI模型画出的图形，在△ 中，顶点 的对边是__
___.
12.如图，这是一台放置在水平桌面上的电脑显示屏，将其侧面抽象成平面几何图形，测得∠
= 120 ，∠ = 2∠ ，则∠ = ____ .
13.小刚平时跳跃泥潭障碍训练中助跑跳跃距离为(4.5 ± 0.1) 米，在某次训练挑战中他不确定
自己是否能够跳过如图所示的这个泥潭（ 的长度），于是测量了相关长度.由于米尺长度有
限，小刚测得 = 2.2米， = 2.1 米.根据小刚的测量，他____完成这项训练挑战.（填“能”
或“不能”）
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第十三章 三角形
14.如图， 处在 处的北偏西40 方向， 处在 处的北偏西75 方向，则∠ 的度数为___
_.
15.如图， 是△ 的角平分线， 是△ 的高，∠ = 60 ，∠ = 50 ，点 为
边 上一点，当△ 为直角三角形时，∠ 的度数为_________.
第 15题图 第 16题图
16.在△ 中，∠ = 160 .第一步：在△ 上方确定一点 1，使∠ 1 = ∠ ，∠ 1
= ∠ ，如图（1），则∠ 1的度数为______；第二步：在△ 1 上方确定一点 2 ，使∠ 2
1 = ∠ 1 ，∠ 2 1 = ∠ 1 ，如图（2）.照此下去，至多能进行____步.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分）
17.（8 分）求出下列图形中 的值.
图（1） 图（2）
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第十三章 三角形
18.（10 分）如图， 和 分别是△ 的高和角平分线， 是△ 的边 上的中线.
（1）若△ 的面积为 6，则△ 的面积为______；
（2）若∠ = 70 ，∠ = 60 ，求∠ 和∠ 的度数.
19.（10 分）某建材市场上的一种钢管的长度及相应价格如下表.学校要制作一个三角形支架的
宣传牌，已经购买了两根长度分别为2 m和5 m 的钢管，还需要购买一根.
长度(m) 1 2 3 4 5 6
价格（元/根） 10 15 20 25 30 35
（1）有哪几种长度的钢管可供选择？
（2）若要求做成的三角形支架的周长为偶数，则做成该三角形支架一共需要花多少钱？
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第十三章 三角形
20（. 12 分）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的 3 倍，这样的三角形我们称之为“三
倍角三角形”.例如，三个内角分别为120 ，40 ，20 的三角形是“三倍角三角形”.
（1）△ 中，∠ = 35 ，∠ = 40 ，△ 是“三倍角三角形”吗？为什么？
（2）若△ 是“三倍角三角形”，且∠ = 30 ，求△ 中最小内角的度数.
21.（12 分）如图，在△ 中， 是∠ 的平分线， 为线段 上一个动点， ⊥ 于
点 ，交 的延长线于点 .
（1）若∠ = 40 ，∠ = 50 ，求∠ 和∠ 的度数；
（2）若∠ = 90 ，∠ = ∠ ，求∠ 的度数.
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第十三章 三角形
22.（14 分）在△ 中，∠ = 70 ， ， 分别是边 ， 上的点（不与点 ， ， 重合）.
点 是平面内一动点（ 与 ， 不在同一直线上，且不与 ， 重合）.设∠ = ∠1，∠ = ∠2，
∠ = ∠ .
【提出问题】（1）若点 在边 上运动，如图（1）所示，则∠1 + ∠2 = _________（用含∠
的代数式表示）；
如图（1） 如图（2）
【深入探究】（2）若点 在△ 的外部，如图（2）所示，写出∠ ，∠1，∠2 之间满足的
数量关系，并说明理由;
【拓展延伸】（3）延长 ，当点 在 的延长线上运动时，试在图（3）中画出相应图形，
标注相关字母与数字，并直接写出∠ ，∠1，∠2 之间满足的数量关系.
图（3）
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第十三章 三角形 基础诊断卷
时间：90 min 满分：120 分
一、选择题（每小题 3 分）
1.如图，窗户打开后，用窗钩 可将其固定，其所运用的几何原理是( )
A.三角形具有稳定性 B.两点确定一条直线
C.垂线段最短 D.两点之间，线段最短
解析：窗户打开后，用窗钩将其固定，正好形成三角形的形状，所运用的几何原理是三角形具
有稳定性.故选 A.
2.如图，在△ 中，∠ = 60 ，∠ = 50 ， // ，则∠1 的度数为( )
A.50 B.60 C.70 D.80
解析：∵ ∠ = 60 ，∠ = 50 ，
∴ ∠ = 180 ∠ ∠ = 180 60 50 = 70 . ∵ // ，
∴ ∠1 = ∠ = 70 ，故选 C.
3.如图是某同学的折纸示意图，则 是△ 的( )
A.高线 B.角平分线 C.中线 D.垂直平分线
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第十三章 三角形
解析：根据折叠的性质得 = ，∴ 是△ 的中线.故选 C.
4.如图， ⊥ 交 的延长线于点 ， ⊥ 交 的延长线于点 ， ⊥ 于点 ，则在
△ 中， 边上的高是( )
A. B. C. D.
解析：∵ ⊥ 交 的延长线于点 ，∴ 在△ 中， 边上的高是 ，故选 D.
警示：钝角三角形的高
钝角三角形两条较短边上的高在三角形外部.
5.如图， ⊥ ，∠1 = ∠2，∠ = 45 ，则∠ 的度数是( )
A.85 B.90 C.95 D.100
解析：∵ ⊥ ，∠1 = ∠2，∴ ∠1 = ∠2 = 45 . ∵ ∠ = 45 ，
∴ ∠ = 180 ∠2 ∠ = 180 45 45 = 90 ，故选 B.
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第十三章 三角形
6.将一副三角板按照如图所示的方式摆放，点 在线段 的延长线上，若∠ = 63 ，则
∠ 的度数为( )
A.12 B.15 C.18 D.22
解析：由题意可知，∠ = 45 ，∠ = 30 . ∵ ∠ = 63 ，
∴ ∠ = ∠ ∠ = 63 45 = 18 . ∵ ∠ 是△ 的外角，
∴ ∠ = ∠ ∠ = 30 18 = 12 .故选 A.
7.在探究证明“三角形的内角和是180 ”时，综合实践小组的同学作了如图所示四种辅助线，
其中不能证明“三角形的内角和是180 ”的是( )
A.过 作 //
B.延长 到 过 作 //
C.过 上一点 作 // , //
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第十三章 三角形
D.作 ⊥ 于点
解析：由 // ，得∠ = ∠ ，∠ = ∠ .
由∠ + ∠ + ∠ = 180 ，得∠ + ∠ + ∠ = 180 ，故 A 不符合题意.
由 // ，得∠ = ∠ ，∠ = ∠ .由∠ + ∠ + ∠ = 180 ，
得∠ + ∠ + ∠ = 180 ，故 B 不符合题意.由 // ，
得∠ = ∠ ，∠ = ∠ .由 // ，得∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ .
由∠ + ∠ + ∠ = 180 ，得∠ + ∠ + ∠ = 180 ，故 C 不符合题意.
由 ⊥ 于 ，得∠ = ∠ = 90 ，无法证得三角形的内角和是180 ，故 D 符合题
意.故选 D.
技巧三角形内角和定理的证明
证明方法不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角转化，组合成一个平角，常借助平行
线转化.
8.如图，点 为△ 内一点，∠ = 10 ，∠ = 60 ， ⊥ ，则∠ 的度数是( )
A.15 B.20 C.25 D.30
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第十三章 三角形
解析： 如图，
延长 交 于点 . ∵ ∠ = 10 ，∠ = 60 ，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 60 + 10 = 70 . ∵ ⊥ ，
∴ ∠ = 90 ，∴ ∠ = 180 ∠ ∠ = 180 70 90 = 20 ，
即∠ 的度数是20 ，故选 B.
点拨：根据直角作辅助线
题目中有直角时，可以像本题解析中一样，延长一条直角边，得到另一个直角.
9. 健康骑行逐渐受到人们喜欢，如图是便携式折叠自行车的示意图，已知 // ， // ，
平分∠ .若∠ = 70 ，∠ = 60 ，则∠ = ( )
A.80 B.90 C.100 D.110
解析：∵ // ，∴ ∠ + ∠ = 180 . ∵ // ，
∴ ∠ + ∠ = 180 ， ∴ ∠ = ∠ = 70 . ∵ 平分∠ ，
∴ ∠ = 1∠ = 30 . ∵ // ，∴ ∠ = 180 ∠ = 120 ，
2
∴ ∠ = ∠ ∠ = 50 ，∴ ∠ = 180 ∠ ∠ = 100 ，故选 C.
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第十三章 三角形
10.如图，△ 和△ 是由△ 分别沿着 ， 边翻折得到的.若∠ = 82 ，则∠1 的
度数是( )
A.132 B.149 C.129 D.139
解析：设∠ = ∠2,∠ = ∠3 .由翻折得∠ = ∠2，∠ = ∠3，
∴ ∠ = 2∠2 ，∠ = 2∠3.
∵ ∠ + ∠ = ∠ ，∴ 2∠2 + 2∠3 = ∠ ，∴ ∠2 + ∠3 = 1∠ ，
2
∴ ∠1 = 180 (∠2 + ∠3) = 180 1∠ = 180 1 × 82 = 139 ，故选 D.
2 2
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
11.如图是应用 DeepSeek 公司研发的一个 AI 模型画出的图形，在△ 中，顶点 的对边是_
____.
解析：△ 的三边分别为 ， ， ，其中 ， 与点 相邻， 与点 相对，据此可
得顶点 的对边是 ，故答案为 .
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第十三章 三角形
12.如图，这是一台放置在水平桌面上的电脑显示屏，将其侧面抽象成平面几何图形，测得
∠ = 120 ，∠ = 2∠ ，则∠ = ____ .
解析：∵ ∠ = 2∠ ，∠ = ∠ + ∠ ，∠ = 120 ，
∴ 1∠ + ∠ = 120 ，∴ ∠ = 80 ，故答案为 80.
2
13.小刚平时跳跃泥潭障碍训练中助跑跳跃距离为(4.5 ± 0.1) 米，在某次训练挑战中他不确定
自己是否能够跳过如图所示的这个泥潭（ 的长度），于是测量了相关长度.由于米尺长度有
限，小刚测得 = 2.2 米， = 2.1 米.根据小刚的测量，他____完成这项训练挑战.（填“能”
或“不能”）
解析：∵ = 2.2 米， = 2.1 米，∴ 0.1 米< < 4.3 米.∵ 小刚平时跳跃泥潭障碍训练中
助跑跳跃距离的范围为 4.4 米到 4.6 米，∴ 他能完成这项训练挑战.故答案为能.
点拨：三角形的三边关系
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
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第十三章 三角形
14.如图， 处在 处的北偏西40 方向， 处在 处的北偏西75 方向，则∠ 的度数为___
_.
解析：如图，
∠ + ∠ = 180 . ∵ ∠ = 75 ，
∴ ∠ + ∠ = 105 . ∵ ∠ = 40 ，
∴ ∠ + ∠ = 145 ，∴ ∠ = 180 145 = 35 .故答案为35 .
15.如图， 是△ 的角平分线， 是△ 的高，∠ = 60 ，∠ = 50 ，点 为边
上一点，当△ 为直角三角形时，∠ 的度数为_________.
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第十三章 三角形
解析：
当∠ = 时 当∠ = 时
∵ 是△ 的角平分线， 同理可得∠ = . ∵ 是△ 的高，
∠ = ，∴ ∠ = ， ∠ = ，∴ ∠ = ∠ = ，
∴ 在 △ 中，∠ = ∴ ∠ = ∠ ∠ =
综上所述，∠ 的度数为 或
点拨：直角三角形的分类讨论问题
如果没有确定直角三角形的直角顶点，则应分类讨论，在没有其他条件的限制下，每个顶点都
有可能是直角顶点，讨论时注意不重不漏.
16.在△ 中，∠ = 160 .第一步：在△ 上方确定一点 1，使∠ 1 = ∠ ，∠ 1 =
∠ ，如图（1），则∠ 1的度数为______；第二步：在△ 1 上方确定一点 2 ，使∠ 2 1 =
∠ 1 ，∠ 2 1 = ∠ 1 ，如图（2）.照此下去，至多能进行____步.
解析：∵ ∠ = 160 ，
∴ ∠ + ∠ = 180 ∠ = 20 . ∵ ∠ 1 = ∠ ，∠ 1 = ∠ ，
∴ ∠ 1 + ∠ 1 = 2(∠ + ∠ ) = 40 ，
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第十三章 三角形
∴ ∠ 1 = 180 (∠ 1 + ∠ 1 ) = 140 .同理，∠ 2 = 120 ，∠ 3 = 100 ，
，∠ = 180 20 ( + 1)，当 = 8 时，∠ 8 = 0 ，∴ 至多能进行七步.
故答案为140 ，七.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分）
17.（8 分）求出下列图形中 的值.
图（1） 图（2）
（1）解：∵ 40 + + = 180 ，∴ = 70
（2）∵ + 70 = + ( + 10) ，∴ = 60
18.（10 分）如图， 和 分别是△ 的高和角平分线， 是△ 的边 上的中线.
（1）若△ 的面积为 6，则△ 的面积为______；
解：∵ 是△ 的边 的中线，∴ = ，∴ △ = △ = 6，
∴ △ = 12，故答案为 12
（2）若∠ = 70 ，∠ = 60 ，求∠ 和∠ 的度数.
解：∵ 是△ 的高，∴ ∠ = 90 . ∵ ∠ = 70 ，
∴ ∠ = 90 ∠ = 90 70 = 20
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第十三章 三角形
∵ ∠ = 60 ，∴ ∠ = 180 ∠ ∠ = 180 70 60 = 50 .
∵ 是△ 的角平分线，∴ ∠ = 1∠ = 25 ，
2
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 25 + 70 = 95
19.（10 分）某建材市场上的一种钢管的长度及相应价格如下表.学校要制作一个三角形支架的
宣传牌，已经购买了两根长度分别为 2 m 和 5 m 的钢管，还需要购买一根.
长度(m) 1 2 3 4 5 6
价格（元/根） 10 15 20 25 30 35
（1）有哪几种长度的钢管可供选择？
解：设第三根钢管的长度为 m，则 5 2 < < 5 + 2 ，即 3 < < 7 .
答：长度为 4 m、5 m、6 m 的钢管可供选择.
（2）若要求做成的三角形支架的周长为偶数，则做成该三角形支架一共需要花多少钱？
解：∵ 三角形支架的周长为偶数，∴ 还要购买一根长度为 5 m 的钢管，
∴ 需要花 15 × 1 + 30 × 2 = 75 （元）.
答：做成该三角形支架一共需要花 75 元.
20（. 12 分）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的 3 倍，这样的三角形我们称之为“三
倍角三角形”.例如，三个内角分别为120 ，40 ，20 的三角形是“三倍角三角形”.
（1）△ 中，∠ = 35 ，∠ = 40 ，△ 是“三倍角三角形”吗？为什么？
解：△ 是“三倍角三角形”.
理由如下：∵ ∠ = 35 ，∠ = 40 ，
∴ ∠ = 180 35 40 = 105
∵ 105 = 35 × 3，∴ △ 是“三倍角三角形”
（2）若△ 是“三倍角三角形”，且∠ = 30 ，求△ 中最小内角的度数.
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第十三章 三角形
解：∵ ∠ = 30 ，∴ ∠ + ∠ = 150
当∠ = 3∠ = 90 时，∠ = 60 ,△ 中最小内角的度数为30 ；
当30 = 3∠ 时，∠ = 10 ，∠ = 140 ,△ 中最小内角的度数为10 ；
当∠ = 3∠ ,即∠ + 3∠ = 150 时，∠ = 37.5 ，∠ = 112.5
△ 中最小内角的度数为30 .
综上，△ 中最小内角的度数为10 或30 .
21.（12 分）如图，在△ 中， 是∠ 的平分线， 为线段 上一个动点， ⊥ 于
点 ，交 的延长线于点 .
（1）若∠ = 40 ，∠ = 50 ，求∠ 和∠ 的度数；
解：∵ ∠ = 40 ，∠ = 50 ，
∴ ∠ = 180 ∠ ∠ = 90 .
∵ 是∠ 的平分线，
∴ ∠ = ∠ = 1∠ = 45 ，
2
∴ ∠ = 180 ∠ ∠ = 85 .
（2）若∠ = 90 ，∠ = ∠ ，求∠ 的度数.
解：∵ ⊥ ，∴ ∠ = 90 ，
∴ ∠ + ∠ = 180 ∠ = 90
∵ ∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 180 ∠ = 90 ，
∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，∴ ∠ = ∠ .
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第十三章 三角形
∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ . ∵ 是∠ 的平分线，
∴ ∠ = 2∠ = 2∠ .
∵ ∠ + ∠ + ∠ = 180 ，∴ ∠ + 2∠ = 90 ，解得∠ = 30
22.（14 分）在△ 中，∠ = 70 ， ， 分别是边 ， 上的点（不与点 ， ， 重合）.
点 是平面内一动点（ 与 ， 不在同一直线上，且不与 ， 重合）.设∠ = ∠1，∠ = ∠2，
∠ = ∠ .
【提出问题】
（1）若点 在边 上运动，如图（1）所示，则∠1 + ∠2 = _________（用含∠ 的代数式表
示）；
解：如图（1） ，
连接 .∵ ∠2 = ∠ + ∠ ，∠1 = ∠ + ∠ ，
∴ ∠1 + ∠2 = ∠ + ∠ + ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∠ + 70 ，
故答案为70 + ∠
【深入探究】
（2）若点 在△ 的外部，如图（2）所示，写出∠ ，∠1，∠2 之间满足的数量关系，并
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第十三章 三角形
说明理由;
如图（2）
解：∠2 ∠1 = ∠ 70 ，理由如下：如图（2），设 交 于 .
∵ ∠ + ∠ = ∠2，∠ + ∠ = ∠1，∠ = ∠ ，
∴ ∠2 ∠1 = (∠ + ∠ ) (∠ + ∠ ) = ∠ 70 .
【拓展延伸】
（3）延长 ，当点 在 的延长线上运动时，试在图（3）中画出相应图形，标注相关字母
与数字，并直接写出∠ ，∠1，∠2 之间满足的数量关系.
图（3）
解：如图（3），
∠2 = ∠1 + ∠ + 70 .设 交 于 .
∵ ∠2 = ∠ + ∠ ，∠ = ∠1 + ∠ ，
∴ ∠2 = ∠ + ∠1 + ∠ ，∴ ∠2 = ∠1 + ∠ + 70 .
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第十三章 三角形
如图（4），
∠2 = 70 + ∠1 ∠ 设 交 于 .
∵ ∠ = ∠2 ∠ ，∠ = ∠1 ∠ ，∠ = ∠ ，
∴ ∠2 ∠ = ∠1 ∠ ，∴ ∠2 = 70 + ∠1 ∠ .
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