资源简介

第十四章 全等三角形
第十四章 全等三角形 基础诊断卷
时间：90 min 满分：120 分
一、选择题（每小题 3 分）
1.将如图所示的图形分割成两个全等的图形，下列选项中正确的是( )
A. B. C. D
2.如图，已知△ ≌△ ，∠ = 60 ，∠ = 40 ，则∠ 的度数为( )
A.40 B.60 C.80 D.100
3.如图（1），油纸伞是中国传统工艺品之一，其制作工艺十分巧妙.图（2）是其简单示意图，
伞圈 沿着伞柄 滑动时，总有伞骨 = ， = ，从而使得伞柄 始终平分同一
平面内两条伞骨所形成的∠ .其中能证明△ ≌△ 的依据是( )
A.SSS B.HL C.ASA D.AAS
4.如图，在△ 和△ 中，已知 = ，∠ = ∠ ，再添加一个条件，如果仍不能证
明△ ≌△ 成立，那么添加的条件是( )
A. // B. =
C. = D.∠ = ∠
19/89
第十四章 全等三角形
5.为进一步美化校园，我校计划在校园绿化区增设 3 条绿化带.如图所示，绿化带 // ，绿
化带 交绿化带 于点 ，交绿化带 于点 .若要建一喷灌处，且喷灌处到三条绿化带的
距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有( )
A.4 处 B.3 处 C.2 处 D.1 处
6.如图， ⊥ ， ⊥ ，垂足分别为 ， ， ， 相交于点 ,连接 .如果 = ，
那么图中全等的直角三角形的对数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.如图，∠ = ∠ ， = ， = ， ， ， 三点共线，∠1 = 25 ，∠2 = 30 ，
则∠3 = ( )
A.55 B.60 C.50 D.无法计算
20/89
第十四章 全等三角形
8.老师布置的作业中有这样一道题：如图，在△ 中， 为 的中点，若 = 4， = 5 ，
则 的长不可能是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
9.如图，已知 (4,4)，点 ， 分别在 轴正半轴和 轴正半轴上，∠ = 90 ，则 + =
( )
A.5 B.6 C.7 D.8
10.如图，已知 平分△ 的外角∠ ， 为 上一点，∠ = ∠ ，过点 作 ⊥
于点 .若 = 7， = 1 ，则线段 的长为( )
A.6 B.5 C.4 D.5.5
21/89
第十四章 全等三角形
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
11.如图，点 在 上，若△ ≌△ , = 25, = 17，则 = ___.
12.如图，过点 作已知直线 的平行线 的作法依据是________________________.
13.如图，已知 ⊥ ， ⊥ ，若用“HL ”判定Rt △ 和Rt △ 全等，则需要添加
的条件是_________.
14.如图，已知点 是△ 内一点，且点 到三边的距离相等，∠ = 40 ，则∠ = ____
__.
22/89
第十四章 全等三角形
15.如图， 是△ 的角平分线，点 在 上，延长 至点 ，使 = .若∠ = 60
，∠ = 78 ，则∠ = ______.
16.如图，在△ 中， = = 12 cm ，∠ = ∠ ， = 8 cm，点 为 的中点，点 在
线段 上以2 cm/s的速度由 点向 点运动，同时，点 在线段 上由 点向 点运动.若点 的
运动速度为 cm/s ，则当△ 与△ 在某一时刻全等时， 的值为______.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分）
17.（8 分）如图所示，已知△ ≌△ .
（1）如果 = 6， = 2，求 的长.
（2）如果∠ = 75 ，∠ = 30 ，求∠ 的度数.
23/89
第十四章 全等三角形
18.（10 分）如图，在四边形 中， // ，连接 ，点 在 上，连接 ，∠1 = ∠2，
= .
（1）求证： = .
（2）若∠ = 135 ，∠ = 55 ，求∠ 的度数.
19.（10 分）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端 ， 的距离，甲、乙、丙三位
同学分别设计出如图所示的三种方案.
甲：如图（1），先在平地选一个可直接到达 ， 的点 ，再连接 ， ，并分别延长 至 ，
至 ，使 = ， = ，最后测出 的长即为池塘两端 ， 的距离.
乙：如图（2），先过点 作 的垂线 ，再在 上取 ， 两点，使________，接着过点 作
的垂线 ，交 的延长线于点 ，则测出 的长即为池塘两端 ， 的距离.
图（1） 图（2） 图（3）
丙：如图（3），过点 作 ⊥ ，再从点 用测角仪观测，在 的延长线上取一点 ，使__
______，这时只要测出 的长即为池塘两端 ， 的距离.
24/89
第十四章 全等三角形
（1）请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分.
乙：_________；丙：______________________________.
（2）请你选择其中一种方案进行证明.
20.（12 分）如图，在∠ 的两边 ， 上分别取点 ， ，连接 ， 平分∠ ， 平
分∠ .
（1）求证： 平分∠ .
（2）若 = 8，且△ 与△ 的面积分别是 16 和 24，求线段 与 的长度之和.
25/89
第十四章 全等三角形
21.（12 分）已知Rt △ ≌Rt△ ，其中∠ = ∠ = 90 .
（1）将这两个三角形按图（1）方式摆放，使点 落在 上， 的延长线交 于点 .求证：
+ = .
图（1）
（2）改变△ 的位置，使 交 的延长线于点 （如图（2）），则（1）中的结论还成立
吗？若成立，加以证明；若不成立，写出此时 ， 与 之间的等量关系，并说明理由.
图（2）
26/89
第十四章 全等三角形
22.（14 分）【问题背景】在△ 中， = ， 是 中点， 是 中点，连接 ， .
【问题探究】
（1）如图（1），试说明： = .
【拓展延伸】
（2）如图（2），若∠ = 90 ，分别延长 ， 到点 和 ，使 = 2 ， = 2 ，
连接 ， ，取 的中点 ，连接 ，则线段 与线段 相等吗？请说明理由.
图（2）
27/89第十四章 全等三角形
第十四章 全等三角形 基础诊断卷
时间：90 min 满分：120 分
一、选择题（每小题 3 分）
1.将如图所示的图形分割成两个全等的图形，下列选项中正确的是( )
A. B. C. D
【解析】将原图形分割成两个全等的图形，故选 B.
2.如图，已知△ ≌△ ，∠ = 60 ，∠ = 40 ，则∠ 的度数为( )
A.40 B.60 C.80 D.100
【解析】∵ ∠ + ∠ + ∠ = 180 ，
∴ ∠ = 180 60 40 = 80 . ∵ △ ≌△ ，
∴ ∠ = ∠ = 80 .故选 C.
3.如图（1），油纸伞是中国传统工艺品之一，其制作工艺十分巧妙.图（2）是其简单示意图，
伞圈 沿着伞柄 滑动时，总有伞骨 = ， = ，从而使得伞柄 始终平分同一
平面内两条伞骨所形成的∠ .其中能证明△ ≌△ 的依据是( )
A.SSS B.HL C.ASA D.AAS
34/144
第十四章 全等三角形
= ,
【解析】在△ 和△ 中， = , ∴ △ ≌△ (SSS) .故选 A.
= ,
4.如图，在△ 和△ 中，已知 = ，∠ = ∠ ，再添加一个条件，如果仍不能证明
△ ≌△ 成立，那么添加的条件是( )
A. // B. =
C. = D.∠ = ∠
【解析】∵ // ，∴ ∠ = ∠ . ∵ = ，∠ = ∠ ，
∴ △ ≌△ (AAS)，故 A 选项不符合题意.由 = ， = ，∠ = ∠ ，
无法证明△ ≌△ 成立，故 B 选项符合题意.∵ = ，∠ = ∠ ，
= ，∴ △ ≌△ (SAS)，故 C 选项不符合题意.∵ ∠ = ∠ ，
= ，∠ = ∠ ，∴ △ ≌△ (ASA) ，故 D 选项不符合题意.故选 B.
5.为进一步美化校园，我校计划在校园绿化区增设 3 条绿化带.如图所示，绿化带 // ，绿
化带 交绿化带 于点 ，交绿化带 于点 .若要建一喷灌处，且喷灌处到三条绿化带的
距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有( )
A.4 处 B.3 处 C.2 处 D.1 处
【解析】 如图
35/144
第十四章 全等三角形
∵ ∠ 和∠ 的平分线的交点 1到 , , 的距离相等，
∴ 点 1 满足条件；∵ ∠ 和∠ 的平分线的交点 2到 ， ， 的距离相等，
∴ 点 2 满足条件.故可供选择的喷灌处修建点有 2 处.故选 C.
6.如图， ⊥ ， ⊥ ，垂足分别为 ， ， ， 相交于点 ,连接 .如果 = ，
那么图中全等的直角三角形的对数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】∵ ⊥ ， ⊥ ，∴ ∠ = ∠ = 90 .
∠ = ∠ ,
在△ 和△ 中， ∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (AAS)，
= ,
∴ = ，∠ = ∠ . ∵ = ，
∠ = ∠ ,
∴ = .在△ 和△ 中， ∠ = ∠ ,
= ,
∴ △ ≌△ (AAS)，∴ = .在 Rt △ 和 Rt △ 中， = , = ,
∴ Rt △ ≌Rt△ (HL). ∴ 共有 3 对全等的直角三角形，故选 C.
36/144
第十四章 全等三角形
7.如图，∠ = ∠ ， = ， = ， ， ， 三点共线，∠1 = 25 ，∠2 = 30 ，
则∠3 = ( )
A.55 B.60 C.50 D.无法计算
【解析】∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ ∠ = ∠ ∠ ，
= ,
∴ ∠ = ∠ .在△ 和△ 中， ∠ = ∠ ,
= ,
∴ △ ≌△ (SAS). ∵ ∠2 = 30 ，
∴ ∠ = ∠2 = 30 . ∵ ∠1 = 25 ，∴ ∠3 = ∠ + ∠1 = 55 ， 故选 A.
8.老师布置的作业中有这样一道题：如图，在△ 中， 为 的中点，若 = 4， = 5 ，
则 的长不可能是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】 如图，
37/144
第十四章 全等三角形
延长 到 使得 = . ∵ 为 的中点，∴ = .
= ,
在△ 和△ 中， ∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (SAS)，
= ,
∴ = = 5.在△ 中，根据三角形三边关系得， < < + ，
∴ 5 4 < < 4 + 5 ，∴ 1 < 2 < 9，即1 < < 9，∴ 的长不可能是 5，
2 2
故选 D.
9.如图，已知 (4,4)，点 ， 分别在 轴正半轴和 轴正半轴上，∠ = 90 ，则 + =
( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【解析】过 作 ⊥ 轴于 ， ⊥ 轴于 ，如图.
∵ (4,4) ，∴ = = = = 4，∠ = 90 . ∵ ∠ = 90 ，
∴ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ .
∠ = ∠ ,
在△ 和△ 中， = ,
∠ = ∠ = 90 ,
∴ △ ≌△ (ASA)，∴ = ，
38/144
第十四章 全等三角形
∴ + = + + = + + = + = 4 + 4 = 8 ，故选 D.
10.如图，已知 平分△ 的外角∠ ， 为 上一点，∠ = ∠ ，过点 作 ⊥
于点 .若 = 7， = 1 ，则线段 的长为( )
A.6 B.5 C.4 D.5.5
【解析】过点 作 ⊥ 于点 ，如图.
∵ 是∠ 的平分
线， ⊥ ， ⊥ ，∴ = .在 Rt △ 和
Rt △ 中， = , = , ∴ Rt △ ≌Rt△ (HL) ，
∴ = = 1 .易得
∠ + ∠ = ∠ + ∠ . ∵ ∠ = ∠ ,
∴ ∠ = ∠ . ∵ ∠ = ∠ = 90 ， = ，
∴ △ ≌△ (AAS)，∴ = = + = 7，∴ = 6 .故选 A.
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
39/144
第十四章 全等三角形
11.如图，点 在 上，若△ ≌△ , = 25, = 17，则 = ___.
【解析】∵ △ ≌△ ，∴ = = 25， = .又
∵ = 17，∴ = = = 8 ，故答案为 8.
12.如图，过点 作已知直线 的平行线 的作法依据是________________________.
【解析】如图，
由作图可知，∠1 = ∠2，∴ // （内错角相等，两直线平行）.故答案为内错角相等，两直线
平行.
13.如图，已知 ⊥ ， ⊥ ，若用“HL ”判定 Rt △ 和 Rt △ 全等，则需要添加
的条件是_________.
40/144
第十四章 全等三角形
【解析】需要添加的条件是 = . ∵ ⊥ ， ⊥ ，
∴ ∠ = ∠ = 90 .在 Rt △ 和 Rt △ 中，
= ,
= , ∴ Rt △ ≌Rt△ (HL)，故答案为 = .
14.如图，已知点 是△ 内一点，且点 到三边的距离相等，∠ = 40 ，则∠ = ____
__.
【解析】∵ ∠ = 40 ，∴ ∠ + ∠ = 140 . ∵ 点 到△ 三边的距离相等，
∴ 平分∠ ， 平分∠ ，
∴ ∠ + ∠ = 1 (∠ + ∠ ) = 70 ，
2
∴ ∠ = 180 (∠ + ∠ ) = 180 70 = 110 ，故答案为110 .
15.如图， 是△ 的角平分线，点 在 上，延长 至点 ，使 = .若∠ = 60
，∠ = 78 ，则∠ = ______.
41/144
第十四章 全等三角形
【解析】如图
在 上截取 = ，连接 . ∵ 是∠ 的平分
线，∴ ∠ = ∠ . ∵ = ，∠ = ∠ ， = ，
∴ △ ≌△ (SAS)，∴ = = ，∠ = ∠ = 60 ，
∠ = ∠ = 78 ，∴ ∠ = 60 ，∠ = 102 .又
∵ ∠ = ∠ = 60 ，∴ ∠ = ∠ . ∵ = ，∠ = ∠ ，
= ，∴ △ ≌△ (SAS)，∴ ∠ = ∠ = 102 .故答案为102 .
16.如图，在△ 中， = = 12 cm ，∠ = ∠ ， = 8 cm，点 为 的中点，点 在
线段 上以 2 cm/s 的速度由 点向 点运动，同时，点 在线段 上由 点向 点运动.若点
的运动速度为 cm/s ，则当△ 与△ 在某一时刻全等时， 的值为______.
【解析】∵ ∠ = ∠ ,∴ 分两种情况讨论：当△ ≌△ 时， = .
∵ 点 为 的中点，∴ = 1 = 6 cm,∴ = = 6 cm ，
2
∴ = = 8 6 = 2(cm). ∵ 点 在线段 上以 2 cm/s 的速度由 点向 点运动，
∴ 运动时间为 2 ÷ 2 = 1(s). ∵ △ ≌△ ，∴ = = 2 cm ，
∴ = 2 ÷ 1 = 2.当△ ≌△ 时， = , = . ∵ = 6 cm ，
= 8 cm，∴ = 6 cm, = 4 cm，∴ 运动时间为 4 ÷ 2 = 2(s) ，
∴ = 6 ÷ 2 = 3.综上， 的值为 2 或 3.故答案为 2 或 3.
42/144
第十四章 全等三角形
三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分）
17.（8 分）如图所示，已知△ ≌△ .
（1）如果 = 6， = 2，求 的长.
【解】∵ △ ≌△ ，∴ = .∵ = 6， = 2 ，
∴ = = 4 ，…………（2 分）
∴ = + = 6 + 4 = 10 .…………（4 分）
（2）如果∠ = 75 ，∠ = 30 ，求∠ 的度数.
【解】∵ △ ≌△ ，∴ ∠ = ∠ . ∵ ∠ = 75 ，∠ = 30 ，…………（6
分）
∴ ∠ = ∠ = ∠ ∠ = 75 30 = 45 ，
∴ ∠ = ∠ ∠ = 45 30 = 15 .…………（8 分）
18.（10 分）如图，在四边形 中， // ，连接 ，点 在 上，连接 ，∠1 = ∠2，
= .
（1）求证： = .
∠1 = ∠2,
【证明】∵ // ，∴ ∠ = ∠ .在△ 和△ 中， ∠ = ∠ ,
= ,
43/144
第十四章 全等三角形
∴ △ ≌△ (AAS) ，…………（3 分）
∴ = .…………（5 分）
（2）若∠ = 135 ，∠ = 55 ，求∠ 的度数.
【解】∵ △ ≌△ ，∠ = 135 ，∴ ∠ = ∠ = 135 .…………（8 分）
∵ ∠ = ∠ + ∠ ,∠ = 55 ，∴ ∠ = ∠ ∠ = 80 .…………（10 分）
19.（10 分）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端 ， 的距离，甲、乙、丙三位
同学分别设计出如图所示的三种方案.
甲：如图（1），先在平地选一个可直接到达 ， 的点 ，再连接 ， ，并分别延长 至 ，
至 ，使 = ， = ，最后测出 的长即为池塘两端 ， 的距离.
乙：如图（2），先过点 作 的垂线 ，再在 上取 ， 两点，使________，接着过点
作 的垂线 ，交 的延长线于点 ，则测出 的长即为池塘两端 ， 的距离.
图（1） 图（2） 图（3）
丙：如图（3），过点 作 ⊥ ，再从点 用测角仪观测，在 的延长线上取一点 ，使__
______，这时只要测出 的长即为池塘两端 ， 的距离.
（1）请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分.
乙：_________；丙：______________________________.
答案： = ， ∠ = ∠ …………（4 分）
（2）请你选择其中一种方案进行证明.
【解】（选择其中一种方案即可）选甲：
44/144
第十四章 全等三角形
= ,
在△ 和△ 中， ∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (SAS) ，…………（8 分）
= ,
∴ = .…………（10 分）
选乙：
∵ ⊥ ， ⊥ ，∴ ∠ = ∠ = 90 .…………（5 分）
∠ = ∠ ,
在△ 和△ 中， = ,
∠ = ∠ ,
∴ △ ≌△ (ASA) ，…………（8 分）
∴ = .…………（10 分）
选丙：
∠ = ∠ = 90 ,
在△ 和△ 中， = ,
∠ = ∠ ,
∴ △ ≌△ (ASA) ，…………（8 分）
∴ = .…………（10 分）
20.（12 分）如图，在∠ 的两边 ， 上分别取点 ， ，连接 ， 平分∠ ，
平分∠ .
（1）求证： 平分∠ .
45/144
第十四章 全等三角形
【证明】如图，
过点 作 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，垂足分别为 , , .…………（3 分）
∵ 平分∠ ， ⊥ ， ⊥ ，∴ = . ∵ 平分∠ ，
⊥ ， ⊥ ，∴ = ，∴ = ，∴ 平分∠ .…………（6 分）
（2）若 = 8，且△ 与△ 的面积分别是 16 和 24，求线段 与 的长度之和.
【解】如上图.∵ △ 的面积是 16， = 8，∴ 1 = 16，
2
∴ 1 × 8 = 16 ，∴ = 4，∴ = = = 4 .…（8 分）
2
∵ △ 的面积是 24，∴ =
四边形 △
+ △ = 16 + 24 = 40 ，
∴ △ + △ = 40，∴
1 + 1 = 40 ，
2 2
∴ 1 4 + 1 4 = 40，∴ + = 20，∴ 线段 与 的长度之和为 20.…（12 分）
2 2
21.（12 分）已知 Rt △ ≌Rt△ ，其中∠ = ∠ = 90 .
（1）将这两个三角形按图（1）方式摆放，使点 落在 上， 的延长线交 于点 .求证：
+ = .
图（1）
【证明】如图（1），
46/144
第十四章 全等三角形
连接 .∵ Rt △ ≌Rt△ ，
∴ = ， = .…………（2 分）
∵ ∠ = 90 , 的延长线交 于点 ，∴ ∠ = 90 .
在 Rt △ 和 Rt △ 中， = , = ,
∴ Rt △ ≌Rt△ (HL) ，…………（4 分）
∴ = ，…………（5 分）
∴ + = + = ，
∴ + = .…………（6 分）
（2）改变△ 的位置，使 交 的延长线于点 （如图（2）），则（1）中的结论还成立吗？
若成立，加以证明；若不成立，写出此时 ， 与 之间的等量关系，并说明理由.
图（2）
【解】不成立， = .…………（7 分）
47/144
第十四章 全等三角形
理由：如图（2），
连接 .∵ Rt △ ≌Rt△ ，∴ = ， = .…………（8 分）
∵ ∠ = 90 ,∴ ∠ = 90 .
∵ ∠ = 90 ， = ，
∴ Rt △ ≌Rt△ (HL) ，…………（10 分）
∴ = ，∴ = = = ，即 = .（12 分）
22.（14 分）【问题背景】在△ 中， = ， 是 中点， 是 中点，连接 ， .
【问题探究】
（1）［中］如图（1），试说明： = .
【解】∵ = ， 是 中点， 是 中点，
= ,
∴ = 1 = 1 = .在△ 与△ 中， ∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (SAS) ，
2 2 = ,
∴ = .…………（4 分）
48/144
第十四章 全等三角形
【拓展延伸】
（2）如图（2），若∠ = 90 ，分别延长 ， 到点 和 ，使 = 2 ， = 2 ，
连接 ， ，取 的中点 ，连接 ，则线段 与线段 相等吗？请说明理由.
图（2）
【解】相等.理由：∵ 是 中点， = 2 ，∴ = ， = . ∵ ∠ = ∠ ，
∴ △ ≌△ (SAS) ，……（7 分）
∴ = ，∠ = ∠ ，∴ // ，∴ ∠ = ∠ . ∵ ， 分别是 ， 的中点，
∴ = . ∵ = 2 ，∴ = ，
∴ △ ≌△ (SAS) ，…………（12 分）
∴ ∠ = ∠ = 90 ，∴ 易得△ ≌△ (SAS)，
∴ = .…………（14 分）
49/144

展开更多......

收起↑