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第十四章 全等三角形
第十四章 全等三角形 素养检测卷
时间：90 min 满分：120 分
一、选择题（每小题 3 分）
1.如图，若图中的两个三角形全等，则依据所标数据可得( )
A. = 50 B. = 60 C. = 18 D. = 20
解析：由题意得，50 角对应的边长为 10，∴ = 180 50 60 = 70 ，
∴ 70 角对应的边长为 20，
∴ = 20 .故选 D.
2.根据下列所给各组条件，不能唯一确定△ 的形状和大小的是( )
A. = 6 cm， = 7.4 cm，∠ = 45
B.∠ = 45 ， = 7.4 cm，∠ = 75
C.∠ = 45 ， = 6 cm，∠ = 75
D. = 5.4 cm， = 6 cm，∠ = 60
解析：A 选项，已知两边及其夹角，由SAS 可知这个三角形是确定的，所以能画出唯一的△ ，
不符合题意；B 选项，已知两个角及其夹边，由ASA 可知这个三角形是确定的，所以能画出
唯一的△ ，不符合题意；C 选项，已知两个角及其中一角的对边，由AAS可知这个三角形
是确定的，所以能画出唯一的△ ，不符合题意；D 选项，已知两边及其中一边的对角，
此时是SSA ,可知三角形不确定，所以不能画出唯一的△ ，符合题意.故选 D.
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第十四章 全等三角形
3.如图，△ ≌△ ，点 ， ， 在同一直线上，且 = 6， = 8，则 = ( )
A.12 B.14 C.16 D.18
解析：∵ △ ≌△ ，∴ = = 6， = = 8 ，∴ = + = 14 ，故选 B.
4.如图，在由 4 个相同的小正方形组成的网格中，∠1与∠2 的和为( )
A.45 B.60 C.90 D.100
解析： 如图，由题知 = ， = ，∠ = ∠ = 90 ，
∴ △ ≌△ (SAS)，∴ ∠2 = ∠ ，∴ ∠1 + ∠2 = ∠1 + ∠ = 90 ，故选 C.
5.如图，在纸上画有∠ ，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点 在∠ 的平分
线上，则( )
A. 1与 2一定相等 B. 1与 2 一定不相等
C. 1与 2一定相等 D. 1与 2 一定不相等
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第十四章 全等三角形
解析：根据角的平分线上的点到角两边的距离相等可知，
当点 在∠ 的平分线上时， 1与 2 一定相等，故选 A.
6.如图,在△ 中， = ， = ，∠ = ∠ = 60 ，则∠ 的度数是( )
A.60 B.70 C.55 D.65
解析：在△ 和△ 中，
= ,
{∠ = ∠ = 60 , ∴ △ ≌△ (SAS) ，
= ,
∴ ∠ = ∠ . ∵ ∠ = ∠ + ∠ ，∠ + ∠ = ∠ = 60 ，
∴ ∠ = ∠ = 60 . 故选 A.
7.如图，△ 中，∠ = 24 ，△ 中，∠ = 66 ， ， 边上的高相等.若 = ，
则∠ 的度数为( )
A.30 B.42 C.45 D.60
答案：故选 B.
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第十四章 全等三角形
8.如图，在△ 和△ ′ ′ ′中， = ′ ′，∠ = ∠ ′ ′ ′ ，添加下列条件后，能使这两
个三角形全等的有( )
① 和 ′ ′ 边上的高相等；
②角平分线 和角平分线 ′ ′ 相等；
③ 和 ′ ′ 边上的中线相等.
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个
解析：当添加 和 ′ ′边上的高相等时，设 和 ′ ′边上的高分别为 和 ′ ′ .
= ′ ′,
在Rt △ 和Rt △ ′ ′ ′中，{ ′ ′ ∴ Rt △ ≌Rt△
′ ′ ′(HL) ,
= ,
∠ = ∠ ′,
∴ ∠ = ∠ ′.在△ 和△ ′ ′ ′中，{ = ′ ′,
∠ = ∠ ′ ′ ′,
∴ △ ≌△ ′ ′ ′(ASA)，故①正确.②当添加角平分线 和角平分线 ′ ′ 相等
时，∵ ∠ = ∠ ′ ′ ′，∴ ∠ = ∠ ′ ′ ′.在△ 和△ ′ ′ ′ 中，
= ′ ′,
{∠ = ∠ ′ ′ ′, ∴ △ ≌△ ′ ′ ′(SAS)，∴ ∠ = ∠ ′ .
= ′ ′,
同①可证△ ≌△ ′ ′ ′(ASA)，故②正确.当添加 和 ′ ′ 边上的中线相等时，
无法确定△ 和△ ′ ′ ′ 全等，故③错误.故选 B.
9，如图，在△ 和△ 中， = ， = ，∠ = ∠ = ， ， 交于
点 ，则∠ 的度数为( )
A.180 B.90 + C. 1180 D.
1
90 +
2 2
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第十四章 全等三角形
解析： 设 与 相交于点 ，如图所示.
∵ ∠ = ∠ = ，∴ ∠ = ∠ .在△ 和△ 中，
= ,
{∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (SAS)，∴ ∠ = ∠ . ∵ ∠ = ∠ ，
= ,
∴ 180 ∠ ∠ = 180 ∠ ∠ ，∴ ∠ = ∠ = ，
∴ ∠ = 180 ∠ = 180 ，故选 A.
10.如图，在△ 中，∠ = 90 ， = ， 为 边上的中线，过点 作 ⊥ 于
，交 于 ，过点 作 的垂线交 的延长线于 ，连接 .现有下列结论①△ ≌△ ；
② = ；③∠ = ∠ ；④ 为 中点，其中结论正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：∵ ∠ = 90 ， ⊥ , ⊥ ，
∴ ∠ = ∠ = ∠ = 90 ， ∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 90 ，
∠ = ∠ ,
∴ ∠ = ∠ .在△ 和△ 中，{∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (AAS) ，
= ,
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第十四章 全等三角形
∴ ①正确.∵ △ ≌△ ，∴ = .在△ 中， > ，∴ ≠ ，
∴ ②不正确.∵ △ ≌△ ，且 为 中点，∴ = = . ∵ = ，
∠ = ∠ = 90 ，∴ ∠ = ∠ = 45 .在△ 和△ 中，
= ,
{∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (SAS)，∴ ∠ = ∠ .又∵ ∠ = ∠ ，
= ,
∴ ∠ = ∠ ，∴ ③正确.∵ △ ≌△ ，∴ = .在Rt △ 中，
> ，∴ > ，∴ 不是 的中点，∴ ④ 不正确.综上，正确的结论为①③，
共 2 个.故选 B.
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
11.如图， 是△ 的角平分线， ⊥ 于点 ，△ 的面积为 9， = 2，则 的长
是___.
解析：过点 作 ⊥ 于点 ，如图.
1
∵ ⊥ ， ⊥ ， 是△ 的角平分线， = 2，∴ = = 2. ∵ △ = 2
= 9，∴ = 9 .故答案为 9.
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12.如图，嘉淇用 10 块高为2 cm 的小长方体木块垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好
可以放进一个等腰直角三角板( = , ∠ = 90 )，点 在 上，点 ， 分别与木墙的
顶端重合，则两堵木墙之间的距离 的长为____cm .
解析：∵ ∠ = ∠ = ∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 90 ，
∠ + ∠ = 90 ，∴ ∠ = ∠ .在△ 和△ 中，
∠ = ∠ ,
{∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (AAS)，∴ = = 6 cm ，
= ,
= = 14 cm，∴ = + = 6 + 14 = 20(cm) .故答案为 20.
13.如图，若 = ， = ，∠ = 80 ，∠ = 120 ，则∠ = ____.
解析：如图， 点 是射线 上的一点.在△ 和△ 中，
= ,
{ = , ∴ △ ≌△ (SSS)，∴ ∠ = ∠ = 40 ，∠ = ∠ ，
= ,
∴ ∠ = ∠ = 60 ，∴ ∠ = ∠ ∠ = 20 .故答案为20 .
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14.如图（1）是两个大小不同的三角板叠放在一起，图（2）是由它得到的抽象几何图形.已知
= ， = ，∠ = ∠ = 90 ，且点 ， ， 在同一条直线上， = 8 cm，
= 4 cm，连接 .现有一只壁虎以2 cm/s的速度从 处往 处爬，
壁虎爬到 点所用的时间为___s .
解析：∵ ∠ = ∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，
∴ ∠ = ∠ .在△ 与△ 中，
= ,
{∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (SAS) ，
= ,
∴ = = + = 8 + 4 = 12(cm). ∵ 壁虎以2 cm/s的速度从 处往 处爬，
∴ 壁虎爬到 点所用的时间为12 ÷ 2 = 6(s) .故答案为 6.
15.如图，在直角坐标系中，△ 的三个顶点的坐标分别为 ( 6,1) ， ( 2,1)， ( 8,3)，
线段 的两个端点的坐标分别为 ( 2,6)， ( 2,2).若网格中有一点 ，且以 ， ，
为顶点的三角形与△ 全等，则点 的坐标为____________________________.
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解析：由题可知， = = 4.如图，当△ ≌△ 时， = ， = ，∴ 1( 4,0)，
2(0,0)；当△ ≌△ 时， = ， = ，∴ 3( 4,8)， 4(0,8).综上所述， 点的坐
标为( 4,0)或(0,0)或( 4,8)或(0,8) .故答案为( 4,0)或(0,0)或( 4,8)或(0,8) .
16.添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情.如图（1），在Rt △ 中，∠ = 90 ，
2
是高， 是△ 外一点， = ，∠ = ∠ .若 = ， = 16， = 20，求△
5
的面积.小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在 上截取 = ，连接 ,如图（2）.根
据小颖的提示，聪明的你可以求得△ 的面积为____.
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图（1） 图（2）
解析：∵ 是高，∴ ∠ = 90 ,
∴ ∠ = 180 ∠ ∠ = 90 ∠ . ∵ ∠ = 180 ∠ ∠ = 90
∠ ，∴ ∠ = ∠ . ∵ ∠ = ∠ ，
= ,
∴ ∠ = ∠ .在△ 与△ 中，{∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (SAS) ，
= ,
2 2
∴ △ = △ . ∵ = = = × 20 = 8 ， 5 5
1 1
∴ △ = △ = = × 8 × 16 = 64 .故答案为 64. 2 2
三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分）
17.（8 分）如图，已知△ ≌△ ，点 ， ， ， 在同一条直线上.
（1）请判断 与 的位置关系，并说明理由.
解： // .…………（1 分）
理由如下：∵ △ ≌△ ，∴ ∠ = ∠ ，∴ // .…………（3 分）
（2）若 = 11， = 3，求线段 的长.
解：∵ △ ≌△ ，∴ = ，∴ = .…………（5 分）
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∵ = 11， = 3，∴ + = = 11 3 = 8，∴ = 4 .…………（8 分）
18.（10 分）如图，画∠ = 90 ，并画∠ 的平分线 ，将含60 角的三角尺的直角顶
点落在 的任意一点 上，使三角尺的两条直角边与∠ 的两边分别相交于点 ， ，试猜
想 ， 的大小关系，并说明理由.
解： = .理由：如图，
过点 作 ⊥ ， ⊥ ，
垂足分别是 ， ，则∠ = ∠ = ∠ = 90 （3 分）
∵ 平分∠ ，∴ = . ∵ ∠ = ∠ = ∠ = 90 ，∴ ∠ = 90 .
∵ ∠ = 90 ，∴ ∠ = ∠ .…………（6 分）
∠ = ∠ ,
在△ 和△ 中，{ = , ∴ △ ≌△ (ASA) ，（8 分）
∠ = ∠ ,
∴ = .…………（10 分）
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第十四章 全等三角形
19.（10 分）如图（1），嘉琪想知道一堵墙上点 距地面的高度 （墙与地面垂直，即 ⊥
），但又不便直接测量，于是嘉琪同学设计了下面的方案：
第一步：找一根长度大于 的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点 重合，记下直杆与地
面的夹角∠ ；
第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠ ________= ∠ ，标记此时直杆的底端点 ；
第三步：测量________的长度，即为点 距地面的高度.
图（1）
（1）请你先补全方案，再利用所学的全等三角形的知识说明这样设计的理由.
解： ; …………（2 分）; 理由：∵ ⊥ ，∴ ∠ = ∠ = 90 .
∠ = ∠ ,
在△ 与△ 中，{∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (AAS) ，…（4 分）
= ,
∴ = .…………（5 分）
（2）如图（2），设 与 交于点 ，善于观察和思考的明明同学猜
想线段 = ，你同意明明的观点吗？说明理由.
图（2）
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解：同意明明的观点.…………（6 分）
理由：∵ △ ≌△ ，∴ = ， = ，∠ = ∠ ，
∴ = ，即 = .
∠ = ∠ ,
在△ 与△ 中，{∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (AAS) ，…………（9 分）
= ,
∴ = .…………（10 分）
20.（12 分）如图，在△ 中， ⊥ , ⊥ ，垂足分别为 , ，点 在 的延长线上，
点 在线段 上，且 = ， = ，连接 , .
（1）求证：△ ≌△ .
【证明】∵ ⊥ , ⊥ ，∴ ∠ = ∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 90 ，∠ +
∠ = 90 ，∴ ∠ = ∠ .…………（3 分）
= ,
在△ 和△ 中，{∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (SAS) .…………（6 分）
= ,
（2）求∠ 的度数.
解：由（1）得△ ≌△ ，
∴ ∠ = ∠ ， = ，∴ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ .（9 分）
∵ ∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 90 ，∴ ∠ = 45 ，∴ ∠ = 45 …（12 分）
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第十四章 全等三角形
21.（12 分）如图（1）、图（2），在△ 和△ ′ ′ ′中， ， ′分别为 ， ′ ′的中点，且
= ′ ′， = ′ ′ .
图（1） 图（2）
（1）当 = ′ ′时，求证：△ ≌△ ′ ′ ′ .证明过程如下，请补全过程.
1 1
解：①∠ = ∠ ′② = ③ ′ ′ = ′ ′④SAS …………（4 分）
2 2
（2）当 = ′ ′时，求证：△ ≌△ ′ ′ ′ .
【证明】如图（1） 、图（2） ，延长 至点 ，使得 = ，
连接 ，延长 ′ ′至点 ′，使得 ′ ′ = ′ ′，连接 ′ ′ .…………（5 分）
∵ = ′ ′，∴ = ′ ′ .
= ,
∵ 是 的中点，∴ = .在△ 和△ 中，{∠ = ∠ ,
= ,
∴ △ ≌△ (SAS) ，∴ ∠ = ∠ , = .…………（7 分）
同理得△ ′ ′ ′≌△ ′ ′ ′ ，∴ ∠ ′ ′ ′ = ∠ ′, ′ ′ = ′ ′ .…………（8 分）
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第十四章 全等三角形
= ′ ′,
∵ = ′ ′,∴ = ′ ′ .在△ 和△ ′ ′ ′中，{ = ′ ′, ∴ △ ≌△ ′ ′ ′(SSS) ，
= ′ ′,
∴ ∠ = ∠ ′ ′ ′，∠ = ∠ ′ ,∴ ∠ = ∠ ′ ′ ′ ，∴ ∠ = ∠ ′ ′ ′ …（10 分）
= ′ ′,
在△ 和△ ′ ′ ′中，{∠ = ∠ ′ ′ ′, ∴ △ ≌△ ′ ′ ′(SAS) .……（12 分）
= ′ ′,
22.（14 分）【感知】如图（1），在四边形 中， 平分∠ ，∠ + ∠ = 180 ，∠ = 90
，易知 = .
如图（1） 如图（2）
【探究】（1）如图（2），在四边形 中， 平分∠ ，∠ + ∠ = 180 ，∠ < 90 ，
求证： = .
【证明】如图（1） ，过点 作 ⊥ 于 ， ⊥ 交 延长线于 .
∵ 平分∠ ， ⊥ ， ⊥ ，∴ = .
∵ ∠ + ∠ = 180 ，∠ + ∠ = 180 ，∴ ∠ = ∠ .……（4 分）
∠ = ∠ = 90 ,
在△ 和△ 中，{∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (AAS) ，…（6 分）
= ,
∴ = .…………（7 分）
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【应用】
（2）如图（3） ，四边形 中，∠ = 45 ，∠ = 135 ， = ，
过点 作 ⊥ ，垂足为 .若 = ，求 的值（用含 的代数式表示）.
解：如图（2） ,连接 ,过点 作 ⊥ 交 延长线于 ，
则∠ = ∠ = 90 . ∵ ∠ = 45 ,∠ = 135 ,
∴ ∠ + ∠ = 180 . ∵ ∠ + ∠ = 180 ，∴ ∠ = ∠ .…………（9 分）
∠ = ∠ ,
在△ 和△ 中，{∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (AAS) ，…………（11 分）
= ,
∴ = ， = .…………（12 分）
= ,
在Rt △ 和Rt △ 中，{ ∴ Rt △ ≌Rt△ (HL) ，…（13 分）
= ,
∴ = ，∴ = ( + ) ( ) = 2 .
∵ = ，∴ = 2 .…………（14 分）
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第十四章 全等三角形 素养检测卷
时间：90 min 满分：120 分
一、选择题（每小题 3 分）
1.如图，若图中的两个三角形全等，则依据所标数据可得( )
A. = 50 B. = 60 C. = 18 D. = 20
2.根据下列所给各组条件，不能唯一确定△ 的形状和大小的是( )
A. = 6 cm， = 7.4 cm，∠ = 45
B.∠ = 45 ， = 7.4 cm，∠ = 75
C.∠ = 45 ， = 6 cm，∠ = 75
D. = 5.4 cm， = 6 cm，∠ = 60
3.如图，△ ≌△ ，点 ， ， 在同一直线上，且 = 6， = 8，则 = ( )
A.12 B.14 C.16 D.18
4.如图，在由 4 个相同的小正方形组成的网格中，∠1与∠2 的和为( )
A.45 B.60 C.90 D.100
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第十四章 全等三角形
5.如图，在纸上画有∠ ，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点 在∠ 的平分
线上，则( )
A. 1与 2一定相等 B. 1与 2 一定不相等
C. 1与 2一定相等 D. 1与 2 一定不相等
6.如图,在△ 中， = ， = ，∠ = ∠ = 60 ，则∠ 的度数是( )
A.60 B.70 C.55 D.65
7.如图，△ 中，∠ = 24 ，△ 中，∠ = 66 ， ， 边上的高相等.若 = ，
则∠ 的度数为( )
A.30 B.42 C.45 D.60
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第十四章 全等三角形
8.如图，在△ 和△ ′ ′ ′中， = ′ ′，∠ = ∠ ′ ′ ′ ，添加下列条件后，能使这两
个三角形全等的有( )
① 和 ′ ′ 边上的高相等； ②角平分线 和角平分线 ′ ′ 相等；
③ 和 ′ ′ 边上的中线相等.
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个
9，如图，在△ 和△ 中， = ， = ，∠ = ∠ = ， ， 交于
点 ，则∠ 的度数为( )
A.180 B.90 + C. 1180 D.
1
90 +
2 2
10.如图，在△ 中，∠ = 90 ， = ， 为 边上的中线，过点 作 ⊥ 于
，交 于 ，过点 作 的垂线交 的延长线于 ，连接 .现有下列结论①△ ≌△ ；
② = ；③∠ = ∠ ；④ 为 中点，其中结论正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
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第十四章 全等三角形
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
11.如图， 是△ 的角平分线， ⊥ 于点 ，△ 的面积为 9， = 2，则 的长
是___.
11 题图 12 题图
12.如图，嘉淇用 10 块高为2 cm 的小长方体木块垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好
可以放进一个等腰直角三角板( = , ∠ = 90 )，点 在 上，点 ， 分别与木墙的
顶端重合，则两堵木墙之间的距离 的长为____cm .
13.如图，若 = ， = ，∠ = 80 ，∠ = 120 ，则∠ = ____.
14.如图（1）是两个大小不同的三角板叠放在一起，图（2）是由它得到的抽象几何图形.已知
= ， = ，∠ = ∠ = 90 ，且点 ， ， 在同一条直线上， = 8 cm，
= 4 cm，连接 .现有一只壁虎以2 cm/s的速度从 处往 处爬，
壁虎爬到 点所用的时间为___s .
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15.如图，在直角坐标系中，△ 的三个顶点的坐标分别为 ( 6,1) ， ( 2,1)， ( 8,3)，
线段 的两个端点的坐标分别为 ( 2,6)， ( 2,2).若网格中有一点 ，且以 ， ，
为顶点的三角形与△ 全等，则点 的坐标为____________________________.
16.添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情.如图（1），在Rt △ 中，∠ = 90 ，
2
是高， 是△ 外一点， = ，∠ = ∠ .若 = ， = 16， = 20，求△
5
的面积.小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在 上截取 = ，连接 ,如图（2）.根
据小颖的提示，聪明的你可以求得△ 的面积为____.
图（1） 图（2）
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第十四章 全等三角形
三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分）
17.（8 分）如图，已知△ ≌△ ，点 ， ， ， 在同一条直线上.
（1）请判断 与 的位置关系，并说明理由.
（2）若 = 11， = 3，求线段 的长.
18.（10 分）如图，画∠ = 90 ，并画∠ 的平分线 ，将含60 角的三角尺的直角顶
点落在 的任意一点 上，使三角尺的两条直角边与∠ 的两边分别相交于点 ， ，试猜
想 ， 的大小关系，并说明理由.
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第十四章 全等三角形
19.（10 分）如图（1），嘉琪想知道一堵墙上点 距地面的高度 （墙与地面垂直，即 ⊥
），但又不便直接测量，于是嘉琪同学设计了下面的方案：
第一步：找一根长度大于 的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点 重合，记下直杆与地
面的夹角∠ ；
第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠ ________= ∠ ，标记此时直杆的底端点 ；
第三步：测量________的长度，即为点 距地面的高度.
图（1）
（1）请你先补全方案，再利用所学的全等三角形的知识说明这样设计的理由.
（2）如图（2），设 与 交于点 ，善于观察和思考的明明同学猜想线段 = ，你同
意明明的观点吗？说明理由.
图（2）
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第十四章 全等三角形
20.（12 分）如图，在△ 中， ⊥ , ⊥ ，垂足分别为 , ，点 在 的延长线上，
点 在线段 上，且 = ， = ，连接 , .
（1）求证：△ ≌△ .
（2）求∠ 的度数.
21.（12 分）如图（1）、图（2），在△ 和△ ′ ′ ′中， ， ′分别为 ， ′ ′的中点，且
= ′ ′， = ′ ′ .
图（1） 图（2）
（1）当 = ′ ′时，求证：△ ≌△ ′ ′ ′ .证明过程如下，请补全过程.
（2）当 = ′ ′时，求证：△ ≌△ ′ ′ ′ .
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第十四章 全等三角形
22.（14 分）【感知】如图（1），在四边形 中， 平分∠ ，∠ + ∠ = 180 ，∠ = 90
，易知 = .
如图（1） 如图（2）
【探究】（1）如图（2），在四边形 中， 平分∠ ，∠ + ∠ = 180 ，∠ < 90 ，
求证： = .
【应用】（2）如图（3） ，四边形 中，∠ = 45 ，∠ = 135 ， = ，
过点 作 ⊥ ，垂足为 .若 = ，求 的值（用含 的代数式表示）.
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