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第十三章 三角形
第十三章 三角形 素养检测卷
时间：90 min 满分：120 分
一、选择题（每小题 3 分）
1.下列图形中，具有稳定性的是( )
A. B. C. D.
2.如图，∠ ，∠ 为△ 的两个外角，∠ = 70 ，∠ = 150 ，则∠ 的度数
是( )
A.20 B.30 C.40 D.50
3.如图，小明研究一个小木块从斜坡上滑下时的运动状态，斜坡为Rt △ ，∠ = 90 ，∠
= 77 ，小木块△ 在斜坡 上，且 // ，则∠ 的度数为( )
A.13 B.15 C.20 D.23
4.如图，在△ 中， ， 分别是△ 的边 ， 上的高，且 = 3， = 6，则 :
= ( )
A.3: 4 B.4: 3 C.1: 2 D.2: 1
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第十三章 三角形
5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20 ，则顶角的度数是( )
A.70 B.110 C.20 或160 D.70 或110
6.若△ 的三个内角∠ ，∠ ，∠ 满足关系式∠ + ∠ = 2∠ ，则此三角形( )
A.一定是直角三角形 B.一定是钝角三角形
C.一定有一个内角为45 D.一定有一个内角为60
7.如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框（形状不限），不计螺丝大小，其中
相邻两螺丝的距离依次为 3，4，5，7，且相邻两木条的夹角均可调整.若调整相邻两木条的夹
角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
8.如图，在△ 中，∠ = ∠ ， 为边 上的动点（不与点 ， 重合），点 在边 上，
始终保持∠ = ∠ .当∠ 的度数每增加1 时，∠ 的度数( )
A.减小2 B.增加2 C.减小3 D.增加3
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第十三章 三角形
9.如图，两面镜子 ， 的夹角为∠ ，当光线经过镜子反射后，∠1 = ∠2 ，∠3 = ∠4.若∠
= 70 ，则∠ 的度数是( )
A.30 B.35 C.40 D.45
10.如图，已知∠ = 110 ， 平分∠ ， 平分∠ ， 的延长线交 于点 .设∠
= ，∠ = ，则下列关系正确的是( )
A. = 250 2 B. = 220 2 C. = 110 + D. = 110 + 2
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
11.如图，点 是△ 的重心，则 ___ .（填“> “”= ”或“< ”）
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第十三章 三角形
12.在一场足球比赛中，运动员甲、乙两人与足球的距离分别是6 m，15 m，那么甲、乙两人的
距离 可能是__________________m .
13.如图，△ 中，∠ = 90 ，点 ， 分别在边 ， 上.若∠1 = ∠ ，则∠ =____ .
14.如图，∠1 = ∠2 = 25 ，∠3 = ∠4，∠5 = ∠6，则∠7 = ______.
15.若三角形一个内角的度数为 ，另外两个内角的度数比为 ( ≥ 1)，则称此三角形为[ , ]
型三角形.若一个三角形为[60 , 2] 型三角形，则该三角形中最大内角的度数为____.
16.如图， 是△ 内一点，连接 ， ， ， 是∠ 平分线的反向延长线上的一点，
连接 ，∠ = 2∠ ，△ 和△ 的外角平分线相交于点 .若∠ = 45 ，∠ =
4∠ ，则∠ 的度数为____ .
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第十三章 三角形
三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分）
17.（8 分）如图，在直角△ 中， 边上有 ， ， 三点， = ，∠ = ∠ ，
⊥ ，垂足为 .
（1）以 为中线的三角形是_______；以 为角平分线的三角形是________；以 为高线
的钝角三角形有___个.
（2）若∠ = 35 ，求∠ 的度数.
18.（10 分）如图，在△ 中，已知∠ = 60 ，∠ = 50 ， ， 分别是 ， 边
上的高， 是 和 的交点，求∠ 和∠ 的度数.
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第十三章 三角形
19.（10 分）如图（1）所示，为五角星图案，图（2）、图（3）称为“蜕变的五角星”.试回答以
下问题：
（1）在图（1）中，试证明∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ = 180 .
（2）对于图（2）或图（3），还能得到同样的结论吗？若能，以图（3）为例证明你的结论；
若不能，试说明理由.
图（1） 图（2） 图（3）
20.（12 分）在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根12 cm 长的木棒，让同学们通
过剪拼的方式，制作一个三角形木框.
（1）小明想把木棒剪成三段，第一段长为 cm ，第二段的长比第一段的 3 倍少2 cm.试判断
第一段的长能否为3 cm ，并说明理由；
（2）［中］小亮先把木棒剪成如图所示的 = 4 cm和 = 8 cm 的两段，现要将木棒 从
处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请写出符合条件的 的整数长度.
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第十三章 三角形
21.（12 分）在△ 中，∠ + ∠ = 145 ，点 ， 分别在边 ， 上，将△ 沿
翻折.
（1）如图（1），点 的对应点为 ′，若∠ ′ = 30 ，求∠ ′ 的度数.
（2） 如图（2），点 ， 的对应点分别为 ′， ′，若∠ ′ = ，求∠ ′的度数（用含
的式子表示）.
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第十三章 三角形
22.（14 分）如图，直线 与直线 相交于 ，点 是直线 上一点，点 是直线 上一点，∠
的平分线 与∠ 的平分线 的反向延长线相交于点 .
如图（1） 如图（2）
【初步探究】
（1）如图（1），若∠ = 90 ，则∠ =____；若∠ = ，则∠ = ____（结果用含
的代数式表示）.
【深入剖析】
（2）如图（2），点 是直线 上一点，若点 在点 左侧，点 在点 右侧，连接 ，∠ 与
∠ 的平分线相交于点 .
①随着点 ， 的运动，∠ + ∠ 的值是否变化？若发生变化，请说明理由；若不发生
变化，试求出其值.
∠ ∠
②延长 交直线 于点 ，作 // 交 于点 ，则 = ________.
∠
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第十三章 三角形 素养检测卷
时间：90 min 满分：120 分
一、选择题（每小题 3 分）
1.下列图形中，具有稳定性的是( )
A. B. C. D.
解析：由三角形具有稳定性可知，只有 A 选项符合题意.故选 A.
2.如图，∠ ，∠ 为△ 的两个外角，∠ = 70 ，∠ = 150 ，则∠ 的度数
是( )
A.20 B.30 C.40 D.50
解析：∵ ∠ 是△ 的外角，且∠ = 70 ，
∴ ∠ = 180 70 = 110 . ∵ ∠ 是△ 的外角，
∴ ∠ = ∠ ∠ = 150 110 = 40 .故选 C.
3.如图，小明研究一个小木块从斜坡上滑下时的运动状态，斜坡为 Rt△ ，∠ = 90 ，∠ =
77 ，小木块△ 在斜坡 上，且 // ，则∠ 的度数为( )
A.13 B.15 C.20 D.23
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第十三章 三角形
解析：∵ ∠ = 90 ，∠ = 77 ，∴ ∠ = 180 ∠ ∠ = 13 . ∵ // ，
∴ ∠ = ∠ = 13 ，故选 A.
4.如图，在△ 中， ， 分别是△ 的边 ， 上的高，且 = 3， = 6，则 : =
( )
A.3: 4 B.4: 3 C.1: 2 D.2: 1
解析：∵ ， 分别是△ 的边 ， 上的高，
∴ 1△ = =
1 ，
2 2
∴ = . ∵ = 3， = 6，∴ 3 = 6 ，
∴ : = 1: 2 ，故选 C.
5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20 ，则顶角的度数是( )
A.70 B.110 C.20 或160 D.70 或110
解析：分情况讨论：如图（1） ，
当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两
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第十三章 三角形
个内角的和，可得顶角的度数是90 + 20 = 110 ；
如图（2） ，
当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，顶角的度数是90 20 = 70 .故选 D.
6.若△ 的三个内角∠ ，∠ ，∠ 满足关系式∠ + ∠ = 2∠ ，则此三角形( )
A.一定是直角三角形 B.一定是钝角三角形
C.一定有一个内角为45 D.一定有一个内角为60
解析：∵ ∠ + ∠ = 2∠ ，且∠ + ∠ + ∠ = 180 ,∴ 2∠ + ∠ = 180 ，
∴ ∠ = 60 ，故选 D.
7.如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框（形状不限），不计螺丝大小，其中
相邻两螺丝的距离依次为 3，4，5，7，且相邻两木条的夹角均可调整.若调整相邻两木条的夹
角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
解析：由题意得围成的木框的边长为 3，4，5，7，根据题意可知需将木框调整为三角形.①选
3 + 4 ，5，7 作为三角形的三边长，能构成三角形，此时两个螺丝间的距离的最大值为 7；②
选 5 + 4 ，7，3 作为三角形的三边长，能构成三角形，此时两个螺丝间的距离的最大值为 9；
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③选 5 + 7 ，3，4 作为三角形的三边长，此时 4 + 3 < 12，不能构成三角形，此种情况不成
立；④选 7 + 3 ，5，4 作为三角形的三边长，此时 5 + 4 < 10 ，不能构成三角形，此种情况
不成立.综上所述，任意两个螺丝间的距离的最大值为 9.故选 D.
8.如图，在△ 中，∠ = ∠ ， 为边 上的动点（不与点 ， 重合），点 在边 上，始
终保持∠ = ∠ .当∠ 的度数每增加1 时，∠ 的度数( )
A.减小2 B.增加2 C.减小3 D.增加3
解析：∵ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，∠ = ∠ + ∠ ，
∠ = ∠ ，∴ ∠ + ∠ = ∠ + 2∠ . ∵ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = 2∠ ，∴ 当∠ 的度数每增加1 时，∠ 的度数增加2 ，故选 B.
9.如图，两面镜子 ， 的夹角为∠ ，当光线经过镜子反射后，∠1 = ∠2 ，∠3 = ∠4.若∠ =
70 ，则∠ 的度数是( )
A.30 B.35 C.40 D.45
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第十三章 三角形
解析：如图，
∵ ∠ = 70 ，
∴ ∠2 + ∠3 = 180 ∠ = 110 . ∵ ∠1 = ∠2,∠3 = ∠4 ，
∴ ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 220 ，
∴ ∠5 + ∠6 = 140 . ∵ ∠5 + ∠6 + ∠ = 180 ,
∴ ∠ = 180 (∠5 + ∠6) = 180 140 = 40 .故选 C.
10.如图，已知∠ = 110 ， 平分∠ ， 平分∠ ， 的延长线交 于点 .设
∠ = ，∠ = ，则下列关系正确的是( )
A. = 250 2 B. = 220 2 C. = 110 + D. = 110 + 2
解析：如图，
延长 交 于点 ，设∠ 的度数为 2 ，∠ 的度数为 2 .
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第十三章 三角形
∵ 平分∠ ， 平分∠ ，
∴ ∠ = 1∠ = ,∠ = 1∠ = . ∵ ∠ = ，
2 2
∴ ∠ = ∠ ∠ = 2 ，
∴ ∠ = 180 ∠ = 180 + 2 .
∵ 在△ 中，∠ + ∠ + ∠ = 110 + 2 + 180 + 2 = 180 ，

∴ + = 110 .∵ ∠ = ，
2
∴ ∠ = ∠ + ∠ = + .在△ 中，

∠ + ∠ + ∠ = + + + 110 = 180 .将 + = 110 代入可得 + 110 +
2 2
110 = 180 ，整理得 = 250 2 ，
故选 A.
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
11.如图，点 是△ 的重心，则 ___ .（填“> ”“= ”或“< ”）
解析：根据重心是三角形三条中线的交点，得 = ，故答案为= .
12.在一场足球比赛中，运动员甲、乙两人与足球的距离分别是 6 m，15 m，那么甲、乙两人
的距离 可能是__________________m .
解析：∵ 运动员甲、乙两人与足球的距离分别是 6 m，15 m，∴ 甲、乙两人的距离 的范围
是 15 6 ≤ ≤ 15 + 6，即 9 ≤ ≤ 21 .故答案为 10（答案不唯一）.
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第十三章 三角形
13.如图，△ 中，∠ = 90 ，点 ， 分别在边 ， 上.若∠1 = ∠ ，则∠ =____ .
解析：∵ 在△ 中，∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 90 . ∵ ∠1 = ∠ ，
∴ ∠ + ∠1 = 90 ，∴ ∠ = 180 (∠ + ∠1) = 180 90 = 90 .故答案为 90.
14.如图，∠1 = ∠2 = 25 ，∠3 = ∠4，∠5 = ∠6，则∠7 = ______.
解析：∵ ∠1 = ∠2 = 25 ，∴ ∠3 = ∠4 = 25 × 2 = 50 ，
∴ ∠5 = ∠6 = ∠1 + ∠4 = 25 + 50 = 75 ,∴ ∠7 = ∠1 + ∠6 = 25 + 75 = 100 ，故答案为
100 .
15.若三角形一个内角的度数为 ，另外两个内角的度数比为 ( ≥ 1)，则称此三角形为[ , ]
型三角形.若一个三角形为[60 , 2] 型三角形，则该三角形中最大内角的度数为____.
解析：由题意得，该三角形的一个内角度数为60 .设另外两个内角中较小的角的度数为 ，
则另一个角的度数为 2 ，∴ 2 + = 180 60 = 120 ，解得 = 40 ，∴ 2 = 80 ，∴
该三角形中最大内角的度数为80 ，故答案为80 .
16.如图， 是△ 内一点，连接 ， ， ， 是∠ 平分线的反向延长线上的一点，
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第十三章 三角形
连接 ，∠ = 2∠ ，△ 和△ 的外角平分线相交于点 .若∠ = 45 ，∠ =
4∠ ，则∠ 的度数为____ .
解析：如图，
设直线 交 于 ，∠ = ，则∠ = 2 ，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 3 ，
∴ ∠ = 4∠ = 12 . ∵ 平分∠ ，
∴ ∠ = 1∠ = 6 ，
2
∴ ∠ = ∠ ∠ = 6 = 5 .
在△ 中，∠ + ∠ = 180 ∠ = 135 . ∵ 平分∠ ， 平分∠ ，
∴ ∠ = 2∠ ，∠ = 2∠ ，
∴ ∠ + ∠ = 2(∠ + ∠ ) = 270 ，
∴ ∠ + ∠ = 180 ∠ + 180 ∠ = 90 .
易得∠ = ∠ + ∠ + ∠ ，∴ 12 = 3 + 90 ，∴ = 10 ，
∴ ∠ = 5 = 50 ，故答案为 50.
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第十三章 三角形
三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分）
17（. 8 分）如图，在直角△ 中， 边上有 ， ， 三点， = ，∠ = ∠ ， ⊥
，垂足为 .
（1）以 为中线的三角形是_______；以 为角平分线的三角形是________；以 为高线
的钝角三角形有___个.
解：以 为中线的三角形是△ ；以 为角平分线的三角形是△ ；以 为高线的钝角
三角形有△ ，△ ，△ ,共 3 个.故答案为△ ，△ ，3.…………（6 分）
（2）若∠ = 35 ，求∠ 的度数.
解：在 Rt△ 中，∠ = 90 ，∠ = 35 ，∴ ∠ = 90 35 = 55 . ∵ ⊥ ，
∴ ∠ = 90 55 = 35 .…………（8 分）
18.（10 分）如图，在△ 中，已知∠ = 60 ，∠ = 50 ， ， 分别是 ，
边上的高， 是 和 的交点，求∠ 和∠ 的度数.
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第十三章 三角形
解：∵ 在△ 中，∠ = 60 ，∠ = 50 ，
∴ ∠ = 180 (∠ + ∠ ) = 70 .…………（4 分）
∵ ， 分别是 ， 边上的高，∴ ∠ = 90 ，∠ = 90 ，
∴ ∠ = 90 ∠ = 90 70 = 20 .…………（8 分）
∵ ∠ 是△ 的一个外角，∴ ∠ = ∠ + ∠ = 20 + 90 = 110 .…（10 分）
19.（10 分）如图（1）所示，为五角星图案，图（2）、图（3）称为“蜕变的五角星”.试回答以
下问题：
（1）在图（1）中，试证明∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ = 180 .
证明：如图（1），
设 ， 与 的交点分别为 ， .在△ 和△ 中，
∠ = ∠ + ∠ ，∠ = ∠ + ∠ . …………（3 分）
∵ 在△ 中，∠ + ∠ + ∠ = 180 ，
∴ ∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ = 180 .…………（5 分）
（2）对于图（2）或图（3），还能得到同样的结论吗？若能，以图（3）为例证明你的结论；
若不能，试说明理由.
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第十三章 三角形
图（2） 图（3）
解：能.（6 分）
证明如下：如图（2） ，设 与 的交点为 ，延长 交 于 .
同（1）可知，∠ = ∠ + ∠ ，∠ = ∠ + ∠ .（8 分）
∵ 在△ 中，∠ + ∠ + ∠ = 180 ，
∴ ∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ = 180 .（10 分）
20.（12 分）在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根 12 cm 长的木棒，让同学们通
过剪拼的方式，制作一个三角形木框.
（1）小明想把木棒剪成三段，第一段长为 cm ，第二段的长比第一段的 3 倍少 2 cm.试判断
第一段的长能否为 3 cm ，并说明理由；
解：第一段的长不能为3 cm.理由如下：∵ 第一段长为 cm ，第二段的长比第一段的 3倍少2 cm,
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第十三章 三角形
∴ 第二段的长为(3 2)cm，
∴ 第三段的长为[12 (3 2)] = (14 4 )cm.当 = 3 时，3 2 = 7 ，14 4 = 2
.…………（3 分）
∵ 3 + 2 < 7，∴ 不能制作成一个三角形木框，∴ 第一段的长不能为 3 cm .…………（6 分）
（2）［中］小亮先把木棒剪成如图所示的 = 4 cm 和 = 8 cm 的两段，现要将木棒 从
处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请写出符合条件的 的整数长度.
解：设 = cm，则 = (8 )cm .
∵ ， ， 能组成三角形，∴ + 4 > 8 ,∣ 4∣ < 8 , …………（8 分）
解得 2 < < 6，∴ 整数 为 3 或 4 或 5，
即符合条件的 的整数长度为 3 cm 或 4 cm 或 5 cm .…………（12 分）
21.（12 分）在△ 中，∠ + ∠ = 145 ，点 ， 分别在边 ， 上，将△ 沿 翻
折.
（1）如图（1），点 的对应点为 '，若∠ ' = 30 ，求∠ ' 的度数.
解：∵ 在△ 中，∠ + ∠ = 145 ，
∴ ∠ = 180 (∠ + ∠ ) = 35 . ∵ ∠ ' = 30 ，
∴ ∠ ' = 180 ∠ ' = 150 .由翻折的性质得
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第十三章 三角形
∠ = ∠ ' = 1∠ ' = 75 ，∠ = ∠ ' .………（4 分）
2
在△ 中，∠ = 180 (∠ + ∠ ) = 180 (35 + 75 ) = 70 ，
∴ ∠ ' = ∠ = 70 ，∴ ∠ ' = ∠ + ∠ ' = 140 ，
∴ ∠ ' = 180 ∠ ' = 180 140 = 40 .…………（6 分）
（2） 如图（2），点 ， 的对应点分别为 '， '，若∠ ' = ，求∠ '的度数（用含
的式子表示）.
解：如图，连接 ' .设∠ ' = .
∵ ∠ ' = ，∴ ∠ ' = 180 ∠ ' = 180 .
由翻折的性质得∠ ' = ∠ = 1∠ ' = 90 1 ，∠ ' = ∠ ，
2 2
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第十三章 三角形
∠ = ∠ ' ' ，∠ = ∠ ' .…………（8 分）
∵ ∠ + ∠ = 145 ，∴ ∠ ' ' + ∠ ' = 145 .
∵ ∠ ' + ∠ + ∠ ' = 360 ，
∴ ∠ ' = ∠ = 1 (360 ∠ ') = 180 1 .…………（9 分）
2 2
∵ ∠ ' + ∠ ' + ∠ ' = 180 ，∠ ' + ∠ ' ' + ∠ ' ' = 180 ，
∴ ∠ ' + ∠ ' + ∠ ' + ∠ ' + ∠ ' ' + ∠ ' ' = 360 ，
即∠ ' ' + ∠ ' + ∠ ' + ∠ ' = 360 ，…………（11 分）
∴ 145 + 90 1 + 180 1 = 360 ，∴ = 110 ，即∠ ' = 110 （12 分）
2 2
22.（14 分）如图，直线 与直线 相交于 ，点 是直线 上一点，点 是直线 上一点，∠
的平分线 与∠ 的平分线 的反向延长线相交于点 .
如图（1）
【初步探究】
（1）如图（1），若∠ = 90 ，则∠ =____；若∠ = ，则∠ = ____（结果用含
的代数式表示）.
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第十三章 三角形
解：∵ ， 分别是∠ ，∠ 的平分线，∴ ∠ = 1∠ ，
2
∠ = 1∠ . ∵ ∠ 是△ 的外角，∴ ∠ = ∠ + ∠ ，
2
∴ 1∠ = 1∠ + 1∠ . ∵ ∠ 是△ 的外角，∴ ∠ = ∠ + ∠ ，
2 2 2
∴ ∠ = 1∠ .当∠ = 90 时，∠ = 45 ；当∠ = 时，∠ = 1 .故
2 2
答案为45 ，1 . …………（4 分）
2
【深入剖析】
（2）如图（2），点 是直线 上一点，若点 在点 左侧，点 在点 右侧，连接 ，∠ 与∠
的平分线相交于点 .
①随着点 ， 的运动，∠ + ∠ 的值是否变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变
化，试求出其值.
如图（2）
解：不发生变化.…………（5 分）
∵ ， 分别是∠ ，∠ 的平分线，∴ ∠ = 1∠ ，∠ = 1∠ ，
2 2
∴ ∠ + ∠ = 1 (∠ + ∠ ) ，
2
∴ ∠ = 180 (∠ + ∠ ) = 180 1 (∠ + ∠ ) = 180 1 (180 ∠ ) =
2 2
90 + 1∠ .…………（8 分）
2
由（1）知∠ = 1∠ ，∴ ∠ + ∠ = 90 + 1∠ + 1∠ = 180 ，
2 2 2
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第十三章 三角形
∴ ∠ + ∠ 的值不变，为180 .
…………（10 分）
延长 交直线 于点 ，作 // 交 于点 ，则∠ ∠ ② = ________.
∠
解： ∵ // ，∴ ∠ = ∠ . ∵ ∠ = ∠ + ∠ ,
∴ ∠ ∠ = ∠ .由①知∠ = 90 + 1∠ ，
2
∴ ∠ = 180
1
∠ = 90 ∠ .
2
90 1∠
∵ ∠ = 180 ∠ ，∴ ∠ ∠ = 2 = 1 .故答案为1 .………（14 分）
∠ 180 ∠ 2 2
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